蔣　濤

2008高考，我最欣賞的一道數(shù)學(xué)試題是江西卷理科第10題.試題如下.

連接球面上兩點的線段稱為球的弦.如下圖，半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于2、4，M，N分別為AB、CD的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：①弦AB、CD可能相交于點M②弦AB、CD可能相交于點N③MN的最大值為5④MN的最小值為1其中真命題的個數(shù)為（）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

分析：四個命題的判斷實際上是兩個問題，可分開處理.①②主要針對兩條動弦的位置可能作出判斷，可看做問題（1）；而③④解決的關(guān)鍵是求出MN的取值范圍，作為問題（2）.由題設(shè)易得OM=3，ON=2，可合理使用.

1. 類比法

將空間問題平面化，此題可追溯到平面中的兩個結(jié)論：

（1）在圓中兩動弦可能相交于短弦的中點，但不可能相交于長弦的中點.

（2）平面上兩動點M、N到定點O分別為定長d1、d2，則當(dāng)O、M、N三點共線時MN取得最值：M、N同側(cè)時MN取得最小值，M、N異側(cè)時MN取得最大值.

結(jié)論（1）利用反證法說明：假設(shè)弦AB、CD相交于點N.

∵ AB2=4（R2-OM2），CD2=4（R2-ON2），

在Rt△OMN中，OM

∴AB2>CD2，即AB>CD.

與已知AB

結(jié)論（2）則是顯而易見的，不需要證明，據(jù)此很容易選對答案.

以下方法易解決問題（2）.

點評：類比是一種方法，更是一種合情推理能力，新課標(biāo)要求學(xué)生掌握這種能力并體現(xiàn)在解題過程中，高中階段最典型的類比類型是等差到等比，平面到空間，關(guān)鍵是學(xué)生在感悟中深刻體會，在實踐中加強鍛煉.

2. 軌跡法

將動點問題軌跡化，動點M、N的軌跡為以3、2為半徑的兩個同心球.M、N在運動的過程中不難發(fā)現(xiàn)則當(dāng)M、N與球心O三點共線時MN取得最值：M、N在O同側(cè)時MN取得最小值1，即兩半徑之差；M、N在O異側(cè)時MN取得最大值5，即兩半徑之和.

點評：軌跡思想是解決動點問題的不二法門，把一些比較復(fù)雜的問題幾何化，借助于形的直觀性，很容易作出判斷或者求解.

3. 向量法

由已知推導(dǎo)得｜｜=3，｜｜=2，｜｜=｜-｜.下面可以用兩種方法推導(dǎo)結(jié)果.由三角不等式或者兩邊平方都可以推導(dǎo)出MN的最值.

方法一：由三角不等式知：｜｜｜-｜｜｜≤｜-｜≤｜｜+｜｜，即1≤｜-｜≤5.∴｜｜max=5，｜｜min=1.

方法二：將｜｜=｜-｜兩邊直接平方，得

｜｜2=-｜-｜2=(-)2=｜｜2+｜｜2-2?=13-12cos∠MON.

∵cos∠MON∈［-1，1］，∴｜｜2∈［1，25］即｜｜∈［，15］.

點評：向量單獨的知識點在高考中所占的份額一般不大，但是向量往往卻可以作為工具使用，具有很強的兼容性，三角、解析幾何與向量的完美結(jié)合開拓了視野，豐富了解法，更體現(xiàn)了不同知識章節(jié)之間的聯(lián)系.

4. 三角法

由余弦定理MN2=OM2+ON2-2OM×ON×cos∠MON=14-12cos∠MON=13-12cos∠MON.

根據(jù)cos∠MON∈易得MN∈［1，5］.

點評：此法與向量法中的方法二頗為類似，但出發(fā)點是不同的.脫去已知條件所穿著的“沉重的大衣”，直接瞄準(zhǔn)目標(biāo)，用O、M、N三點的關(guān)系來求解MN的最值，這種解法關(guān)鍵在于化歸思想.

本題設(shè)計巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的“妙”題，而解法的豐富多彩給學(xué)生留下了一個自由發(fā)揮的廣闊探索空間，學(xué)生在探索的過程中收獲著樂趣和成功，沒有比巧妙解決掉一個問題所帶來的充實和自豪感更美妙的了，有幸碰到這樣一道“奇妙”的問題，讓學(xué)生有了用武之地，思維一旦打開，智慧的火花必將燦爛奪目.如此“妙”題，不愧是我最欣賞的一道數(shù)學(xué)試題??！