【摘要】本文旨在深入剖析高中數(shù)學(xué)解析幾何中定點(diǎn)定值問題的難點(diǎn)，并重點(diǎn)分析齊次化、賦值法（點(diǎn)乘雙根法）、極點(diǎn)極線等方法在處理這類問題時(shí)的應(yīng)用.通過結(jié)合具體例題進(jìn)行說明，幫助學(xué)生更好地理解這些方法的原理和使用技巧，從而提高解題能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；定點(diǎn)定值；解題方法

1引言

高中數(shù)學(xué)中的解析幾何定點(diǎn)定值問題因深度和廣度而成為學(xué)習(xí)挑戰(zhàn).這些問題涉及圓錐曲線的復(fù)雜特性，需要學(xué)生掌握向量、坐標(biāo)、方程等代數(shù)知識(shí).學(xué)生在解題中常感困惑，因此尋找高效解題方法至關(guān)重要，對學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展意義重大.

2齊次化法

齊次化法處理解析幾何定點(diǎn)定值問題有效.通過平移坐標(biāo)系或代數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為齊次方程求解.適用于斜率之和或積為定值的解析幾何問題.

例1已知橢圓C：x24+y23=1過點(diǎn)A1，32，E，F(xiàn)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）如果直線AE的斜率與AF的斜率之和為2，證明直線EF恒過定點(diǎn)；

（2）如果直線AE的斜率與AF的斜率之積為2，證明直線EF恒過定點(diǎn)．

解析（1）首先完成（平移構(gòu)造+齊次化）平移坐標(biāo)系．

平移坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A1，32重合，則x=x′+1，y=y′+32，得新坐標(biāo)系x′Oy′，在新坐標(biāo)系中，

橢圓方程為（x′+1）24+y′+3223=1，

化簡得3x′2+4y′2+6x′+12y′=0①=1*GB3，

直線EF平移后變?yōu)镋′F′，其方程不妨設(shè)為mx′+ny′=1.

代入①=1*GB3中構(gòu)建齊次式得3x′2+4y′2+6x′（mx′+ny′）+12y′（mx′+ny′）=0，

化簡得（4+12n）y′x′2+（6n+12m）y′x′+（3+6m）=0②=2*GB3，

易知kAE′和kAF′是方程②=2*GB3的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得kAE′+kAF′=－6n+12m4+12n=2，

化簡得n=－615m－415，

代入直線mx′+ny′=1，

得mx′+－615m－415y′=1，

整理得mx′－615y′－415y′－1=0，

直線E′F′恒過x′－615y′=0和直線－415y′－1=0的交點(diǎn)－32，－154，

直線EF恒定過點(diǎn)－12，－94．

（2）kAE′·kAF′=3+6m4+12n=2，即m=4n+56，

直線E′F′的方程為n（4x′+y′）+56x′－1=0，

直線E′F′恒過4x′+y′=0和直線56x′－1=0的交點(diǎn)65，－245，

則直線EF恒定過點(diǎn)115，－3310．

3賦值法（點(diǎn)乘雙根法）

賦值法（點(diǎn)乘雙根法）簡化解析幾何問題，利用二次函數(shù)與其根的關(guān)系，設(shè)定值或表達(dá)式確定條件，快速找到解題關(guān)鍵點(diǎn).

例2已知橢圓C：x24+y23=1，若直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以直線AB為直徑的圓恒過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

解析聯(lián)立方程，構(gòu)建雙根式.設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為E（2，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

所以EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0，

聯(lián)立x24+y23=1，y=kx+m，

化簡得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=0，

又因?yàn)閤1，x2是方程（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=0的兩個(gè)根，

所以（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=（3+4k2）（x－x1）（x－x2）①=1*GB3.

點(diǎn)乘雙根法賦值目的是對目標(biāo)EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0中的（x1－2）（x2－2）和y1y2進(jìn)行整體代換以達(dá)到簡化計(jì)算的目的，故對雙根式①=1*GB3中的x進(jìn)行賦值x=2，

再整體代入EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0，

即4k2+16mk+7m2=0，

分解因式得（7m+2k）（m+2k）=0，

所以m=－27k或m=－2k.

當(dāng)m=－2k時(shí)，直線l：y=kx+m=kx－2，故直線恒過定點(diǎn)2，0，與直線不過橢圓頂點(diǎn)矛盾，舍去；

當(dāng)m=－27k時(shí)，直線l：y=kx+m=kx－27，故直線恒過定點(diǎn)27，0．

4極點(diǎn)極線法

極點(diǎn)極線法是指通過選極點(diǎn)，將幾何關(guān)系簡化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，簡化計(jì)算.適用于圓錐曲線定點(diǎn)定值問題.

例3如圖1，已知橢圓G：x24+y22=1.點(diǎn)P是直線l：y=－12x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向橢圓G引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)MT=TN時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.

解析判斷直線l與橢圓G的位置關(guān)系為點(diǎn)P在橢圓G外.

根據(jù)極點(diǎn)P求極線方程.又PM，PN都與橢圓G相切，因此點(diǎn)P和直線MN是橢圓G的一對極點(diǎn)和極線，對于橢圓x24+y22=1，與點(diǎn)P（x0，y0）對應(yīng)的極線方程為x0x4+y0y2=1.

求出定點(diǎn)T：將y0=－12x0+2代入x0x4+y0y2=1，整理得x0x－y+4y－4=0，

顯然定點(diǎn)T的坐標(biāo)與x0的取值無關(guān)，即有x－y=0，4y－4=0，解得x=1，y=1，所以存在定點(diǎn)T（1，1）恒在直線MN上.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2） ，

代入橢圓G：x124+y122=1x224+y222=1，兩式相減，

化簡得：y1－y2x1－x2=－12.

故直線MN的方程為：y=－12x+32.

5結(jié)語

通過對典型例題的深入剖析，我們洞察到極點(diǎn)極線法、齊次化法和點(diǎn)乘雙根法在解決定點(diǎn)定值問題時(shí)的優(yōu)勢.這些方法突破了傳統(tǒng)解題難點(diǎn)，幫助學(xué)生高效解題，深化對圓錐曲線性質(zhì)的理解，提升解題技巧和數(shù)學(xué)素養(yǎng).系統(tǒng)學(xué)習(xí)這些方法，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義.

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