【摘要】排列組合是高中數(shù)學貼近生活的知識模塊，相關問題靈活多變，考查方式常以填空題、解答題為主.解答排列組合問題，關鍵在于按照要求對所有元素進行篩選并排列組合.本文主要介紹幾種不同類型的排列組合問題和對應求解方法，以期幫助學生正確求解相關問題.

【關鍵詞】排列組合；高中數(shù)學；解題技巧

1特殊要求排列問題

當排列組合問題中存在特殊元素或者特殊位置時，可以運用“優(yōu)先法”作答.優(yōu)先法是指從特殊元素或特殊位置入手，優(yōu)先考慮特殊元素或特殊位置，然后安排其他元素或位置的方法.實際解答此類型問題時，主要步驟如下：（1）根據(jù)具體題意確定特殊元素或特殊位置的個數(shù)及要求；（2）優(yōu)先考慮特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素的排列；（3）利用分步計數(shù)原理列式求解.

例1某歌唱明星和4位粉絲排成一排拍照留念，若該明星不站在兩端位置，則有多少種安排方法？

剖析本題既可以從特殊位置方向解答，也可以從特殊元素方向解答.若從特殊位置方向考慮，則先從四位粉絲中選擇兩位將兩端的位置安排好再安排剩下的三個位置；若從特殊元素方向考慮，則先安排明星的位置，從中間的三個位置中選一個，再安排剩下的四位粉絲的位置.

解析角度1：從特殊位置方向考慮，先安排兩端的位置，即從4位粉絲中挑選兩人站在兩端，則有A24種；再對剩下的3個位置進行排列，有A33種，因此，排列方法一共有：A24A33=72種.

角度2：從特殊元素方向考慮，優(yōu)先安排明星的位置，明星只能從中間的3個位置選一個，則有A13種；剩下的4個位置和4位粉絲的排列方式有A44種，因此，排列方式一共有：A44A13=72種.

變式已知0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字，從中選擇3個不同的數(shù)字組成一個數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有個.

剖析該題有特殊要求，即個位數(shù)是3個數(shù)字中最大的一個數(shù)，既要關注特殊位置個位的要求，還要注意特殊元素0的存在.同時分情況討論，分別從存在0和不存在0的這種情況分析，排列得到具體可能數(shù).

解析若3個數(shù)字中沒有0，則共有C35A22個；若3個數(shù)字中有0，則共有C25個，一共有C35A22+C25=30個數(shù)字.

評析優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置是解答該類型問題的關鍵，若有多個特殊元素或特殊位置時，要注意正確分類和分步.

2元素相鄰問題

當問題中要求某些元素必須相鄰時，“捆綁法”是解答此類問題的有效方法.捆綁法是指將必須相鄰的元素“捆綁”到一起，視為一個元素，然后再與剩下的元素進行排列組合，并且要對“捆綁”的元素進行內部排列.實際解答此類型問題時，主要步驟如下：（1）根據(jù)題意確定相鄰的元素并進行“捆綁”；（2）排列組合“捆綁”后的元素與其他元素，并對“捆綁”元素進行內部排列；（3）列式計算，最后利用分步計數(shù)原理求解.

例2有8個不同顏色的小球，其中紅色的小球有3個，藍色的小球有2個，其他顏色的小球有3個，如果將這些小球排成一排放在墻角，要求紅色的小球剛好排在一起，藍色的小球也剛好排在一起，則一共有多少種不同的排法？

剖析要進行“捆綁”的元素分別是紅色的3個小球和藍色的2個小球，將其看作兩個元素與剩下的3個小球進行排列，還要對紅色的3個小球和藍色的2個小球分別進行內部排列，最后求解.

解析3個紅色的小球剛好排在一起，則有A33種方法；2個藍色的小球剛好排在一起，則有A22種方法；對“捆綁”后的元素排列，則有A55種方法；綜上所述，總的排列方法為A33·A22·A55=1440種.

變式有3對雙胞胎站在一排拍照，恰好有一對雙胞胎相鄰的站法有種.

剖析需要根據(jù)不同位置的站法分類捆綁求解問題，相鄰的一對雙胞胎可以捆綁看做一個元素，但仍需要從3對中挑選，其次排列組合的位置也需要分類討論，故捆綁后分類計算再綜合求解.

解析將位置從左往右依次編號為1，2，3，4，5，6.

①恰好有一對雙胞胎站在1，2號，則再選一對雙胞胎站在3，5號，另一對雙胞胎站在4，6號即可，且每對雙胞胎的兩人都可以交換位置，則有C13A22C12A22A22種站法；

②恰好有一對雙胞胎站在2，3號，4，5號，5，6號時，情況同前，故有3C13A22C12A22A22種站法；

③恰好有一對雙胞胎站在3、4號，則余下兩對雙胞胎各選一人站在1、2號即可，從而有C13A22C12C12A22A22種站法；

綜上，總站法有4C13A22C12A22A22+C13A22C12C12A22A22=288種.

評析處理元素相鄰問題，主要遵循原則為“先整體后局部”，即先考慮其他元素和“捆綁”元素的安排方式，再考慮“捆綁”元素的內部排列方式.

3元素不相鄰問題

元素不相鄰問題一般是指求解的題目中要求某兩個或兩個以上的元素之間必須有其他元素存在，不能相鄰排列的問題，解答此類型問題一般利用“插空法”求解.插空法是將不能相鄰的元素插入其他元素之間的空隙進而求解的方法.實際解答此類型問題時，主要步驟如下：（1）結合實際問題確定不能相鄰的元素個數(shù)及要求；（2）安排剩下的元素位置并計算其兩兩之間的空隙數(shù)（根據(jù)實際情況判斷是否能排在兩端的位置）；（3）將不能相鄰的元素排列到空隙中，并利用分步計數(shù)原理求解.

例34名男生和2名女生站成一排合影，當2名女生不相鄰時，不同的排法有多少種？

剖析本題的排列過程分兩步進行，首先考慮4名男生的位置，一共形成5個空隙，然后再將2名女生隨機插入這5個空隙中即可.

解析第一步：對4名男生的位置進行排序，則有A44種方法；此時形成5個空隙（算上兩端的位置）.

第二步：對2名女生的位置進行排序，則有A25種方法.

綜上所述，根據(jù)分步計數(shù)原理可知，一共的安排方法有：A44·A25=480種.

評析一定要正確掌握元素不相鄰問題與元素相鄰問題的求解方法，要注意區(qū)別和聯(lián)系.

4結語

排列組合問題是高中階段的一個重要問題，雖然涉及的題型很多，但難度不大，只要掌握了一定的規(guī)律和方法就能正確求解，因此學生一定要熟練掌握每一種題型的求解方法.

參考文獻：

[1]梁佳殷.高中階段的排列組合問題[J].數(shù)理化解題研究，2022（28）：95-97.

[2]藍云波，劉宇峰.例談排列組合中的典型問題與方法[J].中學生數(shù)理化（高二數(shù)學、高考數(shù)學），2018（10）：29-33