【摘要】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，且在考查中多以壓軸題形式出現(xiàn)，所以對(duì)于這一類問題的解決大家總結(jié)了各種各樣的方法.本文探究函數(shù)“隱零點(diǎn)”問題的解題思路.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；“隱零點(diǎn)”；高中數(shù)學(xué)

1何為“隱零點(diǎn)”

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)我們不妨分為“顯零點(diǎn)”和“隱零點(diǎn)”兩類.能夠計(jì)算出精確數(shù)值的零點(diǎn)，我們稱為“顯零點(diǎn)”.

例1求解函數(shù)y=x－lnx的極值點(diǎn).

分析通過求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)y=1－1x=x－1x，顯然，導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值在（0，1）小于零，在（1，+∞）大于零，于是得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，即x=1是函數(shù)y=x－lnx的極小值點(diǎn).

很顯然，在這個(gè)例題中導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)我們能算出一個(gè)確定的數(shù)值，這樣的零點(diǎn)我們不妨把它叫做“顯零點(diǎn)”.而另一類零點(diǎn)，基于高中知識(shí)無法得到精確的數(shù)值，我們把它稱為“隱零點(diǎn)”.

例2證明：ex－lnx>2.

分析要證明ex－lnx>2成立，本質(zhì)就是證明函數(shù)y=ex－lnx的最小值大于2，于是問題就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)函數(shù)的最小值.首先，通過求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)y′=ex－1x，解到這一步我們發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)超越函數(shù)，用我們高中所學(xué)的知識(shí)無法得到方程ex－1x=0的解，但這個(gè)時(shí)候我們通過分析y=ex和y=1x的函數(shù)圖象（見圖1）可知它們?cè)冢?，1）一定存在一個(gè)唯一的交點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)y′=ex－1x在（0，1）一定存在唯一的零點(diǎn)，只是無法算出精確的數(shù)值，我們把這個(gè)零點(diǎn)記為x0，那么這個(gè)x0即是導(dǎo)函數(shù)y′=ex－1x的“隱零點(diǎn)”，通常這樣的“隱零點(diǎn)”我們都是設(shè)而不求的.

2如何處理“隱零點(diǎn)”問題

接下來將通過例題分析“隱零點(diǎn)”問題的解題思路與過程.

例3已知函數(shù)fx=lnx+ax－x+1－a，a∈R，若存在x>1，使得fx+x<1－xx，求整數(shù)a的最小值.

分析第1步：參變分離，將函數(shù)fx=lnx+ax－x+1－a代入fx+x<1－xx，得x－1a>xlnx+2x－1，由于x>1，所以轉(zhuǎn)化為a>xlnx+2x－1x－1.

第2步：構(gòu)造函數(shù)，令gx=xlnx+2x－1x－1，即將問題轉(zhuǎn)化為a>gxmin.

第3步：利用導(dǎo)函數(shù)求最值，g′x=x－lnx－2x－12 ，發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)之后的函數(shù)無法一眼看出單調(diào)性，且含有l(wèi)nx，所以這里我們需要進(jìn)行二次求導(dǎo)，并且g′x的函數(shù)值的正負(fù)只與分子有關(guān)，所以令hx=x－lnx－2，對(duì)其求導(dǎo)得到h′x=x－1x，易得hx在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

第4步：借助零點(diǎn)存在定理，找函數(shù)hx=x－lnx－2的根并看區(qū)間，h3=3－ln3－2=1－ln3>0，h4=4－ln4－2=2－2ln2<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知hx在（1，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0∈（3，4）.

第5步：得到函數(shù)gx=xlnx+2x－1x－1的單調(diào)性，當(dāng)x∈1，x0時(shí)，gx′<0，gx 單調(diào)遞減，當(dāng)x∈x0，+∞時(shí)，gx′>0，gx單調(diào)增.

第6步：求gx的最小值，gxmin=gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1.

第7步：整體代換，化繁為簡(jiǎn)，我們將x0代入式子后發(fā)現(xiàn)除了將式子中的x變成x0其他毫無變化，依舊無法求gxmin，此時(shí)我們只需利用hx0=x0－lnx0－2=0，即可得到lnx0=x0－2，接下來就可以將gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1中的lnx0替換成x0－2，即gxmin=gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1=x0+1，x0∈（3，4）.

第8步：得出結(jié)論，可得a>x0+1 ，又因?yàn)閤0∈（3，4），且a∈Z，所以，整數(shù)a的最小值為5.

“隱零點(diǎn)”對(duì)許多學(xué)生來說是非常的抽象，那是因?yàn)闆]有看清問題的本質(zhì)，問題的本質(zhì)就是求函數(shù)的最值.通過上述例題的分析，我們明白“隱零點(diǎn)”不是什么神秘的東西，它只是我們?cè)诮鉀Q函數(shù)問題時(shí)的一種設(shè)而不求的解題手段.

3“隱零點(diǎn)”問題的一般解題策略

有關(guān)“隱零點(diǎn)”問題的解題過程大致可以概括為一個(gè)目的三個(gè)環(huán)節(jié).

目的表達(dá)f（x）的最值.

環(huán)節(jié)1求導(dǎo)函數(shù)f′（x），判斷f′（x）的單調(diào)性，若不能判斷單調(diào)性還需二次求導(dǎo).

環(huán)節(jié)2虛設(shè)導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點(diǎn)x0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理卡范圍：x0∈（a，b），由f′（x0）=0，可將ex，lnx，xex 等替換為更簡(jiǎn)單的同一階式.

環(huán)節(jié)3將簡(jiǎn)化結(jié)果代入fx0中，問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)簡(jiǎn)單式子fx0在已知區(qū)間x0∈（a，b）上的最值的問題.

值得注意的是，在處理“隱零點(diǎn)”問題時(shí)有幾個(gè)關(guān)鍵的地方.一個(gè)是判斷“隱零點(diǎn)”的范圍，我們?cè)诮忸}時(shí)希望這個(gè)范圍可以盡可能的精確，常用的估計(jì)方法有圖像法、二分法、函數(shù)放縮法等.另一個(gè)關(guān)鍵的地方是通過整體代換，將復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)化為容易研究的同一階式，比如在例2中，由ex0－1x0=0，可將ex0代換為1x0，將lnx0代換為x0，就可得函數(shù)的最小值為fx0=ex0－lnx0=1x0+x0，由均值定理可知fx0≥2.

4結(jié)語

“隱零點(diǎn)”問題看似抽象，但是只要我們抓住問題的本質(zhì)，掌握解決問題的基本思想，問題就能迎刃而解.