不等式求最值問題是數(shù)學學習的重難點，不僅考驗我們對不等式理論的理解，還考驗我們的邏輯思維和創(chuàng)新能力。在解答不等式最值問題時，要想在復雜的條件下精準找出最優(yōu)解，既要具備扎實的數(shù)學基礎，又要具備靈活的解題技巧。為此，掌握高效的解題方法至關重要。

一、基本不等式概述

不等式是描述兩個量之間關系的重要工具?；静坏仁?，即基本的數(shù)學不等式，不僅是中學數(shù)學課程的核心內容，也是數(shù)學分析和優(yōu)化問題的基石。它們以其簡潔而深邃的性質，揭示了量之間的比較和約束，為數(shù)學推理和應用提供了有力的支持。常見的基本不等式結論有：

1.如果，那么（當且僅當a=b時取“=”）；

2.如果agt;0，bgt;0則（當且僅當a=b時取“=”）；

推論（agt;0，bgt;0）；；（agt;0，bgt;0）。

二、基本不等式求最值的常見題型總結及答題方法

（一）直接法求最值

直接法求最值是處理不等式問題最直觀的一種方法，通常通過直接代入或觀察來尋找最優(yōu)解，適用于不等式形式簡單、結構明確的問題。一般步驟如下。

1.明確問題：仔細閱讀題目，理解不等式及其約束條件。

2.代入計算：將可能的變量值代入不等式中，進行計算和比較。

3.驗證結果：檢查計算結果是否滿足所有條件，并確認其為最優(yōu)解。

例1（2023四川綿陽）若xgt;0，ygt;0，x+2y=5，則的最小值為（" " "）

A." " " " " " B." " " " " " C." " " nbsp; " " D.

解析：因為xgt;0，ygt;0，x+2y=5。所以，所以xy≤，

當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為，故選：A。

解題技巧：通過代入已知條件或利用不等式的基本性質，能夠快速解答。但是，注意在定義域有界時，要檢查邊界值是否滿足條件。

（二）配湊法求最值

配湊法是一種通過巧妙的重組或變換，將復雜的不等式問題簡化為已知形式，以便于求解最值的方法。該方法通常涉及將不等式分解成易處理的部分或將變量進行適當?shù)呐浜?，從而簡化計算過程。一般步驟如下。

1.觀察和重組：分析不等式的結構，嘗試將其拆分或重組為更簡單的形式。

2.應用已知公式：根據不等式的形式，選擇合適的公式或不等式進行簡化。

3.配對轉化：通過對變量進行配對，將其轉化為標準不等式形式，使問題更易處理。

4.驗證最值：通過求導或代入邊界值等方法驗證最值是否滿足條件，確保所求解確為最優(yōu)解。

例2" "已知xgt;-1，則函數(shù)的最小值是（" " ）

解析：因為xgt;-1，

所以=≥

當且僅當時等號成立，即x=1。故：函數(shù)的最小值為3。

解題技巧：對不等式中的變量或項進行合理配對，將其轉化為已知形式，通過對稱配對或組合，將問題簡化為標準不等式，從而更容易求解最值。此外，解決配湊后的不等式，并通過代入特殊值、求導等方法，確保求得的最值符合實際條件，確認其為最優(yōu)解。

（三）與基本不等式有關的參數(shù)問題

在涉及基本不等式的參數(shù)問題中，通常會出現(xiàn)一個或多個參數(shù)需要優(yōu)化，使不等式滿足最優(yōu)條件。此類問題的目標是找到滿足特定條件下參數(shù)的最優(yōu)值。一般步驟如下。

1.分析問題：明確問題中涉及的基本不等式及其參數(shù)，理解參數(shù)如何影響不等式的形式和結果。

2.設定目標：確定需要優(yōu)化的目標，如使某個表達式最大化或最小化，或者使不等式成立。

3.應用不等式：選擇合適的基本不等式，將參數(shù)分離，構造一個關于參數(shù)的不等式或方程。

4.求解最值：通過求解構造出的不等式或方程來找出最優(yōu)的參數(shù)值，可以使用導數(shù)法、邊界分析等技巧。

5.驗證結果：確保求出的參數(shù)值能夠滿足所有原始條件，并符合實際問題中的要求。

例4已知agt;0，bgt;0，滿足，若不等式m2-8mlt;a+b恒成立，則實數(shù)m的取值范圍（" "）

解析：因為不等式m2-8mlt;a+b恒成立，所以m2-8mlt;（a+b）min

由，agt;0，bgt;0，可得

當且僅當a=6，b=3時等號成立，所以m2-8mlt;（a+b）min=9

所以m2-8mlt;9，解得-1lt;mlt;9。故：-1lt;mlt;9

解題技巧：在參數(shù)問題中，清楚需要優(yōu)化的目標和涉及的不等式，根據問題的性質選擇適當?shù)幕静坏仁絹砗喕瘑栴}，將參數(shù)分離不等式，利用不等式性質找出最優(yōu)值，最后檢查求解結果是否符合所有原始條件，并對極端情況進行驗證。