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消元處理,整體代換,巧妙構(gòu)建:雙變量問(wèn)題的破解技巧

2024-11-11 00:00吳莉莉

摘要:涉及“雙變量”或“雙參”的綜合應(yīng)用問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)壓軸題中一類(lèi)基本應(yīng)用類(lèi)型,合理總結(jié)與歸納破解此類(lèi)問(wèn)題的技巧方法與解題思路是關(guān)鍵所在.結(jié)合實(shí)例,就破解此類(lèi)問(wèn)題的消元處理、整體代換、巧妙構(gòu)建三種常用技巧方法加以剖析,助力師生的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)以及解題研究.

關(guān)鍵詞:雙變量;消元;整體;同構(gòu);函數(shù);不等式

近年的高考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常涉及“雙變量”或“雙參”的相關(guān)問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題主要涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等模塊知識(shí),能力要求高,綜合性強(qiáng),難度較大,往往是一些壓軸題的重要場(chǎng)景,倍受各方關(guān)注.

此類(lèi)問(wèn)題中,對(duì)于在某個(gè)取值范圍內(nèi)可以任意變動(dòng)的“雙變量”或“雙參”,由于兩個(gè)變量都在“變”,往往導(dǎo)致無(wú)法展開(kāi)思路,造成無(wú)從下手,是師生在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程中感到比較困惑的難點(diǎn)之一.

破解此類(lèi)雙變量問(wèn)題的技巧方法比較常見(jiàn)的有消元處理、整體代換、巧妙構(gòu)建等,這些都是解決此類(lèi)問(wèn)題中比較常用的思維方式與解題技巧.本文中結(jié)合實(shí)例,就破解此類(lèi)雙變量問(wèn)題的技巧方法與解題思路加以剖析,旨在拋磚引玉.

1 變更主元,消元處理

根據(jù)題設(shè)條件中的“雙變量”或“雙參”,因地制宜,直接選取其中一個(gè)變量作為“主元”(另一個(gè)變量自動(dòng)為輔元),結(jié)合消元處理轉(zhuǎn)化為涉及該“主元”的關(guān)系式,變更一元思路,將另一個(gè)變量作為自變量加以合理轉(zhuǎn)化,從而巧妙將雙變量問(wèn)題消元處理轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題,再結(jié)合相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與處理.

例1〔2023屆江蘇省鹽城市第一中學(xué)高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試題·16〕已知函數(shù)f(x)=2ln(ax+b)(a,b∈R),若直線y=x與曲線y=f(x)相切,則ab的最大值為.

分析:根據(jù)題設(shè)條件,通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式,利用關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行消元處理,進(jìn)而采用變更參數(shù)思維,以參數(shù)a為“主元”構(gòu)建所求代數(shù)式的單變量表達(dá)式,結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,利用切線不等式加以合理放縮,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值.

解:設(shè)直線y=x與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)P(x0,2ln(ax0+b)).

因?yàn)閒′(x)=2aax+b,則結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f′(x0)=2aax0+b=1,所以ax0+b=2a(a>0).

又點(diǎn)P在切線y=x上,所以2ln(ax0+b)=x0.

所以x0=2ln(ax0+b)=2ln 2a,則b=2a-ax0=2a-2aln 2a.

于是,有ab=2a2-2a2ln 2a(a>0).

結(jié)合切線不等式“l(fā)n x≤xe,當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)等號(hào)成立”,可得

ab=2a2-2a2ln 2a=2a2(1-ln 2a)=a2·lne2a2≤a2·e2a2·1e=e4,當(dāng)且僅當(dāng)e2a2=e,即a=e2時(shí)等號(hào)成立,

則ab的最大值為e4.

故填答案:e4.

點(diǎn)評(píng):涉及“雙變量”或“雙參”的相關(guān)問(wèn)題,利用相關(guān)的知識(shí)加以消元處理,在消元并轉(zhuǎn)化為同一“主元”問(wèn)題時(shí),利用單變量表達(dá)式的恒等變形與對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)特征,或利用一些重要的不等式(基本不等式、柯西不等式、切線不等式等)進(jìn)行必要的放縮變形,或利用函數(shù)的構(gòu)建來(lái)應(yīng)用,這些都是確定代數(shù)式最值問(wèn)題中比較常用的技巧方法.

2 變量歸一,整體代換

由已知題設(shè)條件入手,尋找題設(shè)中對(duì)應(yīng)的“雙變量”滿足的關(guān)系式,借助“雙變量”之間的和(或差)式、積(或商)式以及線性關(guān)系式等代數(shù)式進(jìn)行整體思維與變量代換,從而引入第三個(gè)參數(shù),把含“雙變量”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含單變量的問(wèn)題,再結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等及其相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與處理.

例2〔2022年安徽省安慶市高三模擬考試(二模)〕若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y使得x(2+ln x)=xln y-ay恒成立,則a的取值范圍為().

A.0,1e2

B.-∞,1e2

C.0,1e3

D.-∞,1e3

分析:根據(jù)題設(shè)條件,對(duì)恒成立的等式加以變形與等價(jià)轉(zhuǎn)化,巧妙分離參數(shù),進(jìn)而確定所求參數(shù)中的雙變量表達(dá)式;通過(guò)整體思維,結(jié)合比值進(jìn)行巧妙換元處理,從而借助構(gòu)建一個(gè)新函數(shù),結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值等的應(yīng)用來(lái)確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.

解:依題意,原等式可變形為2+ln x=ln y-ayx

,即ln yx-2=ayx,亦即a=ln yx-2yx.

令yx=t(t>0),構(gòu)建函數(shù)f(t)=ln t-2t,求導(dǎo)可得f′(t)=3-ln tt2.

令f′(t)=0,解得t=e3.

當(dāng)t∈(0,e3)時(shí),f′(t)>0,函數(shù)f(t)在區(qū)間(0,e3)上單調(diào)遞增;當(dāng)t∈(e3,+∞)時(shí),f′(t)<0,函數(shù)f(t)在區(qū)間(e3,+∞)上單調(diào)遞減.

所以f(t)max=f(e3)=1e3,且當(dāng)t→0時(shí),f(t)→-∞,所以a≤1e3.

故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng):解決涉及雙變量的問(wèn)題時(shí),經(jīng)常借助雙變量之間的代數(shù)關(guān)系式(和、差、積、商等)來(lái)整體換元,從而為構(gòu)建一個(gè)新函數(shù)及其相關(guān)的應(yīng)用提供條件,把對(duì)應(yīng)的多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)處理.在整體代換前,經(jīng)常要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,構(gòu)建雙變量所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式,通過(guò)分析雙變量的結(jié)構(gòu)特征,利用變量歸一思想進(jìn)行整體化思維[1].

3 變形同構(gòu),巧妙構(gòu)建

借助題設(shè)條件中的關(guān)系式或不等式等加以等價(jià)變形,尋找對(duì)應(yīng)等式或不等式兩邊的關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,尋覓同型,合理同構(gòu),巧妙構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù),吻合數(shù)學(xué)的一致性原則,進(jìn)而借用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,判斷新函數(shù)的單調(diào)性,從而求其極值或最值,結(jié)合題目加以合理分析與處理.

例3(2022年江西省新八校高考數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ln x+x2-3x,對(duì)于任意x1,x2∈[1,10],當(dāng)x1<x2時(shí),不等式f(x1)-f(x2)>m(x1-x2)x1x2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析:根據(jù)題設(shè)中恒成立的不等式進(jìn)行同參數(shù)組合的等價(jià)變形,借助同構(gòu)函數(shù),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性來(lái)逆向確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值問(wèn)題,合理分離參數(shù),進(jìn)一步構(gòu)建函數(shù),借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)確定相應(yīng)的最值,得以求解參數(shù)的取值范圍.

解:依題意,將不等式f(x1)-f(x2)>m(x1-x2)x1x2等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x1)-f(x2)>mx2-mx1.繼續(xù)變形,可得f(x1)+mx1>f(x2)+mx2.①

根據(jù)以上變形不等式,同構(gòu)函數(shù)g(x)=f(x)+mx=ln x+x2-3x+mx,x∈[1,10].

那么不等式①可化為g(x1)>g(x2),

則知對(duì)于任意x1,x2∈[1,10],當(dāng)x1<x2時(shí),不等式g(x1)>g(x2)恒成立.

所以函數(shù)g(x)=ln x+x2-3x+mx在區(qū)間[1,10]上單調(diào)遞減.

由于g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=1x+2x-3-mx2=2x3-3x2+x-mx2,則知2x3-3x2+x-m≤0在[1,10]上恒成立.

所以m≥2x3-3x2+x在[1,10]上恒成立.

令函數(shù)h(x)=2x3-3x2+x,x∈[1,10],

求導(dǎo)可得h′(x)=6x2-6x+1=6x-122-12≥1>0.

所以函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,10]上單調(diào)遞增.

所以h(x)max=h(10)=1 710,即m≥1 710.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1 710,+∞).

點(diǎn)評(píng):破解含“雙變量”或“雙參”的不等式的恒成立或證明問(wèn)題,經(jīng)常要對(duì)相應(yīng)的不等式加以合理的變形與轉(zhuǎn)化,為進(jìn)一步同構(gòu)函數(shù)提供條件,由同構(gòu)轉(zhuǎn)化為含單參的不等式,為巧妙構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)來(lái)回歸函數(shù)問(wèn)題指明方向,從而把所求的極值或最值應(yīng)用到雙參不等式中去,得到要解決的結(jié)論[2].

涉及“雙變量”或“雙參”的綜合問(wèn)題,是近年高考數(shù)學(xué)試卷中的熱門(mén)與難點(diǎn)問(wèn)題之一,形式多樣,變化多端,同時(shí)交匯融合的知識(shí)點(diǎn)比較多,對(duì)數(shù)學(xué)思維與思想方法的要求比較高,具有較好的選拔性與區(qū)分度.借此綜合問(wèn)題,可以很好地發(fā)展學(xué)生思維的發(fā)散性與開(kāi)拓性,養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn):

[1]韓文美.突出四個(gè)“基本點(diǎn)”,強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二數(shù)學(xué)),2023(6):22-24,26.

[2]范應(yīng)彬.同構(gòu)思想指導(dǎo)下對(duì)一道數(shù)列題目的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2024(15):70-71.