【摘要】齊次式構(gòu)造思維是解決一些相關(guān)代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化時經(jīng)常采用的一種特殊技巧方法，是解決數(shù)學(xué)問題的一種基本策略技巧．本文結(jié)合實(shí)例，就齊次式構(gòu)造思維在處理不等式、三角函數(shù)或解三角形、平面向量以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等相關(guān)問題中的應(yīng)用，歸納總結(jié)技巧與方法，引領(lǐng)并指導(dǎo)解題研究與復(fù)習(xí)備考．

【關(guān)鍵詞】齊次式；不等式；三角函數(shù)

齊次式從詞面上解釋就是“次數(shù)相等”的意思，即一個代數(shù)式中各個單項(xiàng)的次數(shù)都相同．在解決一些涉及函數(shù)與方程、代數(shù)式與不等式、三角函數(shù)、平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等相關(guān)問題時，經(jīng)常會通過關(guān)系式的恒等變形，合理借助齊次式構(gòu)造思維，使得所含各項(xiàng)的次數(shù)一樣，進(jìn)而綜合應(yīng)用相關(guān)的知識來解決問題，這就是解決數(shù)學(xué)問題中一種比較常見的齊次式構(gòu)造策略，也是破解一些相關(guān)數(shù)學(xué)問題中一種非常有效的技巧方法．本文結(jié)合實(shí)例，就齊次式構(gòu)造思維的應(yīng)用加以剖析，拋磚引玉．

1不等式問題中的齊次式構(gòu)造

例1若正數(shù)a，b滿足a+b=1，則1+3aab的最小值為．

分析通過題目條件與所求結(jié)論之間關(guān)系式的對比與分析，聯(lián)想到可以將關(guān)系式中的分子也配湊成二次式，進(jìn)而借助常數(shù)“1”的平方與乘積轉(zhuǎn)化，巧妙構(gòu)造齊次式思維處理，為進(jìn)一步利用基本不等式放縮確定最值提供條件．

解依題，由于正數(shù)a，b滿足a+b=1，

所以1+3aab=12+3a×1ab

=a+b2+3aa+bab=4a2+5ab+b2ab=4ab+ba+5≥24ab×ba+5=2×2+5=9，

當(dāng)且僅當(dāng)4ab=ba，即b=2a=23時等號成立，

所以1+3aab的最小值為9.

點(diǎn)評在解決一些不等式綜合問題時，特別是限定條件下代數(shù)式的最值問題，往往要回歸不等式自身的函數(shù)與方程的本質(zhì)，借助構(gòu)造齊次式思維，合理變形與巧妙轉(zhuǎn)化，為進(jìn)一步利用不等式的基本性質(zhì)或重要不等式的放縮，以及函數(shù)與方程思維等來解決問題奠定基礎(chǔ)，這也是解決此類問題的一種基本技巧方法．

2三角函數(shù)問題中的齊次式構(gòu)造

例2（2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)蘇州市選拔賽第3題）已知x∈R，則4sinxcosx+3cos2x的最小值為．

分析根據(jù)題設(shè)條件，合理分析并挖掘三角函數(shù)分式關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平方關(guān)系1=sin2x+cos2x的代換進(jìn)行關(guān)于sinx與cosx的齊次化處理，方便“化弦為切”，構(gòu)建涉及正切值的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用恒等變形構(gòu)造關(guān)于tanx的函數(shù)，借助函數(shù)思維與方法來分析與解決問題．

解析依題，4sinxcosx+3cos2x

=3sin2x+4sinxcosx+3cos2xcos2x

=3tan2x+4tanx+3=3tanx+232+53，

所以當(dāng)tanx=－23時，4sinxcosx+3cos2x的最小值為53.

點(diǎn)評在處理一些三角函數(shù)問題時，根據(jù)三角函數(shù)等式左右兩邊是對稱的，或三角函數(shù)分式上下兩邊是對稱的等特殊結(jié)構(gòu)形式，可以借助齊次式構(gòu)造思維對三角函數(shù)式進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，主要是利用“化弦為切”等技巧思維，進(jìn)而通過三角關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，巧妙解決問題．齊次式構(gòu)造思維是解決此類問題中的一種“巧技妙法”．

3解三角形問題中的齊次式構(gòu)造

例3（2023屆廣西南寧市高中畢業(yè)班摸底測試數(shù)學(xué)試卷）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAC=60°，AD=2，CD=2BD，當(dāng)2c+b取最大值時，BD=．

分析根據(jù)題設(shè)條件，利用線段的長度關(guān)系引入平面向量的線性關(guān)系式，結(jié)合向量的線性轉(zhuǎn)化以及平方處理，通過向量的模與數(shù)量積公式加以變形與轉(zhuǎn)化，合理構(gòu)建三角形中相關(guān)邊之間的關(guān)系式，結(jié)合對應(yīng)邊長關(guān)系式的最大值場景，合理配湊，構(gòu)造齊次式加以變形，為進(jìn)一步利用基本不等式確定相關(guān)邊長關(guān)系式的最值提供條件．

解依題由CD=2BD，可得CD=2DB，

則有AD－AC=2AB－AD，

整理有3AD=2AB+AC，

兩邊平方展開可得9AD2=4AB2+4AB·AC+AC2，

則有9AD2=4AB2+4ABACcos60°+AC2，

整理有b2+4c2+2bc=36，結(jié)合基本不等式，

可得2c+b=b+2c2=6×b2+4c2+4bcb2+4c2+2bc=6×1+2bcb2+4c2+2bc≤6×1+2bc2b2+4c2+2bc=6×1+13=43，

當(dāng)且僅當(dāng)b2=4c2，即b=2c=23時等號成立，

所以2c+b取得最大值43，

此時利用余弦定理有a2=b2+c2－2bccos60°=9，

則有a=3，那么BD=13a=1.

點(diǎn)評在解三角形中的相關(guān)代數(shù)式變形與應(yīng)用時，特別是抓住所求關(guān)系式進(jìn)行升冪處理，經(jīng)常借助構(gòu)造齊次式進(jìn)行合理變換，配湊吻合基本不等式的條件，進(jìn)而利用基本不等式來確定最值．

4平面向量問題中的齊次式構(gòu)造

例4已知非零平面向量a，b的夾角為60°，且a－b=1，則a·a+2b的最大值為．

分析對題設(shè)條件中的平面向量的線性關(guān)系式的模加以平方處理，確定涉及兩向量的模的方程，結(jié)合所求平面向量的數(shù)量積的變形，通過除“1”引入涉及平面向量的模的關(guān)系式來合理構(gòu)造齊次式處理，巧妙換元，進(jìn)而利用基本不等式的放縮來確定數(shù)量積的最值問題．

解依題，由a－b=1，兩邊平方整理可得a2－ab+b2=1，

所以a·a+2b=a2+ab=a2+aba2－ab+b2，

令t=ba>0，則有a·a+2b=a2+aba2－ab+b2=|a||b|+1|a||b|2-|a||b|+1

令t=|a||b|，則上式為=1+t1－t+t2=1+t1+t2－31+t+3

=11+t－3+31+t≤121+t×31+t－3=123－3=23+33，

當(dāng)且僅當(dāng)1+t=31+t，

即t=ba=3－1時等號成立，

所以a·a+2b的最大值為23+33．

點(diǎn)評應(yīng)用齊次式構(gòu)造思維處理此類平面向量的數(shù)量積與模的關(guān)系問題時，關(guān)鍵在于利用數(shù)量積的定義轉(zhuǎn)化為向量的模的關(guān)系式，結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征通過除“1”合理構(gòu)造齊次式，此方法具有一定的靈活性與技巧性．

5函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中的齊次式構(gòu)造

例5（2023年清華大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂）已知x≥y≥0，且x+y+x－y≤ax+y，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

分析根據(jù)題設(shè)條件，通過分類討論，對于當(dāng)x>0時分離參數(shù)，恒等變形分式并進(jìn)行齊次式構(gòu)造，引入?yún)?shù)并構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合函數(shù)中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過正值函數(shù)的平方處理，利用分式中分子與分母所對應(yīng)的正值函數(shù)的單調(diào)性來綜合分析與應(yīng)用．

解當(dāng)x=y=0時，不等式x+y+x－y≤

ax+y對任意的實(shí)數(shù)a都成立；

當(dāng)x>0時，

分離參數(shù)有a≥x+y+x－yx+y=

1+yx+1－yx1+yx恒成立，

設(shè)t=yx∈0，1，構(gòu)造函數(shù)f（t）=1+t+1－t1+t>0，

t∈0，1，

則知a≥f（t）max，

而f（t）2=1+t+1－t1+t2

=2+21-t21+t2，

顯然2+21－t2為正值減函數(shù)，1+t2為正值增函數(shù)，則知函數(shù)f（t）2在0，1上單調(diào)遞減，即函數(shù)f（t）在0，1上單調(diào)遞減，

所以f（t）max=f（0）=2，即a≥2，

當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即y=0時等號成立；

綜上分析，可知a≥2．

點(diǎn)評齊次式構(gòu)造思維處理此類涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題，關(guān)鍵是代數(shù)式的恒等變形與構(gòu)造相應(yīng)的齊次式，借助對應(yīng)的函數(shù)與方程來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．特別是此類含參不等式恒成立背景下參數(shù)最值求解問題，齊次式構(gòu)造思維是解決此類問題最常用的一種技巧方法，對觀察能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有較高的要求．

6結(jié)語

齊次式構(gòu)造思維在處理一些代數(shù)式具有特殊結(jié)構(gòu)特征的數(shù)學(xué)問題中有奇效，解決問題的關(guān)鍵就是對關(guān)系式進(jìn)行合理的恒等變形與轉(zhuǎn)化，通過對整式、分式中對應(yīng)各項(xiàng)的次數(shù)進(jìn)行齊次化處理，方便進(jìn)一步的恒等變形與轉(zhuǎn)化，為相關(guān)問題的分析與解決提供更加寬廣的思路與解題的空間，從而優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，方便邏輯推理，開拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了他們的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)了其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．