田一鳴　黃友銳　黃宜慶

摘 要： 模糊集、Vague集和C^*-模糊集（新模糊集）都是對經(jīng)典集合論的擴(kuò)展，同時又是模 糊集 合論分支的發(fā)展成果。為完善模糊理論體系并將其有效應(yīng)用，在介紹了三種集合的概念的基 礎(chǔ)上，分析了它們之間的區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系并參考與概率論統(tǒng)一定義的C^*-模糊集合 框架，提出 了新Vague關(guān)系，使得在處理不確定問題的領(lǐng)域中有了完備的理論基礎(chǔ)。最后對三個集合的 發(fā)展和應(yīng)用作了一些探討性研究。

關(guān)鍵詞：C^*-模糊集；Vague集；模糊集

中圖分類號：TP301 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-1098(2008)03-0038-04

模糊集、Vague集和C^*-模糊集是研究信息系統(tǒng)中知識不完全、不確定問題的 重要方法，在計(jì)算機(jī)科學(xué)及應(yīng)用的多種領(lǐng)域中有著重要的實(shí)際應(yīng)用。模糊集推廣了集合論， 把屬于、不屬于兩種隸屬情況推廣成為［0，1］之間的任意實(shí)數(shù)的隸屬度，較好地描述了模 糊性，它的單值的隸屬度包含了支持與反對證據(jù)的程度，但不能表示中立的證據(jù)；Vague集 拓 廣了模糊集對事物表達(dá)的范圍，彌補(bǔ)了模糊集合的單值隸屬度只能描述支持的證據(jù)這一不足 ，更準(zhǔn)確的表達(dá)了模糊性；C^*-模糊集合論從根本的集合關(guān)系出發(fā)，與概率論的基 本部分統(tǒng)一定義，以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論導(dǎo)出更客觀的表示模糊性的方法。模糊集理論、Vague 集理論和C^*-模糊集理論的研究著眼點(diǎn)不同，特別是對集合關(guān)系的研究，可以說是 模糊集理論的發(fā)展和完善。

1 基本概念介紹

1.1 模糊集理論

在自然科學(xué)和社會科學(xué)研究中，存在界限模糊的概念。普通集合論是布爾量的判斷，即 一個對象要么屬于要么不屬于一個集合，二者非此即彼，屬于二值邏輯。這樣無法處理客觀 存在的一些模糊概念。文獻(xiàn)［1］在1965年提出了模糊集合論，把事物的模糊性用數(shù)學(xué) 語言進(jìn)行描述。

定義1 給定論域U中的一個模糊集合A，是指對任意u ∈U都為其指定一個數(shù)μ_A(u)∈［0,1］與之對應(yīng)，這個數(shù)叫做對A的隸屬度。這意味著作 出一個映射：μ_A∶u→［0,1］，u→μ_A(u) 。

μ_A(u)這個映射稱為A的隸屬函數(shù)。模糊集A就是以這個隸屬函數(shù)為特征的集合

普通的集合是指具有某種屬性的對象的全體，這種屬性的表達(dá)是清晰的，界限分明的。 因此每個對象對于集合的隸屬關(guān)系也是明確的，非此即彼。但在客觀世界或人的思維中有許 多模糊的概念，存在一個由此及彼的過渡過程。模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的 屬性的對象的全體。由于用來表達(dá)對象的概念本身不是清晰的、界限分明的，因而對象對集 合的隸屬關(guān)系也不是明確的、非此即彼的。因此，模糊集合理論是處理這些不確定和模糊的 信息的一個強(qiáng)有力的工具，以便可以用數(shù)學(xué)手段處理問題，從而使人作出比較客觀正確的決 策。

1.2 Vague集理論

在Vague集中，論域內(nèi)的元素和論域上的集合之間的關(guān)系是“在一定范圍內(nèi)屬于”的關(guān) 系，是一個區(qū)間的表示，這個區(qū)間給出支持證據(jù)的程度也給出反對證據(jù)的程度，有著更強(qiáng)的 表示信息能力［2］。

定義2 設(shè)X是一個對象空間，其中的任意一個元素用x表示 ，X中的一個Vague集V用一個真隸屬函數(shù)t_v和一個假隸屬函數(shù)f_v表示。t_v(x)是從 支持x的證據(jù)所導(dǎo)出的x的肯定隸屬度下界，f_v(x)則是從反對x的證據(jù) 所導(dǎo)出的x的否定隸 屬度下界，t_v(x)和f_v(x)將區(qū)間［0，1］中的一個實(shí)數(shù)與x中的每一個點(diǎn)聯(lián)系起來， 即

t_v∶X→［0，1］，f_v∶X→［0，1］

其中，t_v(x)+f_v(x)≤1。

如定義，一個Vague集V用一個真隸屬度t_v(x)和一個假隸屬度f_v(x)來描述其隸屬度的 界，這兩個界構(gòu)成了［0，1］上的子區(qū)間［t_v(x)，1-f_v(x)］。反映了“一定 范圍內(nèi)屬于”，是存在支持、反對和中立的客觀事物的數(shù)學(xué)模型。

Vague集中，當(dāng)1-f_v(x)=t_v(x)時，則可以精確x，Vague集退化為模糊集；當(dāng)1-f _v(x)和t_v(x)都同時為1或0時，Vague集退化為經(jīng)典集合。

1.3 C^*-模糊集合論

C^*-模糊集合論即新模糊集合論，從模糊集合的關(guān)系出發(fā)進(jìn)一步發(fā)展了模糊集合理 論，提出C^*-模糊集合論，把模糊集合論與概率論統(tǒng)一定義［3-5］，能正 確地 描繪客觀世界的全部模糊現(xiàn)象，使模糊集合更能體現(xiàn)事物的一般原理，使理論更加完備與統(tǒng) 一。經(jīng)典集合系統(tǒng)是其特例。

定義3 假設(shè)，U和Ω是經(jīng)典集合，U是論域，可以是一維， 也可以是多維，u是U的元素。令X是Ω的全體子集的集合。給定論域U中的一個C^*- 模糊集合A*={(u,μ(A,u))｜u∈U}，其中A∈X，μ(A,u)為u隸屬于A的隸屬度， 滿足μ(A,u)∈［0，1］，μ(Ω,u)=1，μ(Φ,u)=0。

在客觀存在的概念中，用模糊集合的關(guān)系來研究的結(jié)果不全是正確的。例如，兩個模糊 集合不相交，其交集的隸屬度應(yīng)為零；若兩個模糊集合包含，其交集應(yīng)是兩者隸屬度的最小 值；若兩個模糊集合相交但不是包含關(guān)系，其交集的隸屬度就有許多可能值，取決于相交程 度，新模糊集合論模仿條件概率定義了覆蓋系數(shù)來表示這一相交程度。

定義4 在C^*-模糊集合論中， μ(B｜A, u)=μ(A∩B,u)/μ(A,u)被定義為C^*-模糊集合A*對于C^*-模糊集合B*在u 上的覆蓋系數(shù)。從而滿足μ(A｜A,u)=1， μ(Φ｜A, u)=0， μ(Ω｜A, u)=1和μ(B｜A, u )∈［0，1］， 其中， μ(A,u)≠0，u∈U，A∈X，且B∈X，以及μ(∪B,u)=μ(A, u)+μ(B,u)μ( A｜B,u)。

在模糊集合之間存在的關(guān)系上，用覆蓋系數(shù)來刻畫集合關(guān)系的程度，進(jìn)一步完善了客觀 反映信息的完備性。

2 三種理論的比較和分析

2.1 模糊集和Vague集

Vague集是對模糊集的一種擴(kuò)充，是模糊集的擴(kuò)展集，它從真假兩個方面對研究對象進(jìn)行描 述，彌補(bǔ)了模糊集中單一隸屬函數(shù)的不足。Vague集比模糊集更好的描述不確定性。

Vague集理論和模糊集理論都可以處理模糊、不確定問題，它們的隸屬函數(shù)都依賴于統(tǒng) 計(jì)或?qū)＜医?jīng)驗(yàn)。模糊集的核對應(yīng)于Vague集的正域（真隸屬度為1），模糊集的支集對應(yīng)于Va gue集的最大可能域（假隸屬度小于1）。

具體來講，模糊集的隸屬度是一個單值，Vague集的隸屬度是［0，1］的一個子區(qū)間。Vag ue集理論可以通過其隸屬函數(shù)表示對象的支持度、反對度和中立度（未知度）三種信息。模 糊集通過其隸屬函數(shù)僅能表示對象的支持度和反對度，不能表示中立度。如此，Vague集能 更好、更準(zhǔn)確的表達(dá)模糊信息。

問題或研究對象的不確定性使集合帶有不確定性，從理論上講，模糊集的應(yīng)用也可以通 過Vague集來實(shí)現(xiàn)，而且用Vague集更合理、更客觀。從實(shí)際應(yīng)用看，某些情況用模糊集合已 經(jīng)足夠，用Vague集合更復(fù)雜，相對所用資源或時間復(fù)雜度就比較大，而有些不能夠準(zhǔn)確描 述模糊信息的情況下，用Vague集就比較合適。

兩者在一定程度上可以互相轉(zhuǎn)化。如兩個模糊集構(gòu)建一個Vague集的方法［6］；Vagu e集向模糊集轉(zhuǎn)化的方法［7-8］。

2.2 模糊集和C^*-模糊集

C^*-模糊集合論從集合關(guān)系的角度指出了模糊集合論的不足：通過模糊集合的隸屬 度去求 其交集不總是可能的。新模糊集合論參照概率論中條件概率定義了覆蓋系數(shù)，用其來刻畫相 交程度。模糊集合論的最大、最小值算法僅僅對相互包含（非一致包含）有效，如果不能完 全包含，就開始出現(xiàn)誤差，覆蓋系數(shù)越小，誤差越大。

非一致包含：

μ(A∩B,u)=[ZK(]μ(A,u)-μ(A,u)μ(B｜A,u)=

min(μ(A,u),μ(B,u))

μ(A∪B,u)=[ZK(]μ(A,u)+μ(B,u)μ(A｜B,u)=

max(μ(A,u),μ(B,u))

C^*-模糊集合論還把模糊集合論中的補(bǔ)定義成共軛，從而解釋了存在既屬于某 集合，又屬于該集合的補(bǔ)的客觀模糊現(xiàn)象。

求補(bǔ)：

存在一個補(bǔ)集μ(A, u)=1-μ(A, u)， 滿足A∩A=Φ

存在多個共軛，滿足μ(ΘA,u)=1-μ(A,u)

理論上，C^*-模糊集合論修正了模糊集合論，并與概率論形成了統(tǒng)一定義，把客觀 模糊現(xiàn)象形成了嚴(yán)格的理論模型，從而使模糊理論更有指導(dǎo)意義。

應(yīng)用上，覆蓋系數(shù)的確定比較困難，在特殊需要準(zhǔn)確表達(dá)模糊信息的情況，使用C^* -模糊集顯然更完備、更合理。

2.3 Vague集和C^*-模糊集

Vague集是論域內(nèi)的元素和論域上的集合之間的關(guān)系是“在一定范圍內(nèi)屬于”的關(guān)系，是一 個區(qū)間的表示，C^*-模糊集就是把這個區(qū)間用覆蓋系數(shù)刻畫，在這個劃定的“一定 范圍”用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述。兩者都是出于為了完整的表達(dá)模糊概念同一個目的，提出的 不同方案：Vague集直觀的表述了支持、反對、中立的證據(jù)；C^*-模糊集提出用覆蓋 系數(shù)，以概率的方式表述了模糊分界區(qū)域。

特別地，在關(guān)系運(yùn)算方面，目前還在理論探索中，設(shè)X，Y是兩個論域，稱A∈F(X×Y)為X 到Y(jié)上的一個Vague關(guān)系， 對于X×Y中的任一元素(x, y)， x與y具有Vague關(guān)系A(chǔ)用 一真隸屬函數(shù)t_A(x,y)和一假隸屬函數(shù)f_A(x,y)表示。

Vague集合關(guān)系［9］如下：

(1) Vague關(guān)系的并和交

tA∩B(x,y)=min(t_A(x,y),t_B(x,y))

1-fA∩B(x,y)=1-max(f_A(x,y),f_B(x,y))

tA∪B(x,y)=max(t_A(x,y),t_B( x,y))

1-fA∪B=1-min(f_A(x,y),f_B(x,y))

(2) Vague集合求補(bǔ)

tA(x,y)=f_A(x,y)，1-fA(x,y)=1-t_A(x,y)

如此定義的Vague關(guān)系拘泥于元素之間的關(guān)系，忽略了論域的關(guān)系，其完備性不足，適 用范圍有限。為完整刻畫Vague集合關(guān)系，本文由C^*-模糊集合論思路，引用覆蓋系 數(shù)概念，給出Vague集合關(guān)系如下:

tA(x,y)=f_A(x,y)+(1-t_A (x,y)-

f_A(x,y))=1-t_A(x,y)

tA∩B(x,y)=t_A(x,y)-t_A(x,y)t 〣｜A(x,y)

且，當(dāng)A與B不相交時為0；A 與B相互包含時為min(t_A(x,y),t_B(x,y))；

tA∪B(x,y)=t_A(x,y)+t_B(x,y)t_A｜B(x,y)

且，當(dāng)A與B不相交時為0 ；A與B相互包含時為max(t_A(x,y),t_B(x,y))。

略證：

tA∩B(x,y)=t_A(x,y)tB｜A(x,y)=

t_A(x,y)(1-tB｜A(x,y))=

t_A(x,y)-t_A(x,y)tB｜A(x,y)=

t_B(x,y)-t_B(x,y)tA｜B(x,y)[ZK)]

tA∪B(x,y)=t_A(x,y)+tA ∩B(x,y)=

t_A(x,y)+t_B(x,y)tA｜B(x,y)) =

t_B(x,y)+t_A(x,y)tB｜A(x,y)[ZK )]

同理，1-fA∪B(x,y)=1-f_A(x, y)-f_B(x, y)f A｜B(x, y)，且當(dāng)A與B 相互包含時為

1- max(f_A(x,y),f_B(x,y))；

1-fA∩B(x,y)=1-f_A(x,y)+f_A(x,y) fB｜A(x,y)，且當(dāng)A與B 相互包含時 為1- min(f_A(x,y),f_B(x,y))。

模糊集合論中tA(x,y)=f_A(x,y)， 不能完備地反映客觀世界；C^*-模糊集合論中f_A(x,y)+(1-t_A(x,y)-f_A(x,y)) 即為t_A(x,y)的共軛；Vague集合中把存在既屬于又不屬于的客觀現(xiàn)象歸結(jié)于1-t_A(x ,y)-f_A(x,y)，可以說，Vague集是具體應(yīng)用中不失方便又符合客觀的一種方法。

3 三種理論的發(fā)展及應(yīng)用

模糊集理論目前一直沿著理論研究和應(yīng)用研究兩個方向迅速發(fā)展著。理論研究主要是經(jīng) 典數(shù)學(xué)概念的模糊化。在目前學(xué)科交叉細(xì)化和模糊集自身的復(fù)雜層次結(jié)構(gòu)的情況下，理論研 究更深入，目前已形成模糊拓?fù)?、模糊代?shù)、模糊分析、模糊測度及模糊計(jì)算機(jī)等模糊數(shù)學(xué) 分支。應(yīng)用研究主要對模糊性的內(nèi)在規(guī)律的探索、對模糊邏輯和模糊信息處理技術(shù)的研究， 其應(yīng)用范圍遍及社會科學(xué)和自然科學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域，許多方面諸如模糊控制、模糊決策、 聚類分析、人工智能等取得了顯著成就。

Vague集對模糊概念的描述比模糊集更加符合客觀實(shí)際，有著更好的效果，對于數(shù)據(jù)本 身的未知性、不確定性的描述比較準(zhǔn)確，目前主要應(yīng)用在機(jī)器學(xué)習(xí)、聚類分析等領(lǐng)域。具體 在這個概念下的Vague集合關(guān)系應(yīng)用到數(shù)據(jù)挖掘中的模糊聚類算法，圖像處理，應(yīng)用Vague相 似度量理論提出的建筑設(shè)計(jì)、對PID參數(shù)整定以及多目標(biāo)模糊決策等，可以說應(yīng)用范圍正在 迅速向社會科學(xué)和自然科學(xué)的各個領(lǐng)域擴(kuò)展。

C^*-模糊集理論與概率論的基本部分可以統(tǒng)一定義，從理論上發(fā)展了模糊集合論， 使Zadeh 的模糊集合論成為其子系統(tǒng)，作為一新提出的概念，目前只是在理論探索中，尚未實(shí)際應(yīng)用 到技術(shù)領(lǐng)域，但從其發(fā)展來看，以其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗涂陀^完備性必將涉及到數(shù)據(jù)挖掘、信息安 全等更為廣泛的領(lǐng)域。

模糊集、Vague集、C^*-模糊集理論是一脈相承的，是在實(shí)際應(yīng)用和理論研究中發(fā)展 著的經(jīng) 典集合理論，使得集合論的應(yīng)用擴(kuò)展到更多處理不確定問題領(lǐng)域中。在集合論的各種擴(kuò)展理 論之上，文獻(xiàn)［12］又提出統(tǒng)一集理論，在人工智能等應(yīng)用上描述了一個統(tǒng)一模型。各種 理論一直在向前發(fā)展不斷完善中。

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(責(zé)任編輯：何學(xué)華)