摘要：幾何圖形教學中蘊含著歸納推理和類比推理的素材。教學時，教師可以引導學生在認真觀察圖形的基礎上，經(jīng)歷從個別到一般的思考過程，憑借觀察所獲得的經(jīng)驗和直覺，通過歸納的方式獲得圖形的特征，發(fā)展學生的推理能力，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：小學數(shù)學；圓的面積；數(shù)學核心素養(yǎng)；推理能力

《義務教育數(shù)學課程標準（2022版）》（以下通稱“新課標”）指出，小學階段的數(shù)學核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應用意識、創(chuàng)新意識。在核心素養(yǎng)觀念下，教師應探索如何培養(yǎng)學生的推理能力，發(fā)展學生的思維。根據(jù)新課標指出的“學生的學習是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式”這一基本理念，筆者著重思考以下兩個問題：推理的本質是什么？怎樣培養(yǎng)學生的推理能力？

一、以實際應用為背景創(chuàng)設推理情境

數(shù)學核心素養(yǎng)要求學生會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界。在數(shù)學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)中，推理能力是一種非常重要的能力，推理可以分為合情推理和演繹推理兩種。合情推理是從已經(jīng)存在的事實中，根據(jù)自己的經(jīng)驗和直覺，用歸納或類比來進行推論的一種思維方法，通常分為歸納推理和類比推理兩種。演繹推理是由已有的事實或已知的命題，并由法則推導出結論的一種思維方法。合情推理不一定是對的，但往往是有創(chuàng)意的。所以，在數(shù)學發(fā)展的進程中，往往是先從合情推理中得出猜想，然后再用演繹推理來驗證結論，這兩種方法相互補充，在數(shù)學的學習進程以及培養(yǎng)學生的數(shù)學思維方面都有著無可替代的作用。在小學階段，學生在對數(shù)學問題進行觀察與思考后，較多地運用合情推理解決問題。

推理意識的形成是學習思考的重要體現(xiàn)，它可以幫助學生養(yǎng)成說理、組織等思維方式，提升交際能力，為推理能力的形成奠定實踐基礎。而推理意識則是對邏輯推理過程和含義的初步認識。下面，筆者以北師大版小學數(shù)學教材六年級上冊“圓的面積”為例，談談如何提升學生的推理能力，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。

“圓的面積”是在學生認識了圓的特征、學會了圓周長的計算以及學習過直線圍成的平面圖形面積計算公式的基礎上進行教學的。學生已經(jīng)學過三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形等圖形的面積計算；知道利用剪、拼、移的方法，研究圖形之間的關系，從而推導出公式，并滲透轉化的數(shù)學思想。但是，像圓這樣曲線圖形的面積計算，學生還是第一次接觸到，接受起來會有一定的難度。所以，本節(jié)課教師應引導學生處理好曲線平面圖形與直線平面圖形的關系，把曲線平面圖形轉化成直線平面圖形，從而推導出圓的面積計算公式。這其中的設計理念是讓學生通過詳細的實踐操作，與課件的直觀展示相結合，通過提問、解決問題、合作探索、進行轉換的實驗，來提高學習興趣，提升課堂教學的效率。設計思路是以求圓的面積公式為主線，充分利用課件的優(yōu)點，使學生在原有的數(shù)學方法和數(shù)學思想的基礎上，借助事先準備好的學具，經(jīng)過幾次例外的移拼，將改變了形狀而面積不變的圖形進行對比，把圓的面積轉換為已學過的平面圖形來計算面積，進而推導出圓的面積的計算公式。

本節(jié)課一開始，教師課件演示了“工人叔叔給圓形花壇鋪草坪”的情境圖，其目的有兩個：一是對圓的面積概念的初步認識，讓學生明確——這個圓形草坪所占平面的大小，叫作這個草坪的占地面積；二是從工人叔叔所提出的問題中引出圓形花壇面積的計算，讓學生感悟要學習的內(nèi)容與身邊生活息息相關，從而為后面的學習創(chuàng)設推理情境。

二、以學習任務為依托創(chuàng)設推理空間

【學習任務1】采用格子計數(shù)法培養(yǎng)學生計算圖形面積的能力

格子計數(shù)法是指把要求計算出面積的圓放置在方格紙上，由圓在方格紙上所占的小格數(shù)量來求出圓的面積。格子計數(shù)法主要是以直觀的方式呈現(xiàn)，它在代數(shù)領域中運用了直觀的教學方法，在幾何圖形的面積計算中，把復雜的曲線圖形的面積計算以一種直觀、簡便的方式進行，可以提高學生的學習效率。在方格紙上，每個小方格的面積是一個單位。計算圓形的面積時，用圓形在方格紙上所占格數(shù)來表示。但在計算時，因為圓形是一種曲線形狀，它的邊緣并不能完全覆蓋整個小格，因此，在應用格點計算時，需要把不完全的邊所占的小格合理地連接起來，從而達到計算小格的目的。

【學習任務2】運用極限理論構建學生的空間感

在指導學生正確認識圓的面積的過程中，極限理論起著重要作用。在運用極限理論時，需要學生具備一定的空間構建能力，需要在其頭腦中對思維對象進行無限放大、縮小或無限分段的想象。當利用極限理論來計算圓形的面積時，學生通過連接圓形的每個邊點和圓形中心，得到了許多相同尺寸的扇形；將這個圓形無限地分割開來，被無限劃分之后的每個扇形的邊緣都會被近似地看作是一條直線，并且將被分割后的兩個扇面拼接成一個大致的長方形。最后，沒有分割的大長方形，其長度幾乎等于圓的一半，而大的長方形的寬度則與圓的半徑相等。將極限理論運用于圓面積計算公式的演進中，可以幫助學生建立起良好的空間觀念，使學生的整體數(shù)學能力得到全面提升，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

【學習任務3】轉化思想，鍛煉學生的推理能力和思維轉換能力

在利用極限思維的基礎上，學生應該具有轉化的思維：把圓轉化為多個扇形。在扇面的拼接過程中，把圓面積的計算轉化為拼接成的大長方形的面積的計算，在掌握了長方形的面積的計算之后，就可以推導出圓面積的計算公式。在推理的過程中，把圓的面積的計算轉化為長方形的面積的計算，還可以提升學生的推理能力和思維轉化能力。

三、以學生活動為渠道習得推理方法

一是歸納推理。歸納推理指的是從個別到一般的推理方法。在“圓的面積”的推導中，在學生明確了圓的面積的意義基礎上，教師可以讓學生在紙上用圓規(guī)畫一個圓把它剪下來。學生互相觀察不同大小的圓及其對應的面積，嘗試找出圓面積與某些幾何量（如直徑、半徑）之間的關系。學生通過多次實踐活動歸納出圓的面積與直徑和半徑的大小有關，這是推導面積公式前的重要一步。

二是類比推理。類比推理指的是當兩個或兩類對象間具有某些相同或相似的屬性時，可推出它們在其他方面也具備相同或相似的屬性。在教學“圓的面積”時，有的學生先把一個圓四等分，用半徑做邊長畫一個正方形，這個正方形的面積可以用r2表示；在這個圓上可以畫同樣的四個正方形，它們的面積可以用4r2表示；再在圓內(nèi)畫一個最大的正方形，這個正方形由四個同樣大小的三角形組成，每個三角形面積是[12]r2，四個三角形總面積就是2r2。由于圓在這兩個正方形中間，所以學生猜測圓的面積大于2r2 而小于4r2。通過這樣的猜想，學生的合情推理能力得到很大提升（如圖1）。

三是極限思想和轉化思想。接下來，教師讓學生動手驗證以上的猜想。學生根據(jù)學習提示展開活動，把圓分成若干等份，剪開后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，看看能發(fā)現(xiàn)什么（如圖2）。

有的學生把圓平均分成8份，用剪下來的圖形拼成了一個近似的平行四邊形，認為求出了平行四邊形的面積就能求出圓的面積了。還有的學生把圓平均分成了16份、32份或48份，他們拼成的也都是近似的平行四邊形。而且，當把圓平均分成了32份時，拼成的圖形就接近長方形了。接著，教師用投影演示，把圓平均分成64份，128份再拼。這時，學生發(fā)現(xiàn)：當把圓等分的份數(shù)越多，每一份拼成的圖形就會越接近于長方形，當?shù)确值姆輸?shù)達到無限時，即把圓平均分成無數(shù)份時，拼成的圖形就無限接近長方形了。這一過程展示了從有限到無限、從近似到精確的數(shù)學思想，這對于理解圓面積的本質具有重要意義。教師進一步總結：這些作品都是把圓平均分成若干個小扇形進行拼組，無論拼成的是近似的平行四邊形還是近似的長方形，都是將圓轉化為學過的圖形求面積，把沒學過的圖形轉化為已學過的圖形，將曲線圖形轉化為近似的直線圖形，這就是轉化。

轉化是數(shù)學學習中常用的數(shù)學思想方法。教師讓學生找出拼成的圖形和圓之間有什么關系，試著推導出圓的面積計算公式。這種轉化的方法不僅簡化了問題，也促進了學生空間想象能力和創(chuàng)新思維的發(fā)展。

幾何直觀與代數(shù)運算的結合，促使學生通過幾何圖形直觀感知了圓的面積，同時利用代數(shù)表達式進行了精確的計算和推導。到這里，學生已經(jīng)知道了圓的面積計算公式是：S = πr2，并且驗證了之前猜測的圓的面積在2r2和4r2之間是對的，因為π可以取近似值3.14。接下來，教師讓學生就用所學知識來解決之前圓形草坪的面積的問題：圓形草坪的直徑是20米，每平方米草皮8元，鋪滿這個草坪需要多少元？圓的面積S = πr2，所以要求出這個圓形草坪的半徑為20 ÷ 2 = 10米。接著，利用公式得出3.14 × 102 = 314平方米，求出了圓形草坪的面積。最后，得出314 × 8 = 2512（元）。

總之，這些推理方法的運用不僅幫助學生掌握了圓的面積的計算公式，更促進了其推理能力的發(fā)展，為其后續(xù)的數(shù)學學習奠定了堅實的基礎。

參考文獻：

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（責任編輯：楊強）