【摘要】近幾年高考全國(guó)卷中出現(xiàn)了探究原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的試題，這些試題新穎抽象，研究?jī)?nèi)容具有前沿性，不僅考查了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碚撟C，還考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了高考“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的“四翼”考查要求.根據(jù)高考試題，近期的高三試卷中也出現(xiàn)了相關(guān)題型.本文由一道模擬試題引發(fā)的解后反思，進(jìn)一步探究一些一般性結(jié)論，以供參考.

【關(guān)鍵詞】原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1題目展示

例設(shè)定義在R上的函數(shù)fx與gx的導(dǎo)數(shù)分別為f′x與g′x，已知fx=g3－x－1，f′x+1=g′x，且f′x關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論一定成立的是（）

（A）fx+f2－x=0.

（B）f′2=0.

（C）g1－x=g1+x.

（D）g′x+g′2－x=0.

這是江蘇省泰興中學(xué)2024屆高三4月學(xué)情調(diào)研考試中的一道多項(xiàng)選擇題，該題的全年級(jí)平均得分僅有0.52分，屬于較難題.這道題主要是考查原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，具有前沿性，也是熱點(diǎn)題型.借助本題，本文探究原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的一般性結(jié)論，以期對(duì)今后的學(xué)習(xí)拋磚引玉.

2分析思考

解析對(duì)于（A）選項(xiàng)，選（A）項(xiàng)的學(xué)生高達(dá)82.7%，就其錯(cuò)誤原因分析如下.

因?yàn)閒′x的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，所以f′x=f′2－x，由這個(gè)式子很多學(xué)生得出等式fx=－f2－x，從而認(rèn)為（A）選項(xiàng)正確.

事實(shí)上，由f′x=f′2－x我們應(yīng)該得出fx=－f2－x+t（t為常數(shù)），也就是說(shuō)若導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，那么原函數(shù)圖象關(guān)于1，t2中心對(duì)稱(chēng)，而不一定關(guān)于1，0中心對(duì)稱(chēng).例如函數(shù)fx=cosπ2x+1，其導(dǎo)函數(shù)f′x=－π2sinπ2x，f′x的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，而原函數(shù)圖象關(guān)于1，1中心對(duì)稱(chēng).

對(duì)于（B）選項(xiàng)，由f′x關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，且f′x+1=g′x，得g′x的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，即g′x為偶函數(shù)；由fx=g3－x－1兩邊求導(dǎo)可得f′x=－g′3－x，再由f′x+1=g′x得f′x=g′x－1，所以g′x－1=－g′3－x.所以g′x=－g′2－x，g′x的圖象關(guān)于1，0中心對(duì)稱(chēng).

由f′x=g′x－1得f′x的圖象關(guān)于2，0中心對(duì)稱(chēng)，所以f′x=－f′4－x①=1*GB3*MERGEFORMAT，在①=1*GB3*MERGEFORMAT中令x=2，得f′2=－f′2.所以f′2=0，故（B）選項(xiàng)正確.

對(duì)于（C）選項(xiàng)，由于g′x的圖象關(guān)于1，0中心對(duì)稱(chēng)，所以g′x=－g′2－x，所以gx=g2－x+t②=2*GB3*MERGEFORMAT，在②=2*GB3*MERGEFORMAT中令x=1，得t=0，所以gx=g2－x，所以g1+x=g1－x，故（C）選項(xiàng)正確.

對(duì)于（D）選項(xiàng)，由于g′x的圖象關(guān)于1，0中心對(duì)稱(chēng)，所以g′x=－g′2－x，所以g′x+g′2－x=0，所以（D）選項(xiàng)正確.

故選（B）（C）（D）.

思考1本題主要考查原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，我們比較熟悉的根據(jù)原函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可以推導(dǎo)出其導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，相關(guān)結(jié)論如下.

結(jié)論1對(duì)于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，若fx的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱(chēng)，則f′x的圖象關(guān)于點(diǎn)m，0對(duì)稱(chēng).

證明因?yàn)閒x的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱(chēng)，

所以fx=f2m－x.

兩邊求導(dǎo)得：f′x=－f′2m－x，所以f′x的圖象關(guān)于點(diǎn)m，0對(duì)稱(chēng).

結(jié)論2對(duì)于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，若fx的圖象關(guān)于點(diǎn)a，b對(duì)稱(chēng)，則f′x的圖象關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng).

證明因?yàn)閒x的圖象關(guān)于點(diǎn)a，b對(duì)稱(chēng)，

所以fx=2b－f2a－x.

兩邊求導(dǎo)得：f′x=f′2a－x，所以f′x的圖象關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng).

思考2下面探究已知導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，那么原函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性如何.根據(jù)本調(diào)研試題分析得到如下結(jié)論.

結(jié)論3對(duì)于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱(chēng)，則fx的圖象關(guān)于點(diǎn)m，fx0+f2m－x02

（x0為定義域內(nèi)任意一個(gè)值）中心對(duì)稱(chēng).

證明因?yàn)閒′x的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱(chēng)，

所以f′x=f′2m－x，

∫f′xdx=∫f′2m－xdx，

故fx+c=－f2m－x+d，

即fx=d－c－f2m－x.所以fx的圖象關(guān)于點(diǎn)m，d－c2中心對(duì)稱(chēng).

其中d－c2=fx0+f2m－x02（x0為定義域內(nèi)任意一個(gè)值），所以fx的圖象關(guān)于點(diǎn)m，fx0+f2m－x02中心對(duì)稱(chēng).

結(jié)論4對(duì)于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x的圖象關(guān)于點(diǎn)t，0中心對(duì)稱(chēng)，則原函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=t軸對(duì)稱(chēng).

證明因?yàn)閒′x的圖象關(guān)于點(diǎn)t，0中心對(duì)稱(chēng)，

所以f′x=－f′2t－x，

∫f′xdx=∫－f′2t－xdx.

故fx+c=f2t－x+d，

fx=f2t－x+d－c③=3*GB3*MERGEFORMAT.

在③=3*GB3*MERGEFORMAT中令x=t，得ft=ft+d－c，所以d－c=0.

所以fx=f2t－x，fx的圖象關(guān)于直線x=t軸對(duì)稱(chēng).

3結(jié)語(yǔ)

在近三年全國(guó)高考試卷中涉及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的試題有2021年新高考II=2*ROMAN*MERGEFORMAT卷第8題和2022年新高考I卷第12題，這些試題的出現(xiàn)改變了以往單一的考查微分思想，逐步滲透到由導(dǎo)函數(shù)探究原函數(shù)的積分領(lǐng)域，這不僅為后續(xù)學(xué)習(xí)微積分做了鋪墊，更體現(xiàn)了新高考考查要求：基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的“四翼”要求.

【本文系江蘇省泰州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度重點(diǎn)立項(xiàng)課題《基于UbD理論的高中數(shù)學(xué)逆向教學(xué)設(shè)計(jì)》研究成果；課題編號(hào)：tjkzd2021-080】

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧啟龍.函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性[J].數(shù)理化解題研究，2023（16）：5-10.

[2]胡芳舉.導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性的關(guān)系[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（17）：3-5.

[3]劉海濤.探析導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)間的對(duì)稱(chēng)性關(guān)系[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2021（07）：8-9.