【摘要】本文探究導(dǎo)數(shù)不等式恒成立的判定方法及其數(shù)學(xué)原理.主要采用分類討論的思想、參數(shù)隔離法以及等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)構(gòu)造法等方法，通過具體例題分析說明判斷導(dǎo)數(shù)不等式恒成立的參數(shù)范圍的求解過程.利用分類討論思想可將復(fù)雜的參數(shù)范圍求解問題簡化，通過參數(shù)隔離法可確定參數(shù)取值區(qū)間，應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)構(gòu)造則法可將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題從而確定參數(shù)范圍.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)不等式；解題

1引言

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解答導(dǎo)數(shù)不等式時(shí)常常感到困惑，究其原因主要在于對(duì)導(dǎo)數(shù)不等式恒成立條件的判定方法掌握不夠全面深入.探究導(dǎo)數(shù)不等式恒成立的判定方法及其數(shù)學(xué)原理對(duì)提高學(xué)生解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義.本文將從分類討論、參數(shù)隔離以及等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)構(gòu)造三個(gè)角度通過實(shí)例分析闡述導(dǎo)數(shù)不等式恒成立的判定方法，以期為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些新的思路和啟示.

2利用分類討論的思想求參數(shù)范圍

例1現(xiàn)有f（x）=x－1·lnx－2－a（x－3），a∈R.試求：

（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x－1·lnx－2－ax－3的單調(diào)性；

（2）若x>3時(shí)，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

解析（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.

若a=1，

則f（x）=x－1·lnx－2－x－3，

故f′（x）=lnx－2+x－1x－2－1=ln（x－2）+1x－2.

令h（x）=lnx－2+1x－2，

則h′（x）=1x－2－1（x－2）2=x－3（x－2）2.

令h′（x）=0，可得x=3.

所以當(dāng)x∈2，3時(shí)，h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈3，+∞時(shí)，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增.

故h（x）min=h（3）=1>0，

則當(dāng)x>2時(shí)，h（x）=f′（x）>0恒成立.

因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)?，+∞，

故當(dāng)a=1時(shí)，f（x）僅有單調(diào)遞增區(qū)間2，+∞.

（2）若x>3時(shí)，f（x）>0恒成立可等價(jià)為lnx－2－a（x－3）x－1>0在3，+∞恒成立.

令g（x）=lnx－2－a（x－3）x－1，x>3，

則g′（x）=1x－2－2a（x－1）2

=x2－2（a+1）x+4a+1（x－2）（x－1）2.

令φ（x）=x2－2（a+1）x+4a+1，x>3，

則當(dāng)a≤2時(shí)，a+1≤3，故φ（x）在區(qū)間3，+∞上單調(diào)遞增.

φ（x）>φ（3）=4－2a≥0，即g′（x）≥0，故g（x）在3，+∞上單調(diào)遞增.

令g（x）=0，

解得x=3，

所以g（x）>0，在3，+∞上恒成立.

當(dāng)a>2時(shí)，a+1>3，φ（3）=4－2a<0，故φ（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，故x1<3<x2.

x∈（3，x2）時(shí)，φ（x）<0，g′（x）<0，在（3，x2）上g（x）單調(diào)遞增.

因?yàn)間（3）=0，故當(dāng)x∈（3，x2）時(shí)g（x）<g（3）=0，故在（3，x2）上g（x）>0不恒成立.

故a的取值范圍為（－∞，2］.

3利用參數(shù)隔離法確定參數(shù)取值區(qū)間

例2現(xiàn)有f（x）=ex+ax－1．若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，試求a的取值范圍.

解析由題意可得f（x）=ex+ax－1≥x2，

得a≥1+x2－exx，

令g（x）=x+1－exx，

所以g′（x）=（2x－ex）x－（1+x2－ex）x2=（x+1－ex）（x－1）x2

令h（x）=x+1－ex，x∈（0，1），

則h′（x）=1－ex，

又因?yàn)閤∈（0，1），

所以h′（x）=1－ex<0，

所以在區(qū)間（0，1）上h（x）=x+1－ex單調(diào)遞減.

故對(duì)于x∈（0，1），有h（x）<h（0）=0.

又因?yàn)閤－1<0，x2>0，

所以g′（x）=（x+1－ex）（x－1）x2>0，故在區(qū)間（0，1）上，g（x）單調(diào)遞增.

g（x）<g（1）=2－e，

故a的取值范圍為［2－e，+∞）.

4通過等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)構(gòu)造確定參數(shù)范圍

例3現(xiàn)有f（x）=aeax－lnx，已知當(dāng)x>1時(shí)，f（x）≥0恒成立．試求a的取值范圍.

解析因?yàn)楫?dāng)a≤0時(shí)，f（x）<0不符題意.

當(dāng)a>0時(shí)，有aeax≥lnx.axax≥xlnxeaxlneax≥xlnx.

令h（x）=xlnx，x>1.h′（x）=lnx+1>0恒成立，所以在（1，+∞）上h（x）單調(diào)遞增.

因?yàn)閤>1，a>0，

故eax>1.又axeax≥xlnx，

也即h（eax）>h（x），

故eax≥x，ax≥lnx，a≥lnxx.

令g（x）=lnxx，x>1，

則h′（x）=1－lnxx2.

令g′（x）>0，得1<x<e，g（x）在（1，e）上單調(diào)遞增；

令g′（x）<0，得x>e，g（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減.

g（x）max=g（e）=1e，

故a的取值范圍為1e，+∞.

5結(jié)語

判定導(dǎo)數(shù)不等式恒成立的方法主要有分類討論、參數(shù)隔離法、等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)構(gòu)造法等，每種方法都有其獨(dú)特的優(yōu)勢和適用范圍.在實(shí)際解題過程中，應(yīng)根據(jù)題目的具體情況靈活選擇和綜合運(yùn)用這些方法，這樣才能更高效、準(zhǔn)確地求解出參數(shù)的取值范圍.同時(shí)，深入理解這些方法背后的數(shù)學(xué)原理，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)也有著重要的促進(jìn)作用.

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