摘要：期權(quán)隱含高階矩是衡量金融資產(chǎn)波動(dòng)性和非對(duì)稱性的關(guān)鍵指標(biāo)。然而，真實(shí)市場(chǎng)中期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格具有離散性和有界性，直接應(yīng)用理論方法基于市場(chǎng)離散期權(quán)數(shù)據(jù)計(jì)算的隱含高階矩存在近似誤差，影響指標(biāo)可靠性。本文利用上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)，采用無(wú)模型方法計(jì)算隱含波動(dòng)率和隱含偏度指標(biāo)，并通過(guò)“內(nèi)插-外推”方法進(jìn)行修正。研究結(jié)果表明：①未修正的隱含高階矩通常被高估；②隱含波動(dòng)率指數(shù)與上證50ETF收益之間存在顯著的負(fù)相關(guān)性，這支持了市場(chǎng)存在杠桿效應(yīng)和波動(dòng)率反饋效應(yīng)的理論；③隱含偏度指數(shù)與上證50ETF收益之間存在顯著的正相關(guān)性，這可以理解為投資者更偏好右偏資產(chǎn)，而右偏資產(chǎn)價(jià)值傾向于被高估，從而導(dǎo)致負(fù)的收益；④在大多數(shù)時(shí)期，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率比隱含波動(dòng)率低，這表明大多數(shù)投資者大部分時(shí)間傾向于規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，并且愿意為對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)支付費(fèi)用。

關(guān)鍵詞：期權(quán)隱含高階矩；上證50ETF；已實(shí)現(xiàn)高階矩；風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

一、引言

長(zhǎng)期以來(lái)，期權(quán)價(jià)格中蘊(yùn)含的信息一直是學(xué)術(shù)界和業(yè)界關(guān)注的焦點(diǎn)。早期研究表明，通過(guò)Black-Scholes（BS）公式可以獲得隱含波動(dòng)率（Black和Scholes，1973）。隨著期權(quán)定價(jià)模型與技術(shù)手段的不斷發(fā)展，研究者發(fā)現(xiàn)期權(quán)面板數(shù)據(jù)中還包含了更為復(fù)雜的信息，如隱含偏度。這些期權(quán)隱含信息被廣泛認(rèn)為是對(duì)真實(shí)測(cè)度下歷史信息的重要補(bǔ)充，因?yàn)槠跈?quán)價(jià)格反映了標(biāo)的資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的預(yù)期走勢(shì)。本文主要探討期權(quán)的隱含信息，包括隱含波動(dòng)率和隱含偏度。這兩者分別代表了風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下標(biāo)的資產(chǎn)收益率的預(yù)期波動(dòng)性和偏度。

提取期權(quán)價(jià)格中的隱含信息對(duì)學(xué)術(shù)界和業(yè)界都具有重要意義。在實(shí)際應(yīng)用中，隱含信息可作為市場(chǎng)信號(hào)使用。例如，芝加哥期權(quán)交易所（CBOE）的市場(chǎng)波動(dòng)率指數(shù)（VIX），通常被稱為“恐慌指數(shù)”，用于預(yù)測(cè)未來(lái)市場(chǎng)波動(dòng)率；中國(guó)波動(dòng)率指數(shù)（iVIX）用于預(yù)警市場(chǎng)潛在風(fēng)險(xiǎn)，并作為投資者調(diào)整倉(cāng)位的重要信號(hào)。隱含偏度可以反映股票的預(yù)期未來(lái)走勢(shì)，隱含偏度值越小預(yù)示著未來(lái)資產(chǎn)收益分布越左偏，即資產(chǎn)收益出現(xiàn)下跌的概率會(huì)增加。除此之外，這些信息可以與真實(shí)測(cè)度下的信息結(jié)合，用于構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)指標(biāo)，以反映市場(chǎng)預(yù)期和實(shí)際情況的偏差，從而為研究市場(chǎng)收益提供支持。因此，充分利用期權(quán)價(jià)格中的隱含信息可以為風(fēng)險(xiǎn)管理和金融資產(chǎn)定價(jià)提供有效指導(dǎo)。

一些重要文獻(xiàn)研究了期權(quán)隱含高階矩。例如，Christoffersen等（2013）總結(jié)了期權(quán)隱含信息的相關(guān)研究，介紹了兩種構(gòu)建期權(quán)隱含高階矩的方法：參數(shù)方法（Heston，1993；Christoffersen等，2009）和無(wú)模型方法（Carr和Madan，1998）。相比之下，無(wú)模型方法無(wú)須依賴特定的模型設(shè)定，因此被認(rèn)為更具靈活性。在實(shí)際市場(chǎng)中，芝加哥期權(quán)交易所就是采用無(wú)模型方法來(lái)計(jì)算VIX指數(shù)。

目前，關(guān)于期權(quán)隱含信息的研究已經(jīng)取得了諸多成果。Jiang和Tian（2005）發(fā)現(xiàn)，無(wú)模型方法計(jì)算的隱含波動(dòng)率可以更有效地預(yù)測(cè)未來(lái)實(shí)際波動(dòng)率。鄭振龍等（2016）利用S&P500指數(shù)期權(quán)的方差和偏度對(duì)股票橫截面序列進(jìn)行了回歸分析。叢明舒（2018）發(fā)現(xiàn)，中國(guó)市場(chǎng)和美國(guó)市場(chǎng)的期權(quán)隱含信息對(duì)股票收益率的影響存在顯著差異。

盡管無(wú)模型方法具有多種優(yōu)勢(shì)，但仍存在一些局限性，如它依賴期權(quán)執(zhí)行價(jià)格連續(xù)性的假設(shè)。然而，在實(shí)際市場(chǎng)中，我們只能觀察到離散的期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，因此這一假設(shè)并不成立。此外，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的范圍是有界的，這與計(jì)算公式中的無(wú)界假設(shè)不符。為了盡可能解決這些局限性，本文在無(wú)模型方法的基礎(chǔ)上引入了“內(nèi)插-外推”方法，以修正隱含高階矩的估算值，并將修正后的隱含高階矩信息應(yīng)用于中國(guó)市場(chǎng)，進(jìn)一步研究修正后的隱含高階矩對(duì)50ETF收益率的影響，以及隱含高階矩與已實(shí)現(xiàn)高階矩之間的關(guān)系。此外，本文基于風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度和真實(shí)測(cè)度構(gòu)建了方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)指標(biāo)，并研究了該指標(biāo)對(duì)50ETF收益率的影響。

本文剩余的結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分詳細(xì)介紹了隱含高階矩指標(biāo)的構(gòu)建方法。第三部分分析了計(jì)算隱含高階矩時(shí)近似誤差的來(lái)源。第四部分提出了近似誤差的修正方法。第五部分進(jìn)行實(shí)證分析。第六部分總結(jié)本文的研究結(jié)論，并討論其在實(shí)踐中的潛在應(yīng)用和意義。

二、隱含高階矩構(gòu)建

從期權(quán)面板數(shù)據(jù)中計(jì)算隱含高階矩的方法主要分為有模型和無(wú)模型兩種。由于前者容易受模型不確定性的影響，故本文主要借鑒Bakshi等（2003）關(guān)于無(wú)模型方法的思想來(lái)推導(dǎo)期權(quán)隱含高階矩。設(shè)定R（t，τ）=lnS（t+τ）-lnS（t）為t時(shí)刻τ期的收益率，S（t）為t時(shí)刻資產(chǎn)的價(jià)格，則在t時(shí)刻τ期的風(fēng)險(xiǎn)中性收益率的隱含波動(dòng)率和隱含偏度可以分別定義為：

Vol（t，τ）={Et［R（t，τ）-Et（R（t，τ））］2}1/2（1）

Skew（t，τ）=Et［R（t，τ）-Et（R（t，τ））］3{Et［R（t，τ）-Et（R（t，τ））］2}3/2（2）

這里，Et（·）為風(fēng)險(xiǎn)中性下的條件期望，即Et（·）=E（·|S（t））。

根據(jù)CBOE白皮書(shū)、Bakshi等（2003）以及Bali和Murray（2013）的研究，可以通過(guò)虛值期權(quán)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)資產(chǎn)的隱含高階矩：

Vol（t，τ）=（erτV（t，τ）-μ（t，τ）2）1/2（3）

Skew（t，τ）=erτW（t，τ）-3μ（t，τ）erτV（t，τ）+2μ（t，τ）3［erτV（t，τ）-μ（t，τ）2］3/2（4）

其中，μ（t，τ）=erτ-1-erτ2V（t，τ）-erτ6W（t，τ）-erτ24X（t，τ），r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，τ為期權(quán)到期期限。隱含高階矩中對(duì)應(yīng)的函數(shù)V、W和X的具體形式如下：

V（t，τ）=∫∞S（t）21-lnKS（t）K2C（t，τ;K）dK+∫S（t）021+lnS（t）KK2P（t，τ;K）dK（5）

W（t，τ）=∫∞S（t）6lnKS（t）-3lnKS（t）2K2C（t，τ;K）dK-∫S（t）06lnS（t）K+3lnS（t）K2K2P（t，τ;K）dK（6）

X（t，τ）=∫∞S（t）12lnKS（t）2+4lnKS（t）3K2

C（t，τ;K）dK+∫S（t）012lnS（t）K2+4lnS（t）K3K2P（t，τ;K）dK（7）

其中，C（t，τ;K）和P（t，τ;K）分別是t時(shí)刻開(kāi)始t+τ時(shí)刻到期且執(zhí)行價(jià)格為K的看漲和看跌期權(quán)價(jià)格。

為了計(jì)算V、W和X，需要使用連續(xù)執(zhí)行價(jià)格下的看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。然而，由于期權(quán)面板數(shù)據(jù)是離散的，只能利用離散的期權(quán)數(shù)據(jù)計(jì)算V、W和X。

V︿（t，τ）=∑nci=121-lnKciS（t）*Kci2C（t，τ;Kci）△Kci+∑npi=121+lnS（t）*KpiKpi2P（t，τ;Kpi）△Kpi（8）

W︿（t，τ）=∑nci=16lnKciS（t）*-3lnKciS（t）*2Kci2C（t，τ;Kci）△Kci-∑npi=16lnS（t）*Kpi+3lnS（t）*Kpi2Kpi2P（t，τ;Kpi）△Kpi（9）

X︿（t，τ）=∑nci=112lnKciS（t）*2+4lnKciS（t）*3Kci2C（t，τ;Kci）△Kci+∑npi=112lnS（t）*Kpi2+4lnS（t）*Kpi3Kpi2P（t，τ;Kpi）△Kpi（10）

這里，S（t）*=S（t）-PVDivs為除息后的股價(jià)，PVDivs為股息現(xiàn)值，Kci和Kpi分別為第i個(gè)虛值看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的行權(quán)價(jià)，C（t，τ;Kci）和P（t，τ;Kpi）分別為第i個(gè)看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格，nc和np分別為看漲和看跌期權(quán)的數(shù)量，對(duì)于2≤i≤nc，△Kci=Kci-1-Kci，△Kc1=S*t-Kc1，對(duì)于2≤i≤np，△Kpi=Kpi-1-Kpi，△Kp1=S*t-Kp1。這樣通過(guò)離散方法可以計(jì)算出隱含波動(dòng)率和隱含偏度。

為了估計(jì)無(wú)模型隱含高階矩，式（8）～式（10）中給出的離散近似V︿、W︿和X︿會(huì)產(chǎn)生多種近似誤差，如截?cái)嗾`差和離散化誤差。這些誤差可能對(duì)估計(jì)隱含高階矩產(chǎn)生重要影響。接下來(lái)，將詳細(xì)介紹每種近似誤差。

三、近似誤差來(lái)源

在本節(jié)中，筆者將探討在利用離散期權(quán)數(shù)據(jù)計(jì)算隱含高階矩時(shí)產(chǎn)生的兩種近似誤差，即截?cái)嗾`差和離散化誤差。

（一）截?cái)嗾`差

截?cái)嗾`差是由于執(zhí)行價(jià)格K范圍有界導(dǎo)致的。正如V、W和X的定義所示，無(wú)模型隱含高階矩的計(jì)算需要0到無(wú)窮的執(zhí)行價(jià)格，然而，當(dāng)使用離散化的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只能利用有限范圍的執(zhí)行價(jià)格數(shù)據(jù)。記KL和KU分別是給定期限的最低和最高執(zhí)行價(jià)格。由于無(wú)限范圍的執(zhí)行價(jià)格被有限范圍的執(zhí)行價(jià)格［KL，KU］所取代，因此可以得到以下近似式（先不考慮給定范圍內(nèi)的離散情況）：

V（t，τ）≈∫KUS（t）21-lnKS（t）K2C（t，τ;K）dK+∫S（t）KL21+lnS（t）KK2P（t，τ;K）dK（11）

W（t，τ）≈∫KUS（t）6lnKS（t）-3lnKS（t）2K2C（t，τ;K）dK-∫S（t）KL6lnS（t）K+3lnS（t）K2K2P（t，τ;K）dK（12）

X（t，τ）≈∫KUS（t）12lnKS（t）2+4lnKS（t）3K2C（t，τ;K）dK+∫S（t）KL12lnS（t）K2+4lnS（t）K3K2

P（t，τ;K）dK（13）

因此，V、W和X的截?cái)嗾`差由以下表達(dá)式給出：

Vtrunc=-∫∞KU21-lnKS（t）K2C（t，τ;K）dK+∫KL021+lnS（t）KK2P（t，τ;K）dK（14）

Wtrunc=-∫∞KU6lnKS（t）-3lnKS（t）2K2C（t，τ;K）dK-∫KL06lnS（t）K+3lnS（t）K2K2

P（t，τ;K）dK（15）

Xtrunc=-∫∞KU12lnKS（t）2+4lnKS（t）3K2

C（t，τ;K）dK+∫KL012lnS（t）K（t）2+4lnS（t）K3K2

P（t，τ;K）dK（16）

負(fù)號(hào)表明截?cái)嗾`差會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的高階矩產(chǎn)生負(fù)的偏差。

（二）離散化誤差

離散化誤差是由于數(shù)值積分導(dǎo)致的，因?yàn)镃BOE在計(jì)算中采用式（8）、式（9）、式（10）。盡管從理論上看，數(shù)值積分誤差可以通過(guò)使用足夠精細(xì)的執(zhí)行價(jià)格網(wǎng)絡(luò)來(lái)最小化，但實(shí)際期權(quán)面板數(shù)據(jù)中可獲取的離散數(shù)據(jù)始終是有限的，且行權(quán)價(jià)之間的離散程度往往很大，因此會(huì)產(chǎn)生較為明顯的離散化誤差。離散化誤差可以表示為：

Vdisc=V︿（t，τ）-∫KUS（t）21-lnKS（t）K2C（t，τ;K）dK+∫S（t）KL21+lnS（t）KK2P（t，τ;K）dK（17）

Wdisc=W︿（t，τ）-∫KUS（t）6lnKS（t）-3lnKS（t）2K2C（t，τ;K）dK-∫S（t）KL6lnS（t）K+3lnS（t）K2K2

P（t，τ;K）dK（18）

Xdisc=X︿（t，τ）-∫KUS（t）12lnKS（t）2+4lnKS（t）3K2C（t，τ;K）dK+∫S（t）KL12lnS（t）K2+4lnS（t）K3K2

P（t，τ;K）dK（19）

四、近似誤差的處理

近似誤差主要由于期權(quán)數(shù)據(jù)在不同執(zhí)行價(jià)格下的稀疏性引起。為了減少這種誤差，需要獲取更多執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)。解決這一問(wèn)題的一種方法是通過(guò)“平滑”技術(shù)填補(bǔ)稀疏的期權(quán)數(shù)據(jù)。通常而言，“平滑”技術(shù)應(yīng)用于期權(quán)合約的波動(dòng)率，而非直接應(yīng)用于期權(quán)價(jià)格。具體步驟如下：首先，利用BS公式計(jì)算已有期權(quán)價(jià)格對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率；其次，使用“平滑”技術(shù)構(gòu)建期權(quán)合約對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率曲線，以獲取所需執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率；最后，再次利用BS公式計(jì)算相應(yīng)執(zhí)行價(jià)格的看漲和看跌期權(quán)價(jià)格。本文采用了一種有效的平滑方法來(lái)提取無(wú)模型波動(dòng)率，即采用“內(nèi)插-外推”方法構(gòu)建波動(dòng)率曲面。

（一）已有執(zhí)行價(jià)格間的內(nèi)插法

假定對(duì)于給定的到期日T有N個(gè)執(zhí)行價(jià)格，分別為Ki，i=1，2，…，N，其對(duì)應(yīng)的看漲看跌期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格分別是CM（Ki，T）和PM（Ki，T）。不失一般性，有0<KL=K1<K2<…<KN=KU<∞。這里僅使用OTM期權(quán)來(lái)建立波動(dòng)率函數(shù)。通過(guò)BS模型，結(jié)合N個(gè)執(zhí)行價(jià)格以及對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格，可以反推出這N個(gè)執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率（σ（Ki，T），i=1，2，…，N）。

構(gòu)建執(zhí)行價(jià)格區(qū)間［KL，KU］上的波動(dòng)率函數(shù)是關(guān)鍵。已有研究中，參數(shù)法和非參數(shù)法都被廣泛應(yīng)用（Bahra，2007；Bliss和Panigirtzoglou，2002；Anagnou等，2002）。然而，參數(shù)方法對(duì)模型形式的限制，無(wú)法靈活適應(yīng)觀測(cè)數(shù)據(jù)。因此，本文采用非參數(shù)方法來(lái)構(gòu)建波動(dòng)率函數(shù)，以便更好地處理和利用不同執(zhí)行價(jià)格下的期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)。

采用“內(nèi)插法”在N個(gè)執(zhí)行價(jià)格之間建立光滑函數(shù)，可以很好地?cái)M合這N個(gè)已知的波動(dòng)率。筆者希望在執(zhí)行價(jià)格區(qū)間［KL，KU］找到一個(gè)可微函數(shù)f（K），有

f（Ki）=σ（Ki，T），i=1，2，…，N（20）

這里參考Jiang和Tian（2005），使用三次樣條來(lái)擬合已知的波動(dòng)率。為了使擬合結(jié)果更好，從K2到KN-1所有的內(nèi)部執(zhí)行價(jià)格均被用作節(jié)點(diǎn)來(lái)擬合三次樣條。接著，對(duì)于新的內(nèi)插點(diǎn)便可以通過(guò)f（K）獲得其對(duì)應(yīng)合約的波動(dòng)率。

（二）已有執(zhí)行價(jià)格外的外推法

由于在已列出的執(zhí)行價(jià)格區(qū)間之外，沒(méi)有已知的期權(quán)價(jià)格，而范圍更廣的執(zhí)行價(jià)格對(duì)于計(jì)算隱含高階矩有較大的好處，因此需要根據(jù)已構(gòu)建的波動(dòng)率函數(shù)對(duì)區(qū)間外的波動(dòng)率進(jìn)行外推。具體來(lái)說(shuō)，考慮兩種外推方法。

1平推法

平推法是指對(duì)于執(zhí)行價(jià)格區(qū)間外的波動(dòng)率，用最接近的已知波動(dòng)率值來(lái)代替，即對(duì)于區(qū)間（0，KL］的波動(dòng)率都用σ（KL）來(lái)代替，對(duì)于區(qū)間［KU，∞）的波動(dòng)率都用σ（KU）來(lái)代替，其核心思想如圖1上圖所示，該方法常被用于波動(dòng)率估計(jì)的修正。然而，“平推法”存在兩個(gè)缺點(diǎn)：一是為了滿足無(wú)套利條件，波動(dòng)率函數(shù)需要保持連續(xù)性，但是“平推法”可能導(dǎo)致波動(dòng)率函數(shù)在KL和KU處出現(xiàn)拐點(diǎn)，從而使風(fēng)險(xiǎn)中性概率密度函數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)；二是根據(jù)波動(dòng)率“微笑”或者波動(dòng)率“偏斜”的觀察，隨著執(zhí)行價(jià)格遠(yuǎn)離當(dāng)前股價(jià)，波動(dòng)率往往會(huì)上升。因此，對(duì)于執(zhí)行價(jià)格區(qū)間外的波動(dòng)率使用常數(shù)波動(dòng)率代替，可能會(huì)導(dǎo)致波動(dòng)率被低估。

2線性外推法

線性外推法指的是在最低KL和最高KU的執(zhí)行價(jià)格點(diǎn)上施加平滑條件，并保持一個(gè)線性的外推結(jié)構(gòu)。具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)調(diào)整處于執(zhí)行價(jià)格兩邊的線性外推斜率，使其與最低KL或最高KU執(zhí)行價(jià)格內(nèi)部端的斜率一致，如圖1下圖所示。這種方法確保了在整個(gè)執(zhí)行價(jià)格范圍內(nèi)都有平滑的波動(dòng)率曲線，并且能夠很好地?cái)M合已知的波動(dòng)率數(shù)據(jù)?！熬€性外推法”構(gòu)建的波動(dòng)率曲線更符合通常觀察到的波動(dòng)率“微笑”或者波動(dòng)率“偏斜”。

由此可見(jiàn)，一旦構(gòu)建好波動(dòng)率函數(shù)，適當(dāng)范圍內(nèi)任意執(zhí)行價(jià)格處的期權(quán)價(jià)格都可以通過(guò)使用BS模型根據(jù)相應(yīng)擬合的波動(dòng)率計(jì)算得到。這樣一來(lái)，可以利用更多的期權(quán)數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)值積分V、W和X進(jìn)行離散化計(jì)算。

五、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)描述

本文選取2021年1月4日至2021年12月31日每天9：30到11：30以及13：00到15：00的50ETF指數(shù)和50ETF期權(quán)的1分鐘級(jí)數(shù)據(jù)，共計(jì)243天（交易日），每天包含241個(gè)1分鐘數(shù)據(jù)。剔除所有不滿足無(wú)套利條件的期權(quán)樣本，選擇期權(quán)到期期限為10～60天，并且每天至少存在兩支認(rèn)購(gòu)和認(rèn)沽期權(quán)的樣本。當(dāng)數(shù)據(jù)處理完后，可以使用前面章節(jié)的方法計(jì)算出風(fēng)險(xiǎn)中性高階矩，這里所計(jì)算的均為期限τ為30天的風(fēng)險(xiǎn)中性矩。

（二）修正方案間的比較分析

采用CBOE的指標(biāo)構(gòu)建方法，分別構(gòu)建波動(dòng)率指數(shù)和偏度指數(shù)：

iVIXt，τ=100*Volt，τ（21）

iSKEWt，τ=100-10*Skewt，τ（22）

本節(jié)對(duì)比分析了不同的“內(nèi)插-外推”方法對(duì)50ETF波動(dòng)率指數(shù)（iVIX）和偏度指數(shù)（iSKEW）的影響。鑒于截?cái)嗾`差和離散化誤差，對(duì)不同方法進(jìn)行比較分析，以評(píng)估其對(duì)iVIX和iSKEW的影響。對(duì)“內(nèi)插-外推”方法進(jìn)行兩種不同的內(nèi)插點(diǎn)數(shù)選擇，分別為在已有執(zhí)行價(jià)格區(qū)間內(nèi)選擇100個(gè)和500個(gè)等間距內(nèi)插點(diǎn)。在內(nèi)插計(jì)算完成后，還采用了線性外推和平值外推兩種方法。對(duì)于線性外推，當(dāng)內(nèi)插點(diǎn)數(shù)為100時(shí)，考慮2個(gè)、10個(gè)和20個(gè)等間距外推點(diǎn)；當(dāng)內(nèi)插點(diǎn)數(shù)為500時(shí)，則考慮10個(gè)、50個(gè)和100個(gè)等間距外推點(diǎn)，以確保外推的區(qū)間長(zhǎng)度一致。對(duì)于平值外推，外推點(diǎn)個(gè)數(shù)的選擇與線性外推方法一致。

表1展示了不同插值方法計(jì)算的波動(dòng)率指數(shù)和偏度指數(shù)的描述性統(tǒng)計(jì)。筆者觀察到修正后的iVIX指數(shù)相對(duì)于未修正的iVIX指數(shù)，在均值和最小值上幾乎都顯示出下降趨勢(shì)。具體而言，平值外推方法得到的iVIX指數(shù)相對(duì)于線性外推方法更小，且內(nèi)插點(diǎn)數(shù)為500時(shí)的iVIX指數(shù)比內(nèi)插點(diǎn)數(shù)為100時(shí)的iVIX指數(shù)要小。對(duì)于iSKEW的計(jì)算，平值外推對(duì)其影響不大。然而，當(dāng)線性外推點(diǎn)數(shù)過(guò)多時(shí)會(huì)導(dǎo)致iSKEW值顯著增加。

圖2呈現(xiàn)了不同插值方法修正后的iVIX和iSKEW指數(shù)的時(shí)間序列。可以發(fā)現(xiàn)，未插值情況下的波動(dòng)率和偏度指數(shù)一般位于所有插值計(jì)算結(jié)果之上，顯示出插值后的指數(shù)普遍偏低。此外，線性外推點(diǎn)數(shù)過(guò)多可能會(huì)產(chǎn)生異常值。為了更好地顯示不同方法之間的差異，圖3展示了不同插值方法修正后的iVIX和iSKEW指數(shù)的平均日內(nèi)走勢(shì)?？梢园l(fā)現(xiàn)，對(duì)于平均日內(nèi)iVIX指數(shù)，經(jīng)過(guò)平值外推和線性外推修正后的波動(dòng)率指數(shù)均低于未插值計(jì)算結(jié)果，且內(nèi)插點(diǎn)數(shù)對(duì)其影響較小，而外推點(diǎn)數(shù)對(duì)其影響較大。對(duì)于平均日內(nèi)iSKEW指數(shù)，平值外推修正的iSKEW指數(shù)低于未插值的計(jì)算結(jié)果。然而，線性外推修正的iSKEW指數(shù)在外推點(diǎn)數(shù)過(guò)多時(shí)會(huì)顯著高于未插值的計(jì)算結(jié)果。因此，不建議使用過(guò)多的線性外推點(diǎn)數(shù)。

綜上所述，未插值的隱含高階矩往往存在高估的情況，這可能導(dǎo)致市場(chǎng)投資者在期權(quán)交易、金融資產(chǎn)定價(jià)、資產(chǎn)收益分析以及金融風(fēng)險(xiǎn)傳染度量等方面做出錯(cuò)誤的決策。并且內(nèi)插點(diǎn)數(shù)越多，適度的線性外推結(jié)果越穩(wěn)健。由于理論上采用插值計(jì)算的隱含高階矩更為準(zhǔn)確，且實(shí)證結(jié)果顯示插值和不插值結(jié)果差異比較大?；谶@些考量，選擇了內(nèi)插點(diǎn)數(shù)為500、外推點(diǎn)數(shù)為50的方案進(jìn)行后續(xù)數(shù)據(jù)分析和實(shí)證研究。

（三）變量的描述性統(tǒng)計(jì)

圖4分別展示了修正后的iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)的時(shí)間序列。以下是對(duì)圖4結(jié)果的分析：①?gòu)膇SKEW指數(shù)圖中可以觀察到，2021年中國(guó)市場(chǎng)的iSKEW指數(shù)有部分?jǐn)?shù)值小于100，處于90～100，顯示出市場(chǎng)預(yù)期收益率出現(xiàn)右偏的現(xiàn)象。這與Chang等（2013）在美國(guó)市場(chǎng)計(jì)算的隱含偏度指數(shù)始終

大于100有所不同。②iSKEW指數(shù)通常在達(dá)到115之后會(huì)下跌，而不是持續(xù)上升，這是因?yàn)槭袌?chǎng)上存在套利機(jī)會(huì)的投資者，他們的介入會(huì)使iSKEW指數(shù)回歸其均值附近，從而避免持續(xù)的左偏現(xiàn)象。這些分析結(jié)果揭示了市場(chǎng)波動(dòng)率和偏度指數(shù)在不同時(shí)間段的動(dòng)態(tài)變化，對(duì)理解市場(chǎng)行為和制定投資策略具有重要意義。

圖5顯示了以下內(nèi)容：左側(cè)為iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)本身的自相關(guān)圖；右側(cè)則展示了對(duì)iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)進(jìn)行差分后的自相關(guān)圖。在自相關(guān)圖中，陰影部分表示95%的置信區(qū)間。觀察圖可知，iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)本身具有顯著的自相關(guān)性，然而，經(jīng)過(guò)一階差分處理后，大部分iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)的自相關(guān)系數(shù)均落在95%的置信區(qū)間內(nèi)。這表明對(duì)隱含高階矩進(jìn)行差分處理后的時(shí)間序列更加平穩(wěn)。

（四）回歸分析

1收益率回歸分析

Jondeau等（2019）在其研究中使用美國(guó)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，偏度可以影響個(gè)股的收益率。Harvey和Siddique（2000，2000）的研究結(jié)果顯示，偏度不僅影響個(gè)股的收益率，還對(duì)整個(gè)股票市場(chǎng)的收益率產(chǎn)生影響。那么，在中國(guó)市場(chǎng)，隱含高階矩是否會(huì)對(duì)50ETF的收益率產(chǎn)生影響呢？

為了研究隱含高階矩對(duì)上證50ETF指數(shù)收益的影響，本節(jié)使用了差分后的iVIX指數(shù)、iSKEW指數(shù)及其組合對(duì)上證50ETF指數(shù)的收益率進(jìn)行回歸分析。研究數(shù)據(jù)覆蓋了2021年1月4日至2021年12月31日的243個(gè)交易日的50ETF和期權(quán)數(shù)據(jù)。我們建立了以下三個(gè)模型：

Model1：Rt=α+β1△iVIXt+t（23）

Model2：Rt=α+β2△iSKEWt+t（24）

Model3：Rt=α+β1△iVIXt+β2△iSKEWt+t（25）

這里的Rt是第t個(gè)時(shí)刻50ETF的對(duì)數(shù)價(jià)格收益率，△iVIXt=iVIXt-iVIXt-1，△iSKEWt=iSKEWt-iSKEWt-1。表2展示了隱含高階矩與市場(chǎng)收益率回歸的結(jié)果。

從表2的回歸結(jié)果可以得出：①收益率與△iVIX之間表現(xiàn)出顯著的負(fù)相關(guān)性，這種關(guān)系主要是由于杠桿效應(yīng)和波動(dòng)率反饋效應(yīng)所導(dǎo)致的。②△iSKEW對(duì)收益率具有顯著的預(yù)測(cè)能力，這可以理解為投資者更偏好右偏的資產(chǎn)，而右偏的資產(chǎn)往往被高估，從而導(dǎo)致負(fù)的收益。此外，當(dāng)iSKEW>100時(shí)，表明資產(chǎn)收益存在左偏的可能性，進(jìn)一步指示資產(chǎn)收益下跌的風(fēng)險(xiǎn)增加。由于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者會(huì)尋求更多的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償來(lái)規(guī)避尾部風(fēng)險(xiǎn)的影響，因此更高的△iSKEW通常伴隨著更高的資產(chǎn)收益。③當(dāng)△iVIX和△iSKEW同時(shí)加入收益率的回歸模型后，它們對(duì)收益率的影響依然顯著。這表明，從期權(quán)數(shù)據(jù)中提取的隱含高階矩均包含了影響50ETF收益率的重要信息。

2已實(shí)現(xiàn)高階矩之間的回歸分析

通過(guò)期權(quán)數(shù)據(jù)計(jì)算的隱含波動(dòng)率指數(shù)和隱含偏度指數(shù)間接反映了投資者對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的度量，而已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RV）和已實(shí)現(xiàn)偏度（RSkew）是直接通過(guò)50ETF收益率數(shù)據(jù)計(jì)算的，能夠直接反映資產(chǎn)的收益情況，因此它們之間存在一定的關(guān)聯(lián)。在本節(jié)中，建立已實(shí)現(xiàn)高階矩與隱含高階矩之間的回歸模型，并分析它們之間的關(guān)系。首先，根據(jù)Andersen和Bollerslev（1998）及后續(xù)文獻(xiàn)提出的方法，構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)高階矩：

RVt=∑N～i=0R2t-i（26）

RSkewt=N～∑N～i=1R3t-i（RVt）3/2（27）

RSKEWt=100-10×RSkewt（28）

這里，Rt-i表示第t-i時(shí)刻的對(duì)數(shù)收益率。使用滑動(dòng)步長(zhǎng)為1分鐘，窗寬大小N～為240分鐘的數(shù)據(jù)集來(lái)計(jì)算高頻RV和RSkewt。接下來(lái)，建立已實(shí)現(xiàn)高階矩與隱含高階矩之間的回歸關(guān)系模型：

RV2t=α+βiVIX2t+t（29）

RSKEWt=α+βiSKEWt+t（30）

使用修正后的隱含波動(dòng)率指數(shù)和隱含偏度指數(shù)，得到的回歸結(jié)果如下：

RV2t=-00294+15606iVIX2t（-969840）（2187779）（31）

RSKEWt=1570276-05636iSKEWt

（595898）（-215865）（32）

其中括號(hào)內(nèi)為各個(gè)系數(shù)的t-統(tǒng)計(jì)量。從隱含高階矩對(duì)已實(shí)現(xiàn)高階矩的回歸結(jié)果可以看出：①已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和iVIX指數(shù)之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系；②已實(shí)現(xiàn)偏度指數(shù)與iSKEW指數(shù)之間存在顯著的負(fù)相關(guān)關(guān)系。由此可以說(shuō)明50ETF期權(quán)隱含信息對(duì)50ETF收益率的方差和偏度具有一定的解釋作用。

3方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)回歸分析

已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率反映了投資者對(duì)市場(chǎng)真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)的度量，而隱含波動(dòng)率則反映了對(duì)未來(lái)波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)期。因此，方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（VRP）可以定義為在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的方差減去真實(shí)測(cè)度下的已實(shí)現(xiàn)方差，即VRPt=iVIX2t-RV2t。VRP在一定程度上反映了投資者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度。圖6展示了高頻已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RV）和隱含波動(dòng)率（iVIX）的時(shí)間序列，可以觀察到在許多時(shí)段，iVIX比RV要大。

圖7呈現(xiàn)了方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)?？梢钥闯?，VRP大多時(shí)候都是大于0的，這說(shuō)明中國(guó)投資者更傾向于規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)未來(lái)市場(chǎng)走向不確定增加時(shí)，投資者規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的意愿會(huì)增強(qiáng)，導(dǎo)致VRP處于一個(gè)較高的水平。然而，當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)高波動(dòng)（如2021年2月以及2021年7月）時(shí)，VRP會(huì)出現(xiàn)很大的負(fù)值。這表明在這些時(shí)期，市場(chǎng)相對(duì)較為動(dòng)蕩，導(dǎo)致真實(shí)市場(chǎng)中由50ETF價(jià)格直接計(jì)算的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率要高于投資者的預(yù)期波動(dòng)率。

Bollerslev等（2009）使用美國(guó)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)VRP在對(duì)季度收益率的預(yù)測(cè)上表現(xiàn)最為強(qiáng)烈；Qiao等（2024）則利用9個(gè)新興市場(chǎng)的指數(shù)構(gòu)建VRP，發(fā)現(xiàn)VRP可以預(yù)測(cè)股指收益、貨幣收益以及資本流動(dòng)，并且在短期內(nèi)預(yù)測(cè)效果尤其顯著。本節(jié)利用插值的隱含波動(dòng)率指數(shù)計(jì)算VRP，并研究其對(duì)上證50ETF收益率的影響。建立以下回歸模型：

Rt=α+βVRPt+t（33）

其中，Rt表示第t個(gè)時(shí)刻50ETF的對(duì)數(shù)價(jià)格收益率，VRPt表示第t個(gè)時(shí)刻的方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。得到的回歸結(jié)果如下：

Rt=-00744+57866VRPt

（-03819）（05615）（34）

括號(hào)內(nèi)為參數(shù)估計(jì)的t-統(tǒng)計(jì)量?；貧w結(jié)果顯示，截距項(xiàng)和斜率項(xiàng)在95%置信水平下均不顯著，表明VRP對(duì)上證50ETF的收益率沒(méi)有顯著的影響，這與田鳳平和楊科（2021）的研究結(jié)果一致。

六、結(jié)論

本文利用上證50ETF及其期權(quán)數(shù)據(jù)，采用“內(nèi)插-外推”方法，計(jì)算了50ETF指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)中性隱含高階矩，并將其與基于CBOE白皮書(shū)未插值計(jì)算的隱含高階矩進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示，未插值處理的隱含波動(dòng)率指數(shù)和隱含偏度指數(shù)都存在一定程度的被高估。隱含波動(dòng)率的被高估通常意味著期權(quán)價(jià)格可能也被高估，這可能誤導(dǎo)依賴隱含波動(dòng)率指數(shù)進(jìn)行期權(quán)交易的投資者，從而導(dǎo)致?lián)p失。鑒于國(guó)內(nèi)期權(quán)市場(chǎng)近年來(lái)的快速發(fā)展，精確構(gòu)建隱含波動(dòng)率和偏度指標(biāo)對(duì)維護(hù)投資者信心和衍生品市場(chǎng)的穩(wěn)定發(fā)展至關(guān)重要。因此，本文建議采用基于“內(nèi)插-外推”方法修正的隱含波動(dòng)率和隱含偏度作為新的研究指標(biāo)。

同時(shí)，本文還研究了插值后的隱含高階矩信息對(duì)50ETF收益率以及已實(shí)現(xiàn)高階矩的影響，并進(jìn)一步基于隱含高階矩構(gòu)建了方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，分析其對(duì)50ETF收益率的影響。研究發(fā)現(xiàn)，隱含高階矩與50ETF收益率之間存在顯著的相關(guān)性。一方面，隱含波動(dòng)率指數(shù)和收益率之間的負(fù)相關(guān)性為中國(guó)市場(chǎng)可能存在杠桿效應(yīng)和波動(dòng)率反饋效應(yīng)提供了一定的實(shí)證依據(jù)。另一方面，隱含偏度指數(shù)與收益率之間的正相關(guān)性在一定程度上說(shuō)明了當(dāng)市場(chǎng)投資者更偏好右偏資產(chǎn)時(shí)，由于這類資產(chǎn)被高估，可能導(dǎo)致負(fù)收益。此外，本文還發(fā)現(xiàn)已實(shí)現(xiàn)高階矩與隱含高階矩之間存在顯著的相關(guān)性，這表明50ETF期權(quán)隱含信息對(duì)50ETF收益率的方差和偏度具有一定的解釋作用。對(duì)于方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，筆者發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)平靜期間，隱含波動(dòng)率通常高于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，表明中國(guó)投資者大部分時(shí)間在規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，并且愿意為對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)支付費(fèi)用。同時(shí)，研究發(fā)現(xiàn)中國(guó)市場(chǎng)的方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)對(duì)收益率的影響并不顯著。

綜上所述，投資者在制定投資策略時(shí)應(yīng)充分考慮期權(quán)隱含的高階矩風(fēng)險(xiǎn)信息，并合理配置資產(chǎn)。同時(shí)，監(jiān)管部門(mén)也應(yīng)關(guān)注期權(quán)隱含的高階矩風(fēng)險(xiǎn)，以便更好地管理衍生品市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)。

參考文獻(xiàn)

［1］ANAGNOUI，BEDENDOM，HODGESSD，etalTherelationbetweenimpliedandrealisedprobabilitydensityfunctions［J］SSRNElectronicJournal，2002

［2］ANDERSENTG，BOLLERSLEVTAnsweringtheskeptics：Yes，standardvolatilitymodelsdoprovideaccurateforecasts［J］InternationalEconomicReview，1998，39（4）：885-905

［3］BAHRABImpliedrisk-neutralprobabilitydensityfunctionsfromoptionprices：Acentralbankperspective［J］ForecastingVolatilityintheFinancialMarkets（ThirdEdition），2007：201-226

［4］BAKSHIG，KAPADIAN，MADANDStockreturncharacteristics，skewlaws，andthedifferentialpricingofindividualequityoptions［J］TheReviewofFinancialStudies，2003，16（1）：101-143

［5］BALITG，MURRAYSDoesrisk-neutralskewnesspredictthecross-sectionofequityoptionportfolioreturns？［J］JournalofFinancialandQuantitativeAnalysis，2013，48（4）：1145-1171

［6］BLISSRR，PANIGIRTZOGLOUNTestingthestabilityofimpliedprobabilitydensityfunctions［J］JournalofBankingandFinance，2002，26（2-3）：381-422

［7］BLACKF，SCHOLESMThepricingofoptionsandcorporateliabilities［J］JournalofPoliticalEconomy，1973，81（3）：637-654

［8］BOLLERSLEVT，TAUCHENG，ZHOUHExpectedstockreturnsandvarianceriskpremia［J］TheReviewofFinancialStudies，2009，22（11）：4463-4492

［9］CHANGBY，CHRISTOFFERSENP，JACOBSKMarketskewnessriskandthecrosssectionofstockreturns［J］JournalofFinancialEconomics，2013，107（1）：46-68

［10］HARVEYCR，SIDDIQUEAConditionalskewnessinassetpricingtests［J］TheJournalofFinance，2000，55（3）：1263-1295

［11］HARVEYCR，SIDDIQUEATime-varyingconditionalskewnessandthemarketriskpremium［J］ResearchinBankingandFinance，2000，1（1）：27-60

［12］JIANGGJ，TIANYSExtractingmodel-freevolatilityfromoptionprices：AnexaminationoftheVIXindex［J］TheJournalofDerivatives，2007，14（3）：35-60

［13］JIANGGJ，TIANYSThemodel-freeimpliedvolatilityanditsinformationcontent［J］TheReviewofFinancialStudies，2005，18（4）：1305-1342

［14］JONDEAUE，ZHANGQ，ZHUXAverageskewnessmatters［J］JournalofFinancialEconomics，2019，134（1）：29-47

［15］CARRP，MADANDTowardsatheoryofvolatilitytrading［J］Volatility：Newestimationtechniquesforpricingderivatives，1998（29）：417-427

［16］CARRP，WULVarianceriskpremiums［J］TheReviewofFinancialStudies，2009，22（3）：1311-1341

［17］CHRISTOFFERSENP，JACOBSK，CHANGBYForecastingwithoptionimpliedinformation［J］HandbookofEconomicForecasting，2013，2（A）：581-656

［18］CHRISTOFFERSENP，HESTONS，JACOBSKTheshapeandtermstructureoftheindexoptionsmirk：Whymultifactorstochasticvolatilitymodelsworksowell［J］ManagementScience，2009，55（12）：1914-1932

［19］QIAOF，XUL，ZHANGX，etalVarianceriskpremiumsinemergingmarkets［J］JournalofBanking&Finance，2024（167）：107259

［20］HESTONSLAclosed-formsolutionforoptionswithstochasticvolatilitywithapplicationstobondandcurrencyoptions［J］TheReviewofFinancialStudies，1993，6（2）：327-343.

［21］叢明舒中國(guó)場(chǎng)內(nèi)期權(quán)市場(chǎng)研究——基于中美關(guān)于期權(quán)隱含方差的差異［J］金融研究，2018（12）：189-206

［22］李志勇，余湄，汪壽陽(yáng)方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和收益率預(yù)測(cè)：來(lái)自上證50ETF期權(quán)市場(chǎng)的證據(jù)［J］系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2022，42（2）：306-319

［23］田鳳平，楊科我國(guó)商品期貨的無(wú)模型隱含方差與方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)研究基于豆粕和白糖的分析［J］系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2021，41（8）：2015-2029

［24］王琳玉，倪中新，郭婧上證50ETF隱含高階矩風(fēng)險(xiǎn)對(duì)股票收益的預(yù)測(cè)研究［J］統(tǒng)計(jì)研究，2020，37（12）：75-90

［25］鄭振龍，孫清泉，吳強(qiáng)方差和偏度的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格［J］管理科學(xué)報(bào)，2016，19（12）：110-123