【摘要】抽象函數(shù)問題可以充分考查學(xué)生的抽象思維能力、閱讀推理能力，是實(shí)現(xiàn)試卷區(qū)分度的經(jīng)典題型，題目形式廣泛，難度層次分明.本文重點(diǎn)介紹含有解析遞推式的基本題型.

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù)；解析遞推式；高中數(shù)學(xué)

抽象函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，抽象函數(shù)問題往往沒有給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出了一些函數(shù)的特性，對(duì)函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)進(jìn)行了部分描述.而抽象函數(shù)的形式也是多種多樣的，其中有一類比較常見，就是題中給出了關(guān)于函數(shù)的特定解析遞推式，由此可獲知函數(shù)關(guān)系的運(yùn)算規(guī)則，據(jù)此可類比出滿足性質(zhì)的初等函數(shù)，從而可以找到滿足其條件的特殊函數(shù)模型.在解決相關(guān)問題時(shí)，可以根據(jù)這個(gè)函數(shù)模型所具有的性質(zhì)，探求問題中抽象函數(shù)的對(duì)應(yīng)性質(zhì)，這樣就可以洞察問題的實(shí)質(zhì)，迅速找到解決問題的突破口.下面對(duì)幾個(gè)典型形式進(jìn)行探究，并分析配套例題的解法，只為研究解題策略，探索具體解題方法.

1一次函數(shù)模型：f（a+b）=f（a）+f（b）+c

例1已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（a+b）=f（a）+f（b）.又知當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，若f（－1）=3，求f（x）在區(qū)間［－2，2］上的值域.

分析由于函數(shù)f（x）滿足f（a+b）=f（a）+f（b），與一次函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）變換規(guī)律相同，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，此類函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，故應(yīng)探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性.設(shè)－2≤a<b≤2，則b－a>0，根據(jù)題意得f（b－a）<0，由于f（b）－f（a）=f［（b－a）+a］－f（a）=f（b－a）+f（a）－f（a）=f（b－a）<0，即有f（b）<f（a），所以f（x）是－2，2上的單調(diào)遞減函數(shù).令a=b=0，則有f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），即f（0）=0；再令b=－a，則f（0）=f（a）+f（－a），即f（－a）=－f（a），故f（x）是－2，2上的奇函數(shù)，所以函數(shù) f（x）的最大值為f（－2）=f［（－1）+（－1）］=2f（－1）=6；由奇函數(shù)性質(zhì)知，f（x）的最小值為f（2）=－f（－2）=－2f（－1）=－6.

點(diǎn)評(píng)對(duì)給出的條件式進(jìn)行類比分析，判斷出此抽象函數(shù)與哪個(gè)初等函數(shù)相似，就知道此抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，從而就能找到求抽象函數(shù)的最大值和最小值的方法.

2指數(shù)函數(shù)模型：f（a+b）=f（a）·f（b）

例2已知函數(shù)f（x）的定義域是R，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）·f（b），且當(dāng)a>0時(shí)，0<f（a）<1，判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并解不等式f（x+2）<f（x2+2x）.

分析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足f（a+b）=f（a）·f（b），這與指數(shù)函數(shù)f（x）=mx的運(yùn)算規(guī)律相似，由于指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，故必須探究這個(gè)抽象函數(shù)的單調(diào)性.設(shè)a<b，則b－a>0，根據(jù)題意知0<f（b－a）<1，又對(duì)任意a∈R，都有f（a）=fa2+a2=fa2·fa2=f2a2>0，所以f（b）－f（a）=f［（b－a）+a］－f（a）=f（b－a）·f（a）－f（a）=f（a）［f（b－a）－1］<0，則f（a）－f（b）>0，所以f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù).故由f（x+2）<f（x2+2x），可得：x2+x－2<0，解此不等式可得－2<x<1 .

點(diǎn)評(píng)根據(jù)題設(shè)中給出的解析遞推式，再研究此類函數(shù)的特征可知與指數(shù)函數(shù)相似，故而明確了解題方向，即先證明函數(shù)的單調(diào)性，再解不等式，其中判斷函數(shù)值為正數(shù)非常重要且提示明顯.

3對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f（ab）=f（a）+f（b）（a>0，b>0）

例3已知定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x），對(duì)任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，若當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0，且f（2）=1，求當(dāng)x∈12，8時(shí)，函數(shù)f（x）的值域.

分析（1）=1*GB2由于函數(shù)f（x）對(duì)任意m，n∈（0，+∞）滿足f（mn）=f（m）+f（n），這與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則相似，又對(duì)數(shù)函數(shù)具有單調(diào)性，所以欲求函數(shù)值域，必須先判斷函數(shù)的單調(diào)性.設(shè)0<m<n，則nm>1，依題意有fnm>0，所以f（n）－f（m）=fnm·m－f（m）=fnm+f（m）－f（m）=fnm>0，即有f（m）<f（n），所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.根據(jù)定義f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0，又f（1）=f2×12=f（2）+f12，且f（2）=1，所以f12=－1；又f（4）=f（2×2）=f（2）+ f（2）=2，則f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=3.所以當(dāng)x∈12，8時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋郏?，3］.

點(diǎn)評(píng)用定義法證明推理是判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的首選方法，這樣能夠順利解決函數(shù)的值域問題，而根據(jù)所給的關(guān)系式用特殊值進(jìn)行代換轉(zhuǎn)化是解決相關(guān)函數(shù)值的一種有效措施.

4冪函數(shù)模型：f（a·b）=f（a）·f（b）

例4已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（x）>0，對(duì)于a，b∈（0，+∞），恒有f（a·b）=f（a）·f（b），如果當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>1，并且f（2）=2，求不等式f（x2－3x）>2的解集.

分析由于函數(shù)f（x）滿足f（a·b）=f（a）·f（b），經(jīng)特殊值驗(yàn)算，與冪函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則相似，由于冪函數(shù)的指數(shù)的不同，其函數(shù)的單調(diào)性也不同，故要解此抽象函數(shù)的不等式，必須判斷出此函數(shù)的單調(diào)性.下面用函數(shù)單調(diào)性的定義證明.設(shè)0<a<b，則ba>1，由題設(shè)得fba>1，由于f（a）－f（b）=f（a）－f（ba·a=f（a）－fba·f（a）=f（a）1－fba，由于f（a）>0，1－fba<0，所以f（a）<f（b），即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.因?yàn)閒（4）=f（2×2）=f2·f2=2，故不等式f（x2－3x）>2=f（4），所以x2－3x>4x2－3x>0，因此該不等式的解集為{x|x>4}.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于抽象函數(shù)不等式f（a）>f（b），需要“脫去”函數(shù)符號(hào)“f”才能解決，所以判斷出抽象函數(shù)的單調(diào)性是勢(shì)在必行的，在用定義證明單調(diào)性時(shí)，對(duì)已給條件式進(jìn)行適當(dāng)配湊是必須的.

5結(jié)語

在一些含有解析遞推式的抽象函數(shù)問題中，尋找對(duì)應(yīng)的常規(guī)函數(shù)模型是一個(gè)重要的解題技巧，在猜測(cè)到函數(shù)的基本性質(zhì)后，根據(jù)題目需要，對(duì)此函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行有針對(duì)性的推導(dǎo)證明.需要注意的是，不能直接引用模型函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.