【摘要】在高中物理學(xué)習(xí)中，變力做功問題是一個常見的難點(diǎn).本文旨在探討解決變力做功問題的兩種常用方法：微元法和平均值法.并結(jié)合具體例題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生更好地理解和掌握這兩種方法，提高他們解決變力做功問題的能力.

【關(guān)鍵詞】高中物理；變力做功；解題技巧

1 引言

在高中物理學(xué)習(xí)中，變力做功問題是一個常見的難點(diǎn).由于力的大小和方向可能隨著位移的變化而變化，使得變力做功的計(jì)算變得復(fù)雜.為了解決這一問題，可以采用微元法和平均值法.本文將對這兩種方法進(jìn)行詳細(xì)探討，并通過具體例題進(jìn)行講解.

2 微元法求解變力做功

微元法在處理變力做功問題時，其核心思想是將整個位移區(qū)間分成無數(shù)微小的小段，每一小段內(nèi)力的大小和方向近似不變，從而可以將其視為恒力.對于每一微小位移，力可以認(rèn)為是恒定的，因此在該微小位移上做的功為力的值乘以位移的大小.接下來，對整個位移區(qū)間進(jìn)行積分，將所有微小段上的功加起來，即可得到整個過程中變力做的總功.這種方法特別適用于力隨位移連續(xù)變化的情況，如彈簧力、引力等，能夠?qū)?fù)雜的變力做功問題轉(zhuǎn)化為簡單的積分問題，從而有效求解.

例1 如圖1所示，質(zhì)量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運(yùn)動，已知小車與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為μ，試求小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，克服摩擦力做的功.

思路分析 小車沿豎直圓軌道從最低點(diǎn)勻速率運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程，由于軌道的支持力是變力，所以所受的摩擦力也是變力，不能根據(jù)功的公式求克服摩擦力做功，可用微元法求解.

解法探究 如圖2所示，將小車運(yùn)動的半個圓周均勻細(xì)分成nn→∞等分，在每段長πRn的圓弧上運(yùn)動時，可認(rèn)為軌道當(dāng)小車運(yùn)動到如圖2所示的A處圓弧時，有：FNiA－mgsinθ=mv2R，

則FfiA=μmv2R+mgsinθ，

WiA=μmv2R+mgsinθ·πRn.

當(dāng)小車運(yùn)動到如圖2所示的與A關(guān)于x軸對稱的B處圓弧時，有FNiB+mgsinθ=mv2R，則FfiB=μmv2R－mgsinθ，WiB=μmv2R－mgsinθ·πRn.由此，小車在以水平直徑對稱的兩段軌道上克服摩擦力做功之和為：W1=2μmv2R·πRn；于是可知，小車沿半圓周從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，克服摩擦力做的總功為：W總=n2·2πμmv2n=πμmv2.

解決本題的關(guān)鍵要運(yùn)用微元法求變力做功，要知道摩擦力是變力，不能直接根據(jù)功的公式計(jì)算其做功.

3 平均值法求解變力做功

平均力法不同于微元法.微元法是將整個位移區(qū)間分成無限多個無限小的微元，然后在每個微元內(nèi)將變力視為恒力，而平均力法則是在整個位移區(qū)間內(nèi)取一個平均力來計(jì)算總功，不需要將位移區(qū)間分成微元.平均力法在處理變力做功問題時，其核心思想是將整個過程中變力的大小和方向的變化近似地視為一種均勻變化.具體來說，當(dāng)力隨位移的變化呈現(xiàn)出某種規(guī)律時，則可以假設(shè)在整個位移區(qū)間內(nèi)，力的大小和方向是均勻變化的.然后，利用這個平均力與整個位移區(qū)間的乘積來計(jì)算變力所做的功.由于假設(shè)了力是均勻變化的，因此這個平均力能夠較好地反映整個過程中力的大小和方向的變化情況.需要注意的是，平均力法是一種近似方法，它只適用于力隨位移均勻變化或變化不劇烈的情況.如果力的變化非常劇烈或沒有規(guī)律，那么使用平均力法計(jì)算的結(jié)果可能會有較大的誤差.

例2 如圖3所示，有一根長為L，質(zhì)量為M的均勻鏈條靜止在光滑水平桌面上，其長度的15懸于桌邊外，如果在鏈條的A端施加一個拉力使懸著的部分以0.1g（g為重力加速度）的加速度拉回桌面.設(shè)拉動過程中鏈條與桌邊始終保持接觸，則拉力最少需做功（ ）

（A）MLg50. （B）MLg10.

（C）MLg250. （D）MLg25.

思路分析 假設(shè)鏈條懸著的部分被拉回x時，拉力為F，根據(jù)牛頓第二定律求出F與x的關(guān)系，可知F與x是線性關(guān)系，再求F的平均值，由F的平均值與位移的乘積求F做的功.

解法探究 設(shè)鏈條懸著的部分被拉回x時，拉力為F，對整個鏈條，根據(jù)牛頓第二定律得：F－15L－xLMg=M·0.1g，可得F=0.3Mg－xLMg.

則剛開始拉鏈條時，x=0，F(xiàn)1=0.3Mg，鏈條全部拉回桌面的瞬間，x=15L，代入F=0.3Mg－xLMg得F2=0.1Mg，所以F的平均值為F=F1+F22=0.2Mg，拉力最少需做功W=FL5=MgL25，故選（D）.

本題中拉力是變力，必須根據(jù)拉力的平均值求拉力做功，根據(jù)牛頓第二定律得到拉力與位移的關(guān)系是關(guān)鍵.

4 結(jié)語

本文通過對微元法和平均值法的原理、適用條件、解題步驟進(jìn)行詳細(xì)分析，并結(jié)合具體例題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生更好地理解和掌握這兩種方法，提高解決變力做功問題的能力.在實(shí)際解題過程中，學(xué)生應(yīng)根據(jù)具體情況選擇合適的方法，以達(dá)到簡化計(jì)算、提高解題準(zhǔn)確率的目的.

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