摘要：在對(duì)單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)整時(shí)，教師要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)。以“平方差公式幾何意義的探索”一課為例，教師可從“深度挖掘?qū)W習(xí)內(nèi)容，厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)起點(diǎn)；精準(zhǔn)定位教學(xué)目標(biāo)，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)終點(diǎn)；整體設(shè)計(jì)教學(xué)過程，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)關(guān)鍵點(diǎn)”三個(gè)方面入手，統(tǒng)整單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：單元整體教學(xué)；平方差公式；幾何意義；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）對(duì)全面推進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地進(jìn)行了重點(diǎn)要求，其中重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)是有效途徑之一?！捌椒讲罟綆缀我饬x的探索”是入選2023年教育部精品課的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課之一，是人教版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)“平方差公式”內(nèi)容的一部分。本課的教學(xué)強(qiáng)調(diào)用幾何手段驗(yàn)證代數(shù)公式，建立數(shù)形聯(lián)系，其中“幾何意義”傾向于將代數(shù)式定義為幾何對(duì)象，利用代數(shù)式的等量關(guān)系構(gòu)建圖形的等量關(guān)系來進(jìn)行驗(yàn)證。在統(tǒng)整和實(shí)踐“平方差公式幾何意義的探索”單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，教師可從“深度挖掘?qū)W習(xí)內(nèi)容，厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)起點(diǎn)；精準(zhǔn)定位教學(xué)目標(biāo)，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)終點(diǎn)；整體設(shè)計(jì)教學(xué)過程，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)關(guān)鍵點(diǎn)”三個(gè)方面入手，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、深度挖掘?qū)W習(xí)內(nèi)容，厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)起點(diǎn)

教師的視野決定了課堂設(shè)計(jì)的深度和廣度。教師需要在新課標(biāo)的指導(dǎo)下深入地研究單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容。教師對(duì)單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容的解析可以從“橫向”與“縱向”兩個(gè)方面進(jìn)行，其中，“橫向”是指與其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián)，“縱向”是指對(duì)學(xué)生以前學(xué)習(xí)內(nèi)容的升華和對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容以及對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)價(jià)值的解析，由此可以確定課堂教學(xué)重點(diǎn)。平方差公式的幾何意義是借助幾何直觀解決公式驗(yàn)證，而“幾何直觀需要借助幾何課程的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，更多的是后天習(xí)得的結(jié)果”，為此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)漫長的過程，其中對(duì)學(xué)生后期學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)是至關(guān)重要的。

平方差公式是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)與式”中的重要內(nèi)容，是整式乘法運(yùn)算的延續(xù)和優(yōu)化。學(xué)生經(jīng)歷大量多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算之后，會(huì)發(fā)現(xiàn)滿足某些結(jié)構(gòu)特征的多項(xiàng)式乘法是可以用平方差公式簡化計(jì)算的。同時(shí)，平方差公式也是后續(xù)因式分解、分式化簡的核心內(nèi)容，更是代數(shù)推理的手段和工具。

在中學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合是建立“數(shù)”與“形”之間聯(lián)系的重要思想方法，平方差公式的幾何意義是學(xué)生繼學(xué)習(xí)絕對(duì)值的幾何意義之后，再一次對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻感悟。由平方差公式到幾何圖形驗(yàn)證公式是從“數(shù)”到“形”的過程，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，突出幾何直觀的核心立意。由幾何圖形輔助得到平方差公式是從“形”到“數(shù)”的過程，具體通過實(shí)物剪裁、拼接，根據(jù)面積恒等式得到平方差公式。

基于以上分析，筆者確定教學(xué)重點(diǎn)為：平方差公式幾何意義的探索過程。

二、精準(zhǔn)定位教學(xué)目標(biāo)，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)終點(diǎn)

新課標(biāo)中的課程目標(biāo)是學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)三年之后最終要達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)；教師參考用書中的目標(biāo)是本章的單元目標(biāo)，而教師根據(jù)每節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容確定的目標(biāo)才是教學(xué)目標(biāo)。新課程改革以來，過程性目標(biāo)逐漸被廣大教師所重視，關(guān)注知識(shí)生成與發(fā)展的過程，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力，讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題已經(jīng)被教師廣泛認(rèn)可。在教學(xué)中，教師可分析學(xué)生知識(shí)和思維的障礙之處，從而確定教學(xué)目標(biāo)。

【教學(xué)目標(biāo)】（1）了解公式的幾何背景；（2）能用幾何方法驗(yàn)證平方差公式。

【目標(biāo)解析】達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：知道通過面積可以驗(yàn)證平方差公式。達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：以絕對(duì)值的幾何意義喚起學(xué)生回憶，讓學(xué)生經(jīng)歷尺規(guī)作圖得到線段和差的過程，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合是研究“數(shù)”與“形”的重要思想方法；經(jīng)歷正方形紙片的剪裁和拼接過程，能用不同的方法驗(yàn)證平方差公式，感悟平方差公式幾何意義的本質(zhì)是借助幾何直觀來深化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解。

【教學(xué)問題診斷分析】學(xué)生在經(jīng)歷從整式乘法到平方差公式的歸納過程后，能識(shí)別公式特征并進(jìn)行合理計(jì)算。但是，對(duì)于平方差公式的幾何意義，學(xué)生想不到的是怎樣從圖形角度驗(yàn)證公式，想不通的是為什么要從圖形角度驗(yàn)證公式，這些歸根到底是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解不夠透徹。如何借助幾何圖形驗(yàn)證平方差公式是學(xué)生思維上的難點(diǎn)，即使有絕對(duì)值的幾何意義作鋪墊，學(xué)生也很難順理成章地想到平方差公式的幾何意義。為此，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：利用科學(xué)合理的幾何方法驗(yàn)證平方差公式。

三、整體設(shè)計(jì)教學(xué)過程，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)關(guān)鍵點(diǎn)

教學(xué)過程是教師與學(xué)生積極合作、共同進(jìn)步的過程，是學(xué)生接受數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、拓展數(shù)學(xué)思維的過程，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的直接載體。精細(xì)的教學(xué)過程要能體現(xiàn)單元整體教學(xué)架構(gòu)，創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學(xué)生思考的問題情境，設(shè)計(jì)真實(shí)可靠的探究活動(dòng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一）整體架構(gòu)，引入幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合思想

【問題1】我們學(xué)過的哪些代數(shù)式是有幾何意義的，你能舉例說明嗎？

【師生活動(dòng)】教師提問，給學(xué)生充分的獨(dú)立思考時(shí)間，學(xué)生在小組內(nèi)交流想法，然后回答。

【追問】[3-2]的幾何意義是什么？[a-1]的幾何意義是什么？

【師生活動(dòng)】 教師提問，學(xué)生思考并回答。

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題1，教師引導(dǎo)學(xué)生建立思維框架，梳理常見的代數(shù)式幾何意義，通過對(duì)絕對(duì)值的幾何意義的再回顧，厘清[a]的幾何意義是“數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”，加深對(duì)幾何意義的理解與思考，初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

【問題2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，a），以O(shè)A和OB為邊在第一象限內(nèi)作正方形OACB，若正方形的面積為3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________。

【師生活動(dòng)】教師出示問題，學(xué)生獨(dú)立回答。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生從問題1中數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離過渡到平面直角坐標(biāo)系中正方形的面積問題，得到代數(shù)式a2的幾何意義：可以看成邊長為a的正方形面積。學(xué)生從中體會(huì)從一維到二維的變化，第二次體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

【問題3】已知線段a，b（如圖2）。請(qǐng)借助直尺和圓規(guī)按要求作圖。（不寫作法，保留作圖痕跡）

（1）作出線段AB，使AB = a + b；

（2）作出矩形ABCD，使矩形ABCD的面積等于a（a + b）。

【師生活動(dòng)】學(xué)生利用直尺和圓規(guī)作圖，教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題，指導(dǎo)學(xué)生作圖。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過尺規(guī)作圖，體會(huì)到代數(shù)式a + b與線段和差的關(guān)系，代數(shù)式 （a + b）2與正方形面積的關(guān)系，第三次滲透數(shù)形結(jié)合思想，建立“數(shù)”與“形”的聯(lián)系。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，探究平方差公式的幾何意義

【問題4】從前有個(gè)狡猾的地主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植。第二年，他對(duì)張老漢說：“我把這塊地的一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)說：“好吧。”回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說：“張老漢，你吃虧了！”張老漢非常吃驚。你知道張老漢是否吃虧了嗎？請(qǐng)你畫出正方形土地變化前后的草圖，通過計(jì)算說明理由。

【師生活動(dòng)】學(xué)生閱讀問題，思考并繪制草圖，通過建立數(shù)學(xué)模型，推理計(jì)算進(jìn)行說明。

【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，又能為說明平方差的幾何意義作好鋪墊。從代數(shù)式的角度思考“是否吃虧”問題（即大小關(guān)系問題），學(xué)生可以從圖形簡拼說明前后面積大小。

【問題5】若將問題4中的“一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米”改為“一邊減少b米，相鄰的另一邊增加b米”。

（1）請(qǐng)你借助手中的邊長分別為a或b的正方形卡片（a > b）（如圖3），通過剪裁、拼接等方式，從代數(shù)推理和幾何意義兩個(gè)角度猜想并求出（a + b）（a - b）的結(jié)果；

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)你用其他方法驗(yàn)證平方差公式（a + b）（a - b） = a2 - b2。

【師生活動(dòng)】學(xué)生先自己畫出驗(yàn)證草圖，再用提前準(zhǔn)備好的卡片，結(jié)合問題4的提示進(jìn)行簡拼，驗(yàn)證公式，教師參與小組活動(dòng)，與學(xué)生交流合作。

【設(shè)計(jì)意圖】題（1）是將問題4中的特殊推廣為一般，借助問題4的幾何圖形架構(gòu)出（a + b）和（a - b）的幾何模型，凸顯幾何直觀；題（2）從公式等號(hào)左、右兩邊思考拼接的方法，一方面，學(xué)生可以通過將（a + b）和（a - b）作為長方形邊長進(jìn)行拼接；另一方面，通過a2 - b2進(jìn)行拼接，學(xué)生可以將邊長為b的正方形放到邊長為a的正方形“一角”或者“內(nèi)部”，再進(jìn)行直接計(jì)算或者簡拼并完成證明。這樣，學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、幾何直觀計(jì)算驗(yàn)證的過程，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度理解公式，再次感悟平方差公式的幾何意義。

【追問】事實(shí)上，我們今天的驗(yàn)證方法受到了給定大小不等的正方形的限制，是否還有其他證明方法呢？請(qǐng)看下面方法。

如圖4，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)， CD⊥AB，垂足為D，若OA = OB = OC = a，OD = b，則AD = a + b，BD = a - b，根據(jù)?ACD ∽ ?CBD，所以CD2 = AD·BD=（a + b）（a - b）。

在Rt?OCD中，∠ODC = 90°，CD2 = OC2 - OD2，所以（a + b）（a - b） = a2 - b2。

【設(shè)計(jì)意圖】平方差公式幾何意義的核心是數(shù)形結(jié)合，而“形”的選擇與組織應(yīng)該是寬泛的。教師可為學(xué)生介紹一種非正方形背景的驗(yàn)證方法，超越教材，開闊學(xué)生思維，讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)是真實(shí)的。

（三）拓展應(yīng)用，借助數(shù)形結(jié)合解決問題

【問題背景】在問題4的背景下，張老漢經(jīng)過測(cè)量，發(fā)現(xiàn)原正方形土地邊長為15米。

【問題解決】如圖5，張老漢準(zhǔn)備在田埂上找一個(gè)位置P，使點(diǎn)P到A，B的距離和最小，求此時(shí)的最短距離。

【問題拓展】根據(jù)以上啟示，已知函數(shù)[y=152+x2+（10-x）2+52]，當(dāng)自變量x為何值時(shí)，函數(shù)y有最小值？

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，小組合作交流討論，通過作圖研究解決問題方案。

【設(shè)計(jì)意圖】在問題4的背景下，教師強(qiáng)化題目條件，將正方形的邊長修改為15，讓學(xué)生確定幾何圖形形狀?！皢栴}解決”中從特殊位置出發(fā)，從“形”到“數(shù)”，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和勾股定理相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行計(jì)算研究，得出結(jié)論；問題拓展從“數(shù)”到“形”，引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)式[152+x2]和[（10-x）2+52]的幾何意義——求設(shè)定為邊長為15和x、邊長為（10 - x）和5的直角三角形的斜邊長，使學(xué)生再次感悟數(shù)形結(jié)合對(duì)解決問題的重要性，理解其本質(zhì)就是借助“問題解決”中的“形”解決問題。

【作業(yè)設(shè)計(jì)】

1.請(qǐng)運(yùn)用幾何方法研究歸納：哪些一元二次方程可以用與上述類似的方法構(gòu)造出符合一個(gè)正根的正方形？（用適當(dāng)?shù)目ㄆM(jìn)行拼接，畫出圖形）

2.開放性作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們課后去搜集數(shù)形結(jié)合的習(xí)題以及從幾何角度驗(yàn)證代數(shù)式的案例，在下一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上進(jìn)行交流。

【設(shè)計(jì)意圖】開放性作業(yè)不僅有利于激發(fā)學(xué)生練習(xí)的興趣，鞏固課堂知識(shí)，還有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合的理解與應(yīng)用。

在初中階段，數(shù)形結(jié)合已經(jīng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決的基本工具，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑之一。事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合具有不可替代性。當(dāng)教師把知識(shí)縱向聯(lián)系之后，單元教學(xué)的架構(gòu)思路就自然而然地體現(xiàn)，按照該思路實(shí)施教學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也能得到提升。

參考文獻(xiàn) ：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］鮑建生，章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之三：幾何直觀［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2022（Z3）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）