由反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng) = [kx]（k ≠ 0）可知k = xy，而反比例函數(shù)圖像上的任意點(diǎn)到x軸和y軸的距離分別為[y]和[x]，故k的幾何意義為：經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線(xiàn)段，垂線(xiàn)段和坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積即為[k]；連接矩形對(duì)角線(xiàn)可得兩對(duì)全等三角形，面積均為[k2]. 反比例函數(shù)中，已知面積，要求利用k的幾何意義求k值是近年中考試卷上的常見(jiàn)題型，下面舉例介紹.

原題呈現(xiàn)

例 如圖1，矩形ABCD的邊AB平行于x軸，反比例函數(shù)y = [kx]（x gt; 0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D，對(duì)角線(xiàn)CA的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且AC = 2AO，若矩形ABCD的面積是8，求k的值.

破解策略

策略1：已知面積求k值，聯(lián)想到反比例函數(shù)表達(dá)式中k的幾何意義；已知線(xiàn)段的比，聯(lián)想到相似三角形. 如圖2，過(guò)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)B，D向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)，得到△CAB ∽ △COG，由△CAB的面積可得△COG的面積，再由△CAB ∽ △AOH可得△AOH的面積，進(jìn)一步求出矩形ABGH和矩形BGOF的面積，即得[k].

解：如圖2，延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)G，則BG ⊥ x軸，延長(zhǎng)DA交x軸于點(diǎn)H，則AH ⊥ x軸，延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)F，則AF ⊥ y軸.

由矩形ABCD的面積是8，

得△ABC的面積是4.

由△CAB ∽ △COG且AC = 2AO，

得其相似比為2∶3，

∴其面積比為4∶9，∴S△COG = 9.

由△CAB ∽ △AOH且AC = 2AO，

得其相似比為2∶1，

∴其面積比為4∶1，

∴S△AOH = 1，∴S△AOF = 1，

∴S矩形ABGH = S△COG - S△CAB - S△AOH = 9 - 1 - 4 = 4，

∴S矩形BGOF = S矩形ABGH + S△AOF + S△AOH = 4 + 1 + 1 = 6.

∵k gt; 0，∴k = 6.

策略2：先過(guò)反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)B，D向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)（如圖3），再設(shè)點(diǎn)坐標(biāo). 關(guān)于設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)介紹兩類(lèi)方法如下：一是利用反比例函數(shù)表達(dá)式設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，由△AOH ∽ △COG表示出線(xiàn)段OG的長(zhǎng)度，即得點(diǎn)B 的橫坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)表達(dá)式表示出點(diǎn)[B]的縱坐標(biāo)；二是用兩個(gè)未知數(shù)表示出反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)D和B的坐標(biāo)，利用△AOH ∽ △COG表示相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)度，此過(guò)程中設(shè)了兩個(gè)未知數(shù)，但設(shè)而不求，采用整體思想求解. 最后用面積作等量關(guān)系列方程求k值.

解法1：如圖3，延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)G，則BG ⊥ x軸，延長(zhǎng)DA交x軸于點(diǎn)H，則AH ⊥

x軸.

設(shè)D（a，[ka]），則xA = a.

由△AOH ∽ △COG且AC = 2AO，

得其相似比為1∶3，

∴OG = 3OH = 3a，∴xB = 3a.

設(shè)B（3a，[k3a]），∴yA = yB = [k3a]，

∴AB = xB - xA = 3a - a = 2a，AD = yD - yA = [ka] - [k3a] = [2k3a]，

∴S矩形ABCD = AB·AD = 2a·[2k3a] = [4k3] = 8，

∴k = 6.

解法2：如圖3，延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)G，則BG ⊥ x軸，延長(zhǎng)DA交x軸于點(diǎn)H，則AH ⊥

x軸.

由△AOH ∽ △COG且AC = 2AO，

得其相似比為1∶3，

則OH∶OG = AH∶CG = 1∶3.

設(shè)xD = xA = a，則xB = 3a，

設(shè)yA = yB = b，則yD = 3b，即D（a，3b），B（3a，b），

∴AB = xB - xA = 3a - a = 2a，AD = yD - yA = 3b - b = 2b，

∴S矩形ABCD = AB·AD = 2a·2b = 4ab = 8，

∴ab = 2，∴k = 3ab = 6.

方法歸納

解決此類(lèi)問(wèn)題有兩種策略. 第一種是由已知圖形的面積求出能用[k]表示的圖形的面積，從而求出k，但這種策略只適用于解部分此類(lèi)問(wèn)題.

第二種適用于所有此類(lèi)問(wèn)題，歸納為三步：

（1）作垂線(xiàn)，過(guò)反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)段；

（2）設(shè)坐標(biāo)，設(shè)出反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）列方程，用面積作等量關(guān)系列方程求k值.

解題過(guò)程中會(huì)用到相似三角形、借助點(diǎn)坐標(biāo)表示線(xiàn)段長(zhǎng)度等知識(shí).

拓展訓(xùn)練

1. 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOC的邊OA在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y = [kx]（x gt; 0）的圖像經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn). 若△AOC的面積是6，則k的值為 .

[x][y][C][B][A][O] [y][x][D][O][A][B] [y][x][D][O][A][B][C]

圖4 圖5 圖6

2.如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點(diǎn)D，且BD = AD，反比例函數(shù)y = [kx]（x gt; 0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，若S△OAB = 1，求k的值.

3.如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，[?]OABC的頂點(diǎn)A，B在第一象限內(nèi)，頂點(diǎn)C在y軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)y = [kx]（x gt; 0）的圖像交BC于點(diǎn)D. 若CD = 2BD，[?]OABC的面積為15，求k的值．

4.如圖7，點(diǎn)A是反比例函數(shù)[y=kx]（[xgt;0]）的圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC ⊥ x軸，垂足為點(diǎn)C，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)B，使BC = 2AC，點(diǎn)D是y軸上任意一點(diǎn)，連接AD，BD，若△ABD的面積是6，則k = .

答案：1. 4 2. 2 3. 18 4. 4

（作者單位：沈陽(yáng)市渾南區(qū)第一初級(jí)中學(xué)）