【摘要】三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,求三角函數(shù)解析式是三角函數(shù)章節(jié)中的基本問題.本文主要研究由函數(shù)y=Asinωx+φ的部分圖象及性質(zhì)求解析式中初相φ的問題,結(jié)合常規(guī)教學(xué)過程中出現(xiàn)的問題及易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)求解函數(shù)y=Asinωx+φ解析式中的初相φ的幾種方法進(jìn)行探討,從而對(duì)今后的教學(xué)工作進(jìn)行改進(jìn).
【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);圖象性質(zhì);初相φ
在批改學(xué)生作業(yè)時(shí),教師經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在求解函數(shù)y=Asinωx+φ解析式中的初相φ時(shí)出現(xiàn)問題,尤其是所給圖象中不是五點(diǎn)法中的最值點(diǎn)而是零點(diǎn)時(shí),學(xué)生經(jīng)常弄不清楚是上升零點(diǎn)還是下降零點(diǎn).以及在后期講解解三角形中給值求角這一類型題目中,學(xué)生經(jīng)常遺漏角的范圍,直至高三也會(huì)有部分學(xué)生忘記,結(jié)合這兩類問題教師對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行改進(jìn).
1利用最值法及整體思想求初相φ
例1已知函數(shù)y=Asinωx+φ(A>0,ω>0,φ<π2)的部分圖象如圖1所示,求函數(shù)解析式.
解由圖知,A=2,T=π,則W=2.
由圖象過點(diǎn)π3,2
2sin2×2π3+φ=2,
所以2π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,
因?yàn)棣?lt;π2,所以φ=-π6,
所以函數(shù)的解析式為y=2sin2x-π6.
由最值法求初相φ,根據(jù)圖象中存在的最值點(diǎn),我們對(duì)應(yīng)五點(diǎn)法中相應(yīng)的最值點(diǎn)代入即可,但不存在最值點(diǎn)時(shí)學(xué)生易出現(xiàn)如下例題中的問題.
2利用零點(diǎn)及整體思想求初相φ
例2已知函數(shù)y=Asinωx+φ(A>0,ω>0,φ<π2)的部分圖象如圖2所示,求函數(shù)解析式.
解由圖知A=3,T=π.則W=2.
學(xué)生1由圖可知點(diǎn)π12,3在函數(shù)圖象上,根據(jù)最值法可求φ=π3,所以y=3sin2x+π3.
學(xué)生2因?yàn)辄c(diǎn)-π6,0在函數(shù)圖象上,所以-2π6+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=π3+2kπ,k∈Z,又由φ<π2,得φ=π3.
學(xué)生3因?yàn)辄c(diǎn)π3,0在函數(shù)圖象上,所以π3×2+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-2π3+2kπ,k∈Z,又因?yàn)棣?lt;π2,然后寫不下去了.
學(xué)生4因?yàn)辄c(diǎn)π3,0在函數(shù)圖象上,所以π3×2+φ=kπ,k∈Z,所以φ=-2π3+kπ,k∈Z,又因?yàn)棣?lt;π2,得φ=π3.
學(xué)生1相對(duì)靈活,發(fā)現(xiàn)圖象中沒有最值點(diǎn),但可根據(jù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo).求出最大值點(diǎn)坐標(biāo)代入求解.學(xué)生2、3都是利用零點(diǎn)法求解φ,所求答案卻不同.學(xué)生2代入的是圖象中的上升零點(diǎn),從而求解出φ.學(xué)生3代入的是圖象中的下降零點(diǎn),即是五點(diǎn)法中的第三個(gè)點(diǎn),所以應(yīng)該是2π3+φ=π+2kπ,k∈Z,所以φ=π3+2kπ,k∈Z,又因?yàn)棣?lt;π2,所以φ=π3,所以y=3sin2x+π3.學(xué)生4雖然答案沒問題,但是過程并不精準(zhǔn).
在解題過程中要密切注意圖象中的零點(diǎn)是上升零點(diǎn)還是下降零點(diǎn),代入零點(diǎn)求解初相φ時(shí)容易書寫錯(cuò)誤導(dǎo)致失分.教學(xué)時(shí)為了避免上述錯(cuò)誤往往讓學(xué)生代入最值點(diǎn).
3利用平移變換法求初相φ
例3已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,
φ<π2的部分圖象如圖3所示,求f(x)的解析式.
解由圖象可知T=2π,則ω=1,所以f(x)=sin(x+φ),其圖象可由y=sinx的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得到,所以f(x)=sinx-π6.
對(duì)于例2也可由平移變換法得到.
當(dāng)圖象可明顯看出是由y=Asinωx平移得到,運(yùn)用逆向思維的方法,先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)=Asinωx,再根據(jù)圖象平移規(guī)律“左加右減”求出φ.此方法對(duì)于解決小題目是非常好的方法,但當(dāng)圖象平移不明顯,沒有圖象只是從性質(zhì)出發(fā)求解析式時(shí),此方法就很受局限性.如下例題.
4限定范圍及數(shù)形結(jié)合思想求初相φ
例4(2023年蘇州市高一期末試卷的19題第一問)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π2)的圖象過點(diǎn)π4,1,且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π2.求函數(shù)y=f(x)圖象的所有對(duì)稱軸方程.
解由題知f(x)的最小正周期為T=π,由ω>0,得ω=2.
由f(x)過點(diǎn)π4,1,得sinπ2+φ=22,
又因?yàn)棣?<φ+π2<π,
所以φ+π2=3π4,即φ=π4,
所以f(x)=2sin2x+π4.
令2x+π4=kπ+π2(k∈Z),
得x=kπ2+π8(k∈Z),
從成績(jī)上看學(xué)生對(duì)sinπ2+φ=22的解決并不是很理想,優(yōu)等生利用誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)化成了cosφ=22,根據(jù)φ的范圍得到φ=π4.基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生往往卡在這,更別提第二問的書寫.若是先限定φ+π2的范圍畫出圖象找出在區(qū)間π2,π上正弦值等于22的值,求解即可.例1、例2、例3都可以用此法解決.
5結(jié)語
綜上所述,在求解函數(shù)y=Asinωx+φ解析式時(shí)教師可給出上述四種解法,在學(xué)生實(shí)踐出錯(cuò)的過程中不斷優(yōu)化其解法.由于第四種方法既可以避免學(xué)生因分不清上升零點(diǎn)和下降零點(diǎn)所帶來的困擾,又可解決非最值點(diǎn)帶來的慌亂,也可為后面解三角形中求解角的問題做鋪墊,因此對(duì)基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生或者文科生來說可以側(cè)重第四種方法的教學(xué).
參考文獻(xiàn):
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