于志洪

（一）曾任國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席的弗賴登塔爾在《思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)》中提出問(wèn)題：“設(shè)有白酒與紅酒各一杯，分量相同.現(xiàn)從白酒杯中舀一匙放入紅酒杯中，調(diào)勻后，舀回一匙放進(jìn)白酒杯中.問(wèn)白酒杯中所含的紅酒是否少于紅酒杯中所含的白酒？”

弗氏說(shuō)，會(huì)出現(xiàn)兩種解法.多數(shù)人會(huì)在設(shè)酒杯和羹匙的容積之后，實(shí)際計(jì)算一番（其中不少人還會(huì)遇到困難）.只有少數(shù)人會(huì)作如下的“思辨”求解：兩個(gè)杯子最終所盛液體分量相同.設(shè)想將每杯中的白酒與紅酒分離，則白酒杯中之紅酒是來(lái)自紅酒中之“所失”，而紅酒杯中“所失”的分量正好由白酒置換.因此，白酒杯中所含的紅酒與紅酒杯中所含的白酒，分量相同.

多一點(diǎn)思考，換一個(gè)角度，問(wèn)題就一語(yǔ)道破！大師的“思路”，令人大開(kāi)眼界.

（二）當(dāng)代數(shù)學(xué)大師陳省身，1980年在北京大學(xué)的一次講學(xué)中妙語(yǔ)驚人：“人們常說(shuō)，三角形內(nèi)角和等于180°.但是，這是不妥的！”當(dāng)時(shí)全場(chǎng)爆發(fā)一陣笑聲，于是陳教授作了精辟的解釋：“三角形內(nèi)角和為180°”不妥，不是說(shuō)這個(gè)事實(shí)不對(duì)，而是說(shuō)這種看問(wèn)題的方法不對(duì)，應(yīng)該說(shuō)“三角形外角和是360°”.把眼光盯住內(nèi)角，只能看到三角形，四邊形，……，n邊形的內(nèi)角和分別是180°，360°，……，（n-2）·180°——公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n.

如果看外角呢？不論是三角形、四邊形或n邊形，外角和都是360°！這樣就把一切可能的情況用一個(gè)十分簡(jiǎn)單的結(jié)論概括出來(lái)，用一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常量（360°）代替了與n有關(guān)的公式，找到了更一般、更明白的規(guī)律.

設(shè)想一只螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子，每經(jīng)過(guò)一個(gè)頂角，它的前進(jìn)方向就要改變一次，改變的角度恰好是這個(gè)頂點(diǎn)處的外角的度數(shù).爬了一圈，回到原處，角度改變量之和當(dāng)然恰好是360°.

（三）G·波利亞曾任國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席，“雞兔同籠”問(wèn)題最早見(jiàn)于我國(guó)古代的《孫子算經(jīng)》.波利亞認(rèn)為該題是一個(gè)“智力測(cè)驗(yàn)的難題”，若干世紀(jì)以來(lái)一直使“許多聰明的青少年感興趣”.下面就讓數(shù)學(xué)教育大師向我們講解“雞兔同籠”問(wèn)題.

題目：一戶農(nóng)家的大籠子里關(guān)著若干只雞和兔子，它們共有50個(gè)頭和140條腿，問(wèn)其中雞、兔各幾只？

解1（試湊法）一共50只雞兔，它們不會(huì)全是雞，否則只有100條腿；也不可能全是兔子，否則將有200條腿.會(huì)不會(huì)正好一半是雞，另一半是兔子？如果這樣，總共的腿數(shù)為25×2+25×4，即150條，超過(guò)了題目中的140條.可知兔子應(yīng)少于25只，讓我們?cè)僭囈辉嚕?0只兔子，30只雞），這時(shí)總共的腿數(shù)為20×4+30×2=140（條）.這里用的是試湊、猜測(cè)的辦法.

解2（觸景生情引發(fā)的巧思）在我們持續(xù)探求新解法時(shí)，有人忽然看見(jiàn)籠子里的家畜作出一種新姿勢(shì)：每只雞都用一條腿站著，而每只兔子都僅用后腿（兩條）站著.這時(shí)，只用了半數(shù)的腿，即70條腿，在70這個(gè)數(shù)目中，顯然雞的頭只計(jì)算了一次，而兔子的頭則計(jì)算了兩次.從70這個(gè)數(shù)減去所有的頭數(shù)50，就應(yīng)是兔子的頭數(shù)70-50=20，即兔子20只，于是雞有30只.

巧思是誘人的，但畢竟不可多得，如果不是“觸景生情”，也一定是有心人久經(jīng)思索所得.

解3（代數(shù)的方法）我們已經(jīng)學(xué)過(guò)“好的數(shù)學(xué)——方程（組）”，多數(shù)讀者一定會(huì)列方程（組）解決此題：