縱觀近幾年的中考試題，我們可以發(fā)現(xiàn)銷售問(wèn)題一直是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn). 解決這類問(wèn)題需要理解成本、利潤(rùn)、盈虧等名詞的含義，掌握相關(guān)計(jì)算公式，并巧妙建立數(shù)學(xué)模型，下面舉例介紹.

類型一：給出關(guān)系式

例1 某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為[20]元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來(lái)[40]天內(nèi)的日銷售量[m]（件）與時(shí)間[t]（天）的關(guān)系滿足[m=-2t+96.]且未來(lái)[40]天內(nèi)，前[20]天每天的價(jià)格[y1]（元[/]件）與時(shí)間[t]（天）的函數(shù)關(guān)系式為[y1=12t+25]（[1≤t≤20]且[t]為整數(shù)），后[20]天每天的價(jià)格[y2]（元[/]件）與時(shí)間[t]（天）的函數(shù)關(guān)系式為[y2=-12t+40]（[21≤t≤40]且[t]為整數(shù)）. 下面我們就來(lái)研究銷售這種商品的有關(guān)問(wèn)題：

（1）請(qǐng)分別寫出未來(lái)[40]天內(nèi)，前[20]天和后[20]天的日銷售利潤(rùn)[w]（元）與時(shí)間[t]的函數(shù)關(guān)系式.

（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來(lái)[40]天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？

（3）在實(shí)際銷售的前[20]天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng)[a]元利潤(rùn)（[a<4]）給希望工程. 公司通過(guò)銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前[20]天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間[t]（天）的增大而增大，求[a]的取值范圍．

解析：（1）當(dāng)[1≤t≤20]且[t]為整數(shù)時(shí)，

[w=12t+25-20（-2t+96）=-t2+38t+480]；

當(dāng)[21≤t<40]且[t]為整數(shù)時(shí)，

[w=-12t+40-20（-2t+96）=t2-88t+1920].

綜上，[w=-t2+38t+4801≤t≤20且t為整數(shù) ，t2-88t+192021≤t≤40且t為整數(shù).]

（2）當(dāng)[1≤t≤20]且[t]為整數(shù)時(shí)，[w=-t2+38t+480=-t-192+841]，

此時(shí)當(dāng)[t=19]時(shí)，[w]取得最大值[841].

當(dāng)[21≤t<40]且[t]為整數(shù)時(shí)，[w=t2-88t+1920=t-442-16].

[∵t<44]時(shí)，[w]隨[t]的增大而減小，

[∴]當(dāng)[t=21]時(shí)，[w]取得最大值，最大值為513.

綜上，第[19]天日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為[841]元．

（3）根據(jù)題意知，扣除捐款后的利潤(rùn)[w=-t2+38t+480--2t+96a] [=-t2+38+2at+480-96a]，對(duì)稱軸為[t=19+a]. 因?yàn)閇t]為整數(shù)，所以函數(shù)圖象是[20]個(gè)分布在拋物線上的散點(diǎn). 要使日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間[t]的增大而增大，則要求對(duì)稱軸[19+a>19.5]，解得[a>0.5]. 又∵[a<4]，則[0.5<a<4]．

類型二：給出函數(shù)圖象

例2 有一家苗圃計(jì)劃種植桃樹(shù)和柏樹(shù)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)：種植桃樹(shù)的利潤(rùn)[y1]（萬(wàn)元）與投資成本[x]（萬(wàn)元）滿足如圖[1]所示的二次函數(shù)[y1=ax2]；種植柏樹(shù)的利潤(rùn)[y2]（萬(wàn)元）與投資成本[x]（萬(wàn)元）滿足如圖[2]所示的正比例函數(shù)[y2=kx]．

（1）請(qǐng)分別直接寫出利潤(rùn)[y1]（萬(wàn)元）與利潤(rùn)[y2]（萬(wàn)元）關(guān)于投資成本[x]（萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若這家苗圃投資[4]萬(wàn)元種植桃樹(shù)，投資[6]萬(wàn)元種植柏樹(shù)，則可獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

（3）若這家苗圃種植桃樹(shù)和柏樹(shù)投入總成本[20]萬(wàn)元，其中桃樹(shù)的投資成本不低于[2]萬(wàn)元，且不高于[12]萬(wàn)元，則苗圃最少能獲得多少總利潤(rùn)？最多能獲得多少總利潤(rùn)？

[2][1][1][2][3][4][5][y1/萬(wàn)元][x/萬(wàn)元] [O] [2][1][1][2][3][4][5][y2/萬(wàn)元][x/萬(wàn)元] [O]

圖1 圖2

解析：（1）把（4，1）代入[y1=ax2]中得[y1=116x2]；

把（2，1）代入[y2=kx]中得[y2=12x].

（2）設(shè)總利潤(rùn)為[W]萬(wàn)元，則[W=y1+y2=116×42+12×6=4].

（3）設(shè)種植桃樹(shù)的投資成本為[x]（2 ≤ [x] ≤ 12）萬(wàn)元，總利潤(rùn)為[W]萬(wàn)元，則種植柏樹(shù)的投資成本為（[20-x]）萬(wàn)元，

則[W=y1+y2=] [116x2-12x+10].

當(dāng)[2≤x≤12]時(shí)，[∵116>0]，∴當(dāng)[x=-b2a=4]時(shí)，拋物線有最小值，此時(shí)[W=9]；

當(dāng)[x=12]時(shí)，[W]有最大值，此時(shí)W = [116×122-12×12+10=13].

答：苗圃最少能獲得[9]萬(wàn)元總利潤(rùn)，最多能獲得[13]萬(wàn)元總利潤(rùn)．

類型三：給出表格和圖象

例3 某企業(yè)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品上市后[30]天內(nèi)全部售完，該企業(yè)對(duì)這批產(chǎn)品上市后每天的銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查. 其中，國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量[y1]（萬(wàn)件）與時(shí)間[t]（[t]為整數(shù)，單位：天）的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示. 而國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量[y2]（萬(wàn)件）與時(shí)間[t]（[t]為整數(shù)，單位：天）的關(guān)系如圖3所示．

（1）請(qǐng)你從所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示[y1]與[t]的變化規(guī)律，寫出[y1]與[t]的函數(shù)關(guān)系式及自變量[t]的取值范圍；

（2）分別探求該產(chǎn)品在國(guó)外市場(chǎng)上市前20天（不含第[20]天）與[20]天后（含第[20]天）的日銷售量[y2]與時(shí)間[t]所符合的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量[t]的取值范圍；

（3）設(shè)國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)的日銷售總量為[y]萬(wàn)件，寫出[y]與時(shí)間[t]的函數(shù)關(guān)系式，并判斷上市第幾天國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)的日銷售總量[y]最大，并求出此時(shí)的最大值．

[t/天 0 5 10 15 20 25 30 y1/萬(wàn)件 0 25 40 45 40 25 0 ] [y2/萬(wàn)件][t/天][40][30][20][10][O][5][10][15][20][25][30]

圖3

解析：（1）由圖表數(shù)據(jù)觀察可知[y1]與[t]之間是二次函數(shù)關(guān)系，設(shè)[y1=a]（[t-0]）（[t-30]），再代入[t=5]，[y1=25]可得[a=-15]，[∴y1=-15t]（[t-30]）（[0≤t≤30]）.

（2）由函數(shù)圖象可知[y2]與[t]之間是分段的一次函數(shù)，由圖象可知，當(dāng)[0≤t<20]時(shí)，[y2=2t]，當(dāng)[20≤t≤30]時(shí)，[y2=-4t+120]，[∴y2=2t0≤t<20 ，-4t+12020≤t≤30.]

（3）當(dāng)[0≤t<20]時(shí)，[y=y1+y2=-15tt-30+2t=-15t-202+80]，可知拋物線開(kāi)口向下，[t]的取值范圍在對(duì)稱軸左側(cè)，[y]隨[t]的增大而增大，所以最大值小于當(dāng)[t=20]時(shí)的值[80].

當(dāng)[20≤t≤30]時(shí)，[y=y1+y2=-15tt-30-4t+120=-15t-52+125]，可知拋物線開(kāi)口向下，[t]的取值范圍在對(duì)稱軸右側(cè)，[y]隨[t]的增大而減小，所以最大值為當(dāng)[t=20]時(shí)的值[80].

故上市第[20]天，國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)的日銷售總量[y]最大，最大值為[80]萬(wàn)件．

類型四：文字描述，“每……每……”問(wèn)題

例4 小明大學(xué)畢業(yè)后回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆，售后統(tǒng)計(jì)，盆景的平均每盆利潤(rùn)是160元，花卉的平均每盆利潤(rùn)是19元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：

①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤(rùn)減少2元，每減少1盆，盆景的平均每盆利潤(rùn)增加2元；②花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變.

小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤(rùn)分別為W1，W2（單位：元）.

（1）用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1，W2；

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn)W最大，最大總利潤(rùn)是多少？

解析：（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50 + x）盆，花卉（50 - x）盆，根據(jù)“盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤(rùn)減少2元，每減少1盆，盆景的平均每盆利潤(rùn)增加2元”“花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變”，即可得到利潤(rùn)W1，W2與x的關(guān)系式.

第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50 + x）盆，花卉［100 - （50 + x）］ = （50 - x）盆，由題意得

W1 = （50 + x）（160 - 2x） = -2x2 + 60x + 8000，W2 = 19（50 - x） = -19x + 950.

（2）由W總 = W1 + W2可得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

W總 = W1 + W2 = -2x2 + 60x + 8000 + （-19x + 950） = -2x2 + 41x + 8950.

∵-2 < 0，-[412×-2] = 10.25，

故當(dāng)x = 10時(shí)，W總最大，此時(shí)W總 = -2 × 102 + 41 × 10 + 8950 = 9160.

綜上，解決這類問(wèn)題的基本思路為：

（1）審題，仔細(xì)審題，理解題意，分析函數(shù)關(guān)系；

（2）建模，根據(jù)銷售利潤(rùn)方面的知識(shí)列出等量關(guān)系；

（3）用含未知量的式子表達(dá)出單個(gè)利潤(rùn)和銷售量，根據(jù)等量關(guān)系建立二次函數(shù)；

（4）應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象求出最值.

（作者單位：錦州市第四中學(xué)）