【摘要】本文深入探討運(yùn)用余弦定理解決三角形涉及丟番圖方程相關(guān)問題的方法.通過個(gè)具體實(shí)例分析，闡述如何利用余弦定理構(gòu)建丟番圖方程，并用不同解法分別求解三角形邊長(zhǎng)、角度等問題.最后，以比薩斜塔模型為例，說明丟番圖方程在實(shí)際問題中具有的現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值.通過實(shí)際應(yīng)用丟番圖方程，學(xué)生可以領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)問題中的重要地位，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，拓展思維空間.

【關(guān)鍵詞】丟番圖方程；余弦定理；運(yùn)算能力

1引言

余弦定理作為三角學(xué)中的基本定理，廣泛應(yīng)用于解決各類三角形問題.近年來，涉及余弦定理的丟番圖方程問題在高考中逐漸受到重視，并成為考生關(guān)注的焦點(diǎn)之一.本文將通過實(shí)例說明如何利用余弦定理解決一些典型的丟番圖方程問題，并闡釋丟番圖方程的不同解法在余弦定理中的應(yīng)用.

2丟番圖方程在余弦定理中的應(yīng)用

例1（2016·北京）在△ABC中，a2+c2=b2+2ab，求B.

解析由題意可得a2+c2－b2=2ac，這是一個(gè)關(guān)于a，b，c的丟番圖方程.由余弦定理可得cosB=a2+c2－b22ac=2ac2ac=22.因?yàn)?°<B<180°，所以B=45°.

分析這是一道涉及丟番圖方程的數(shù)學(xué)高考問題，根據(jù)題目條件只能列出一個(gè)方程，但涉及三個(gè)未知數(shù)a，b，c，然而一個(gè)方程解不出三個(gè)未知數(shù)a，b，c，這時(shí)要聯(lián)想到分子和分母存在倍數(shù)關(guān)系，對(duì)式子做簡(jiǎn)

單變形，分子和分母可以消去未知數(shù)ac，即可得到答案.在面對(duì)與三角形相關(guān)的丟番圖方程時(shí)，可以嘗試從余弦定理的角度尋求解決之道.

例2（2016·北京）在△ABC中，A=2π3，a=3c，則bc= .

解析因?yàn)锳=2π3，a=3c，所以由余弦定理可得cosA=b2+c2－a22bc=－12.把a(bǔ)=3c代入上式得b2+bc－2c2=0，等式兩邊同除以c2可得bc2+bc－2=0，解得bc=2.

分析這是一道涉及丟番圖方程的數(shù)學(xué)高考問題，根據(jù)題目條件能列出兩個(gè)方程，但涉及三個(gè)未知數(shù)a，b，c.兩個(gè)方程解不出三個(gè)未知數(shù)，此題也不像例1那樣一下子就可以推導(dǎo)出分子和分母存在倍數(shù)關(guān)系，因此不易求出.丟番圖方程是未知量的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，而定方程是未知量的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù).這道題的丟番圖方程通過等效變換可以轉(zhuǎn)化為定方程，從而可得到唯一的答案.

例3設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a=2，A=60°，其中b和c都為正整數(shù).求b和c.

解析由余弦定理可得a2=b2+c2－2bccosA.因?yàn)閍=2，A=60°，所以b2+c2－bc=4是關(guān)于b和c的丟番圖方程.若c≥b時(shí)，則b2+c（c－b）=4，因?yàn)閎，c都為正整數(shù)，所以b≤2.

當(dāng)b=1時(shí)，c（c－1）=3，則c=1，c－1=3或c=3，c－1=1，，因此易得方程無正整數(shù)解.

當(dāng)b=2時(shí)，易得c=2.若c≤b時(shí)，同理可得b=2，c=2.

綜上所述可得，b=2，c=2.

分析在這個(gè)問題中，首先根據(jù)余弦定理得到一個(gè)關(guān)于b和c的丟番圖方程.然后，通過設(shè)定b≥c來簡(jiǎn)化問題，進(jìn)而運(yùn)用代數(shù)方法求解.這個(gè)過程不僅可以找到△ABC中邊長(zhǎng)b和c的值，還可以推廣到其他涉及三角形的問題.通過靈活運(yùn)用余弦定理以及丟番圖方程，可以更精確地求解涉及三角形的問題.

例4若測(cè)量對(duì)象變更為比薩斜塔模型，如圖1，此時(shí)建筑物不與地面垂直，且可測(cè)量出以60°角觀測(cè)測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)B處時(shí)地面距離AC為8米.求比薩斜塔模型的高度.

解析利用余弦定理及丟番圖方程思想，可以找出較符合條件的整數(shù)解.

設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.由余弦定理得a2=64+c2－2×8×c×cos60°，經(jīng)整理得a2－（c－4）2=48，即（a+c－4）（a－c+4）=48.因48的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，

則a+c－4=1a－c+4=48或a+c－4=48a－c+4=1或

a+c－4=2a－c+4=24或a+c－4=24a－c+4=2或

a+c－4=6a－c+4=8或a+c－4=3a－c+4=16或

a+c－4=16a－c+4=3或a+c－4=4a－c+4=12或

a+c－4=12a－c+4=4或a+c－4=8a－c+4=6.

解得a=24.5，c=－19.5，或a=24.5，c=27.5，或

a=13，c=－7，或a=13，c=15，或a=7，c=3，或a=9.5，c=－2.5，或

a=9.5，c=10.5或a=8，c=4，或a=8，c=0，或a=7，c=5.

由于a，b，c是正整數(shù)，再綜合分析成立的五組解，a=13，b=8，c=15最符合實(shí)際情境，因比可得到結(jié)論：比薩斜塔模型的高度為13米.

分析此題為數(shù)學(xué)建模思維拓展題，揭示了丟番圖方程與余弦定理在解決現(xiàn)實(shí)情境中三角形問題中的關(guān)鍵作用.丟番圖方程在人們的實(shí)際生活中具有現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值，可以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而利用丟番圖方程解決此類問題.

3結(jié)語

通過以上分析，發(fā)現(xiàn)利用余弦定理解決與三角形相關(guān)的丟番圖方程問題是切實(shí)可行的，它是一種高效的解決策略.本文通過實(shí)例演示了如何運(yùn)用余弦定理有效處理一些典型的三角形相關(guān)的丟番圖方程問題.通過五個(gè)具體實(shí)例分析，闡述了如何利用余弦定理構(gòu)建丟番圖方程，并用不同解法分別求解三角形邊長(zhǎng)、角度，還涉及測(cè)量比薩斜塔模型的高度等問題.丟番圖方程在解決實(shí)際問題中具有廣泛的適用性，可以將其應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域，解決更多的實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的重要作用.

【本文系海南省教育科學(xué)規(guī)劃一般課題《高中丟番圖方程運(yùn)算能力的實(shí)踐研究》階段性成果之一；課題編號(hào)：QJY20211041】

參考文獻(xiàn)：

[1]陳進(jìn)平.關(guān)于橢圓曲線y2=nx（x2－4）的整數(shù)點(diǎn)的一個(gè)注記[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，35（03）：290-291+346.