摘要：基于《中國高考評價(jià)體系》提出的綜合性的要求，文章從福建省部分地市2023屆第一次質(zhì)檢第8題談起，探析解析幾何中幾類圓錐曲線與圓交匯的問題，分析求解策略.

關(guān)鍵詞：知識(shí)交匯；圓；求解策略

研究近幾年高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)在解析幾何的考查中，圓一般出現(xiàn)在選擇題或填空題中，經(jīng)常通過與其他圓錐曲線交匯的形式進(jìn)行考查.2023屆福建省質(zhì)檢第8題即為雙曲線與圓交匯的問題，體現(xiàn)了綜合性與創(chuàng)新性，是高三復(fù)習(xí)備考很好的素材.本文中從該題談起，探析解析幾何中幾類圓錐曲線與圓交匯問題的求解策略.

1 題目呈現(xiàn)

例雙曲線C：y23－x2=1的下焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若過A，B和點(diǎn)M（0，7）的圓的圓心在x軸上，則直線l的斜率為（）.

A.±102

B.±2

C.±1

D.±32

本題主要考查圓與雙曲線的方程、直線與圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

由于本題涉及圓與雙曲線的交匯問題，學(xué)生較難通過分析圖形特征找到解決問題的切入點(diǎn)；或是未能找到解決問題的較好途徑，面對較大的運(yùn)算量而無從下手.

2 解法探究

上述題目有如下幾種解法.

解法1：因?yàn)檫^點(diǎn)A，B，M的圓的圓心在x軸上，所以設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+F=0.又因?yàn)閳A過點(diǎn)M（0，7），所以F=－7.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

易知x21+y21+Dx1－7=0.又y21=3+3x21，所以4x21+Dx1－4=0.

同理4x22+Dx2－4=0.

所以x1，x2為方程4x2+Dx－4=0的兩根，則x1x2=－1.

顯然F（0，－2），設(shè)直線l的斜率為k，故可設(shè)l的方程為y=kx－2，代入y2=3+3x2得

（k2－3）x2－4kx+1=0.

于是x1x2=1k2－3.

所以1k2－3=－1，解得k=±2.

故選：B.

評注：分析圓的特征，設(shè)圓的一般方程x2+y2+Dx－7=0，以A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)既在圓上又在雙曲線上這一特征尋找解題突破口.先利用圓的性質(zhì)，得x1x2=－1，再根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系得到x1x2=1k2－3，從而求得直線l的斜率.

解法2：設(shè)過三點(diǎn)A，B，M的圓的圓心為（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

依題意有（m－x1）2+y21=m2+7，又y21=3+3x21，所以

2x21－mx1－2=0.①

同理，

2x22－mx2－2=0.②

①-②，得

2（x1+x2）（x1－x2）－m（x1－x2）=0.

顯然x1－x2≠0，所以2（x1+x2）=m.

①+②，得

2（x21+x22）－m（x1+x2）－4=0.

③

把m=2（x1+x2）代入③式，得x1x2=－1.

下同解法1.

評注：本解法類似解法1，分析圓的特征，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程突破，得到A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，即x1x2=－1，后面的思路同解法1.

解法3：因?yàn)檫^點(diǎn)A，B，M的圓的圓心在x軸上，所以M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)N（0，－7）也在該圓上.

由F（0，－2）及相交弦定理，得

|FA|·|FB|=|FM|·|FN|=（7+2）（7－2）=3.

設(shè)A（x1，y2），B（x2，y2），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx－2，代入y2=3+3x2得

（k2－3）x2－4kx+1=0.

于是x1x2=1k2－3.

依題顯然x1x2<0，所以|x1x2|=13－k2.

所以可得|FA|·|FB|=（1+k2|x1|）·（1+k2|x2|）=（1+k2）|x1x2|=1+k23－k2=3.

解得k=±2.

故選：B.

評注：根據(jù)圓的對稱性，得N（0，－7）也在該圓上，進(jìn)而利用相交弦定理得到兩條焦半徑的乘積，即|FA|·|FB|=3，又根據(jù)弦長公式把|FA|·|FB|用直線l的斜率來表示，從而求得斜率的值.

3 變式拓展

3.1 橢圓與圓交匯

題1已知A，B分別為橢圓C：x24+y2=1的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB與直線x=3交于M，N兩點(diǎn)，△PMN與△PAB的外接圓的周長分別為L1，L2，則L1L2的最小值為（）.

A.54

B.34

C.24

D.14

解：由已知，得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)P（x，y），則kPA=y－0x+2，kPB=y－0x－2.

所以kPA·kPB=y－0x+2·y－0x－2=y2（x+2）（x－2）=y2x2－4=1－x24x2－4=－14.

設(shè)直線PA方程為y=k（x+2），則直線PB方程為y=－14k（x－2），根據(jù)對稱性設(shè)k>0.

令x=3，得yM=5k，yN=－14k，則M（3，5k），N3，－14k.

所以MN=5k+14k.

設(shè)△PMN與△PAB的外接圓的半徑分別為r1，r2，則

2r1=MNsin ∠MPN，2r2=ABsin ∠APB.

易得sin ∠MPN=sin ∠APB，則L1L2=2πr12πr2=r1r2=MNAB=5k+14k4≥25k·14k4=54，

當(dāng)且僅當(dāng)5k=14k，即k=510時(shí)，等號(hào)成立.

所以L1L2的最小值為54.

故選：A.

3.2 雙曲線與圓交匯

題2如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線與圓x2+y2=a2+b2在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線上，且F1P=12F2Q，則雙曲線的離心率為（）.

A.102

B.2

C.3

D.173

答案：D.

3.3 拋物線與圓交匯

題3已知點(diǎn)M（0，4），點(diǎn)P在拋物線x2=8y上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓x2+（y－2）2=1上運(yùn)動(dòng)，則PM2PQ的最小值為（）.

A.2

B.83

C.4

D.163

答案：C.

《中國高考評價(jià)體系》明確指出“四翼”的高考考查要求，即分別從基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的角度對素質(zhì)教育的目標(biāo)進(jìn)行評價(jià).其中，綜合性要求對不同層面的知識(shí)、能力、素養(yǎng)能夠縱向融會(huì)貫通[1].涉及幾個(gè)知識(shí)交匯的綜合問題，往往需要充分結(jié)合幾個(gè)模塊的知識(shí)，厘清知識(shí)的“結(jié)合處”，往往是解決這類問題的突破口，如在以上例題中從圓與雙曲線的交點(diǎn)處尋求解題突破口.教師在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)備考可適時(shí)引導(dǎo)、歸納.

參考文獻(xiàn)：

［1］教育部考試中心.中國高考評價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2019.