如果細(xì)心觀察一下，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，日常生活中的兩個(gè)變量之間，許多具有反比例函數(shù)關(guān)系，即y = [kx] （k為常數(shù)，且k [≠] 0）.下面舉例介紹反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用.

一、工程效率問(wèn)題

例1 紅星糧庫(kù)需要把晾曬場(chǎng)上的1200噸玉米入庫(kù)封存.

（1）入庫(kù)所需的時(shí)間d（單位：天）與入庫(kù)平均速度v（單位：噸/天）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）已知糧庫(kù)有職工60名，每天最多可入庫(kù)300噸玉米，預(yù)計(jì)玉米入庫(kù)最快可在幾天內(nèi)完成？

（3）糧庫(kù)職工連續(xù)工作兩天后，天氣預(yù)報(bào)說(shuō)未來(lái)幾天會(huì)下雨，糧庫(kù)決定次日把剩下的玉米全部入庫(kù)，至少需要增加多少名職工？

解析：（1）入庫(kù)時(shí)間與入庫(kù)的平均速度成反比例函數(shù)關(guān)系，即d = [1200v].

（2）當(dāng)v = 300（噸/天）時(shí)，d = [1200300] = 4（天），故最快可在4天內(nèi)完成.

（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，兩天后剩余未入庫(kù)玉米有1200 - 2 × 300 = 600 （噸），每名職工每天可入庫(kù)的玉米數(shù)量是300 ÷ 60 = 5（噸），欲使剩下的600噸玉米在一天內(nèi)入庫(kù)完畢，所需職工人數(shù)為600 ÷ 5 = 120（名），則應(yīng)增加的職工人數(shù)為120 - 60 = 60（名）.

二、關(guān)聯(lián)變量成反比例問(wèn)題

例2 通過(guò)試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽(tīng)課注意力指標(biāo)隨上課時(shí)間的變化而變化，上課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開(kāi)始分散. 學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖像如圖1所示，當(dāng)0 ≤ x lt; 10和10 ≤ x lt; 20時(shí)，圖像是線段；當(dāng)20 ≤ x ≤ 45時(shí)，圖像是反比例函數(shù)的一部分.

（1）求點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值；

（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽(tīng)這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y = [kx] ，由C（20，45）得k = 20 × 45 = 900，根據(jù)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為45，求出其縱坐標(biāo)為20，得到點(diǎn)D（45，20），進(jìn)而得到點(diǎn)A（0，20），即點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值為20.

（2）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)求得直線AB的解析式為y = 2.5x + 20. 當(dāng)y ≥ 36時(shí)，x的取值范圍為x ≥ 6.4. 由k = 900得反比例函數(shù)解析式為y = [900x]，根據(jù)其增減性可知：當(dāng)y ≥ 36時(shí)，0 lt; x ≤ 25. 由25 - 6.4 = 18.6 gt; 17，可得到答案：張老師可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽(tīng)這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36.

三、跨學(xué)科問(wèn)題

例3 杠桿原理在生活中被廣泛應(yīng)用（杠桿原理：阻力 × 阻力臂 = 動(dòng)力 × 動(dòng)力臂），小明利用這一原理制作了一個(gè)稱量物體質(zhì)量的簡(jiǎn)易“秤”（如圖2①），制作方法如下：第一步，在一根勻質(zhì)細(xì)木桿上標(biāo)上均勻的刻度（單位長(zhǎng)度為1 cm），確定支點(diǎn)O，并用細(xì)麻繩固定，在支點(diǎn)O左側(cè)2 cm的A處固定一個(gè)金屬吊鉤；第二步，取一個(gè)質(zhì)量為0.5 kg的金屬物體作為秤砣.

（1）圖2①中，把重物掛在秤鉤上，秤砣掛在支點(diǎn)O右側(cè)的B處，秤桿平衡時(shí)就能秤得重物的質(zhì)量.當(dāng)重物的質(zhì)量變化時(shí)，OB的長(zhǎng)度隨之變化. 設(shè)重物的質(zhì)量為x kg，OB的長(zhǎng)為y cm，寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式. 若0 lt; y lt; 48，求x的取值范圍.

（2）調(diào)換秤砣與重物的位置，把秤砣掛在秤鉤上，重物掛在支點(diǎn)O右側(cè)的B處，使秤桿平衡，如圖2②，設(shè)重物的質(zhì)量為x kg，OB的長(zhǎng)為y cm，寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，完成表1，并在如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖像.

lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版202502" 排版打不開(kāi)＼2期pb＼CZ25-4-1.psdgt; [A][B][O] [秤砣][①][②] [A][B][O] [圖2] [圖3] [y][x][4][3][2][1][O][1][2][3][4][ ]

表1

[x/kg … 0.25 0.5 1 2 4 … y/cm … … ]

解析：（1）∵阻力 × 阻力臂 = 動(dòng)力 × 動(dòng)力臂，∴重物質(zhì)量 × OA = 秤砣質(zhì)量 × OB，

∵重物質(zhì)量為x kg，OA = 2 cm，秤砣質(zhì)量為0.5 kg，OB的長(zhǎng)為y cm，

∴2x = 0.5y ，∴y = 4x.

由0 lt; y lt; 48，通過(guò)計(jì)算可知：當(dāng)y = 0時(shí)，x = 0；當(dāng)y = 48時(shí)，x = 12. 由k = 4 gt; 0可知y隨x的增大而增大，因此x的取值范圍為0 lt; x lt; 12.

（2）∵阻力 × 阻力臂 = 動(dòng)力 × 動(dòng)力臂，∴重物質(zhì)量 × OB = 秤砣質(zhì)量 × OA，

∵重物質(zhì)量為x kg ， OA = 2 cm，秤砣質(zhì)量為0.5 kg，OB的長(zhǎng)為y cm，

∴2 × 0.5 = xy，∴y = [1x]，填表如表2.

表2

[x/kg … 0.25 0.5 1 2 4 … y/cm … 4 2 1 0.5 0.25 … ]

作函數(shù)圖像如圖4所示.

拓展訓(xùn)練

生活中處處充滿著趣味數(shù)學(xué)，根據(jù)游樂(lè)場(chǎng)水上滑梯的側(cè)面示意圖建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，其中BC段可以看成是反比例函數(shù)y = [kx] （x gt; 0）的圖像的一部分，OD為水面，矩形AOEB為向上攀爬的梯子，每節(jié)梯子高0.5 m，寬1 m，點(diǎn)A，E，D均在坐標(biāo)軸上，且CD ⊥ x軸.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求出口點(diǎn)C到BE的距離CF的長(zhǎng)；

（3）若滑梯BC上有一個(gè)小球Q，要求小球Q到水面的距離不高于3 m，則小球Q到BE的距離至少是多少米？

[y/m][A][B][Q] [C][F][D][E][O][x/m]

圖5

答案：（1）y = [6x] （2）4 m （3）至少1 m

（作者單位：開(kāi)原市民主教育集團(tuán)里仁學(xué)校）