摘要：通過借助單位圓作出幾何解釋、引導學生利用整體換元思想以及充分發(fā)揮幾何直觀方法的價值，提出了一些教學思路.此外，還提出了三個具體的教學策略，即重視相關公式的記憶、加強熱點題型的訓練、重視多媒體教學工具.

關鍵詞：數(shù)學抽象；三角函數(shù)；同角關系；教學策略

高中數(shù)學作為基礎學科，其核心素養(yǎng)的培養(yǎng)一直是教育工作者關注的重點.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出了數(shù)學抽象作為核心素養(yǎng)之一，幫助學生在不同情境下，準確理解和應用抽象數(shù)學概念和規(guī)則，概括和推廣一般數(shù)學規(guī)律，提高抽象數(shù)學思維和創(chuàng)造力.在數(shù)學教學中，三角函數(shù)是一個重要的知識點，也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的重要內容之一.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》將三角函數(shù)知識放在了函數(shù)主線之中，更加突出了其函數(shù)屬性.由于同角三角函數(shù)的抽象性和復雜性，許多學生在學習時遇到了困難，導致學習效果不佳.因此，本文中旨在探究如何通過有效的教學策略，加強學生對三角函數(shù)同角關系的理解和掌握，并滲透數(shù)學抽象能力的培養(yǎng).

1 滲透數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學思路

1.1 利用單位圓進行幾何解釋

數(shù)學抽象能力是指學生能夠將具體的事物、現(xiàn)象和問題抽象為數(shù)學對象，并運用數(shù)學語言和符號進行描述、分析和解決問題的能力.在三角函數(shù)的定義中，角度的度量方式有弧度制和角度制兩種，而單位圓則是將角度與弧度制聯(lián)系起來的重要工具.在單位圓上，每個點對應一個角，點的橫縱坐標即為三角函數(shù)值，因此在滲透數(shù)學抽象能力的三角函數(shù)同角關系教學中，借助單位圓作出幾何解釋可以幫助學生更好地理解三角函數(shù)同角關系，同時借助單位圓還能夠引導學生通過可視化的方式去思考和解決問題，提高他們的數(shù)學抽象能力.

根據(jù)新課標的要求，在三角函數(shù)同角關系的教學中，應該創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內容的本質，激發(fā)學生的求知欲與學習興趣，進一步揭示數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、運用、反思的全過程，最終實現(xiàn)對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

因此，在教學中，可以先引入單位圓的概念和性質，再結合三角函數(shù)的定義和性質，引導學生通過觀察單位圓上的點在坐標系中的運動軌跡，理解正弦、余弦和正切函數(shù)的定義和性質，進而掌握三角函數(shù)的同角關系.

1.2 引導學生利用整體換元思想

整體換元思想是指通過將一些基礎的三角e38a+ASAcJVxVjBkoE3Kah8PBUTJvIuusGY3JWbKOHU=函數(shù)同角關系公式進行簡單的代數(shù)變換，從而得到新的三角函數(shù)同角關系公式.這種思想在三角函數(shù)同角關系的學習中具有十分重要的作用.利用整體換元思想，學生只需要掌握一部分基礎公式，就能夠推導出所有的誘導公式.這對于提高學生的學習效率和抽象思維能力非常有幫助.同時.整體換元思想的應用也有助于學生理解三角函數(shù)同角關系公式之間的邏輯關系.在教學中，引導學生利用整體換元思想，可以采用實例演練的方式.教師可以先給出一個基礎公式，然后通過代數(shù)變換的方式引導學生推導出其他相關的誘導公式［1］.這種方式能夠幫助學生更好地理解三角函數(shù)同角關系的本質，并且加強他們的抽象思維能力.除此之外，教師還可以設計一些綜合性的應用題，讓學生利用整體換元思想解決實際問題，從而更好地理解和掌握三角函數(shù)同角關系的知識.通過這種方式，學生不僅能夠在應用中理解和掌握知識，同時還能夠提高數(shù)學建模能力.

1.3 充分發(fā)揮幾何直觀方法價值

幾何直觀方法可以讓學生更加深入地理解三角函數(shù)同角關系的本質，提高其數(shù)學抽象能力.具體來說，可以通過圖象的展示和解釋，促使學生形象化地理解三角函數(shù)同角關系中的各個概念和公式，從而激發(fā)學生的數(shù)學興趣和創(chuàng)造力.通過引導學生繪制三角形和單位圓，促使學生直觀感受三角函數(shù)同角關系的幾何本質.比如，在三角形中，可以引導學生觀察正弦、余弦和正切函數(shù)的定義及其性質，讓學生通過觀察圖象，感受不同角度下三角函數(shù)的變化規(guī)律.在單位圓中，可以引導學生理解三角函數(shù)同角關系的基本概念，如弧度、正弦、余弦、正切等，讓學生通過觀察圖象，感受三角函數(shù)的圖象變化規(guī)律，以及三角函數(shù)之間的關系.

2 滲透數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學策略

2.1 重視相關公式的記憶

同角關系中的誘導公式是一個更為復雜的公式類別，其主要功能在于揭示不同角度的三角函數(shù)值間的關系.深入理解和熟練掌握這些公式，對學生運用同角三角函數(shù)關系解決實際問題非常重要.

在教學過程中，采用多模態(tài)記憶策略，如口頭朗讀、書寫以及反復復習等方式，幫助學生牢固記憶誘導公式.在學生對同角三角函數(shù)基本關系式理解的基礎上，進一步通過生動的實例演示和幾何解釋，促進他們對這些公式的深刻理解.

對此，利用基本的幾何原理，如三角形的內角和為180°，通過繪制直觀的圖形，清晰地展示由正弦、余弦的定義如何推導出正切.這種方式可以幫助學生直觀地理解同角三角函數(shù)之間的聯(lián)系，深化他們對公式的理解.

當學生掌握正弦、余弦誘導公式后，進一步通過實例演示和幾何解釋，促使他們更深入地理解這些公式以及其在實際問題解決中的應用.詳細地展示如何根據(jù)正弦和余弦的誘導公式推導出正切的誘導公式，并引導他們理解誘導公式在實際問題解決中的應用.這樣不僅加深了學生對誘導公式的理解，也提高了他們靈活應用公式解決實際問題的能力.

2.2 加強熱點題型的訓練

通過針對關鍵問題的特定訓練，學生可以提升解題技能、創(chuàng)新思考和廣泛的應用能力，從而更全面地理解和掌握同角關系的相關知識，并靈活地將這些知識應用于實際問題中.這種訓練方法適用于教育實踐，目的在于引入持續(xù)練習的原則，以逐漸提高學生的問題解決能力和抽象思維能力.

在實際教學環(huán)境中，將重要問題的訓練集成到教學過程中，構建一系列的練習題，引導學生進行現(xiàn)實操作.通過這種實踐方式，學生能夠利用已學的知識解決實際問題，進一步加強對同角關系的理解和應用.通過以學生為中心的實踐方法，可以發(fā)展他們解決問題的能力和策略.

在學生完成一系列的練習后，進行總結和歸納.引導學生深入思考各種解題策略和方法的利弊，并協(xié)助他們總結出有效的問題解決策略.這樣的總結過程有助于促進學生的抽象思維和分析能力的發(fā)展，加深他們對同角關系知識點的理解，同時，這也有助于他們靈活地將所學知識應用于其他相關問題的解決［2］.

例如，（1）在解決有關三角形問題時，需要注意觀察題目中是否存在等式關系，以及是否存在邊和角的齊次關系.通過觀察，將邊和角的關系互化，可以有效化簡和解決問題.如“a=b”可轉化為“sin A=sin B”等（也可角化邊），a2=2b不可轉化為“sin 2A=2sin B”.

（2）當題目中出現(xiàn)同角正余弦之積或半角二倍角公式化簡，出現(xiàn)sin Acos C+sin Ccos A時，可以合并為sin（A+C）.

（3）在解決邊之比與角之比可以互化，出現(xiàn)平方項或兩邊乘積時，一般用余弦定理來代換或求解.

（4）當?shù)仁街谐霈F(xiàn)同角的正余弦且求其中一個值時，考慮利用同角三角函數(shù)平方關系式，通過解方程的方法解出.

對歷屆高考試題的類型和難易度進行細致梳理，并針對這些重點設計相關訓練題目，有助于學生更深入地理解高考試題的命題模式和解題策略.將歷年高考題目按照題型進行分類，并深入剖析各類型題目的解題思路和方法，可有效幫助學生深化對解題策略的理解和應用，從而提高其問題解決能力.

如，將解三角形之求三角函數(shù)值的范圍問題歸納成一個專題，如圖1所示.

專題解三角形之求三角函數(shù)值的范圍

【解題策略】面積、范圍問題的兩個解題技巧：①建立邊、角之間的等量關系與不等關系，可以通過均值不等式、三角函數(shù)有界性求出；②全部轉化為角的關系，建立函數(shù)關系式，從而求出范圍.

【小試牛刀】

1.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2（acos C+ccos A）cos C+b=0.

（1）求角C的大小;

（2）求sin2A+sin2B的取值范圍.

2.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin Bsin C=sin2B+sin2C-sin2A.

（1）求角A;

（2）求cos B+cos C的最大值.

3.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos B=-12.

（1）若a=2，b=23，求△ABC的面積；

（2）求sin A＼5sin C的取值范圍.

【真題演練】

1.（2022年全國Ⅰ卷）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

2.（2019全國Ⅲ卷）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA+C2=b sin A.

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

3.（2013新課標Ⅱ）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcos C+csin B.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面積的最大值

圖1

2.3 重視多媒體教學工具

為幫助學生更好地理解和掌握同角關系的知識點，教師在教學中可以借助單位圓作出幾何解釋、引導學生利用整體換元思想和充分發(fā)揮幾何直觀方法價值等滲透數(shù)學抽象素養(yǎng).通過對教學思路的闡述，本文中提出了幾種教學策略，即重視相關公式的記憶、加強熱點題型的訓練和重視多媒體教學工具，這些策略在教學實踐中具有一定的可行性和有效性，可以幫助學生更好地掌握三角函數(shù)同角關系的知識點，并能夠將所學的知識靈活應用于實際問題中.

參考文獻：

[1]張長貴.基于TPACK理論的“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”的教學與思考[J].數(shù)學通報，2022，61（4）：31-36.

[2]葉立軍，戚方柔.指向學科核心素養(yǎng)的大概念教學機理及教學策略[J].教學與管理，2021（6）：91-93.