存在約束關(guān)系的二元變量最值的題，是一種常見的題型，一般情況下都可以用公式法、消元法、導(dǎo)數(shù)法等求其最值.但是對(duì)有約束條件但不易分離變量的二元變量最值問題上述幾種方法都不適用，需要我們另辟蹊徑，本文中以一道這樣的題目為例，賞析它的幾種不同的解法，體會(huì)這種題型存在的解題規(guī)律.

例（江蘇省“百校大聯(lián)考”高三年級(jí)第一次考試）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy（x－y）=4，則x+y的最小值為.

思路一：采用換元法.

換元法是一種常用方法，利用換元法可以實(shí)現(xiàn)化難為易的目的.本題可以根據(jù)題設(shè)條件及目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用以下幾種不同的換元方法.

方法一：整體換元.

解法1：因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，xy（x－y）=4>0，所以x－y>0.設(shè)x－y=a（a＞0），x+y=b（b＞0），則x=a+b2，y=b－a2，所以a+b2·b－a2·a=4，

即a（b2－a2）=16，所以b2=16a+a2.

設(shè)f（a）=16a+a2（a>0），則f′（a）=－16a2+2a

=2（a－2）（a2+2a+4）a2.令f′（a）=0，則a=2.

當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，f′（a）<0，函數(shù)f（a）在（0，2）上單調(diào)遞減；當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，f′（a）>0，函數(shù)f（a）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增.

所以f（a）min=f（2）=12，即（b2）min=12.

又b＞0，所以bmin=23.

故x+y的最小值為23.

點(diǎn)評(píng)：已知條件xy（x－y）=4中變量x，y不易分離，注意到x－y與x+y都是二元一次多項(xiàng)式，因此對(duì)其進(jìn)行整體換元，引進(jìn)新變量，用新變量表示變量x，y，將已知條件轉(zhuǎn)化為新變量后可以實(shí)現(xiàn)變量的分離，從而將求x+y的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.

方法二：均值換元.

解法2：設(shè)x=a+t，y=a－t，則x－y=2t，x+y=2a.因?yàn)閤y（x－y）=4，所以（a+t）·（a－t）·2t=4，即t（a2－t2）=2.又由題意得a>t>0，所以a2=2t+t2

=1t+1t+t2≥331t·1t·t2=3，當(dāng)且僅當(dāng)1t=t2，即t=1時(shí)，取等號(hào)，所以a的最小值為3.故x+y的最小值為23.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于題中出現(xiàn)項(xiàng)x+y，x－y，xy時(shí)可以考慮對(duì)變量x，y進(jìn)行均值換元，引進(jìn)新變量a，t，其中a為變量x，y的均值，將已知條件轉(zhuǎn)化為用新變量表示后，可以實(shí)現(xiàn)變量a，t的分離，從而將求x+y的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.

方法三：比值換元.

解法3：由題意知x>y>0，設(shè)yx=k，則y=kx（0<k<1）.因?yàn)閤y（x－y）=4，則有x·kx·（x－kx）=4，即k（1－k）x3=4，所以x3=4k（1－k），因此（x+y）3=（x+kx）3

=（1+k）3x3=4（1+k）3k（1－k）.

設(shè)f（k）=4（1+k）3k（1－k）（0<k<1），則

f′（k）=－4（k+1）2（k2－4k+1）k2（1－k）2.

令f′（k）=0，得k=2－3.

當(dāng)k∈（0，2－3）時(shí)，f′（k）<0，函數(shù)f（k）在區(qū)間（0，2－3）上單調(diào)遞減；當(dāng)k∈（2－3，1）時(shí)，f′（k）>0，函數(shù)f（k）在區(qū)間（2－3，1）上單調(diào)遞增.

所以f（k）min=f（2－3）=243=（23）3.

故x+y的最小值為23.

點(diǎn)評(píng)：比值換元這種方法比較常用，利用比值代換，引進(jìn)新變量，將已知條件與待求結(jié)論轉(zhuǎn)化為用新變量表示后，實(shí)現(xiàn)了二元變量同一元變量的轉(zhuǎn)化，從而將求x+y的最小值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.

方法四：三角換元.

解法4：由題意可知x－y>0，又（x－y）2+（2xy）2=（x+y）2，以線段x－y，2xy，x+y為邊長，能夠構(gòu)成一個(gè)直角三角形，所以可以假設(shè)x－y=（x+y）sin θ，2xy=（x+y）cos θ，其中θ∈0，π2.

由xy（x－y）=4，得

（x+y）cos θ22·（x+y）sin θ=4.

所以（x+y）3=16sin θcos 2θ.設(shè)f（θ）=sin θcos 2θ0<θ<π2，即f（θ）=sin θ（1－sin 2θ），則有f′（θ）=cos θ（1－3sin 2θ）.令f′（θ）=0，得sin θ=33.

設(shè)sin θ0=330<θ0<π2，則當(dāng)θ∈（0，θ0）時(shí)，f′（θ）>0，函數(shù)f（θ）在區(qū)間（0，θ0）上單調(diào)遞增；當(dāng)θ∈θ0，π2時(shí)，f′（θ）<0，函數(shù)f（θ）在區(qū)間θ0，π2上單調(diào)遞減.所以f（θ）max=f（θ0）=sin θ0（1－sin 2θ0）=239，則（x+y）3min=16239=243.

故x+y的最小值為23.

點(diǎn)評(píng)：變量x－y，xy，x+y滿足（x－y）2+（2xy）2=（x+y）2，因此可以利用三角代換引進(jìn)新變量，將二元變量轉(zhuǎn)化為一元變量，從而將求x+y的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值.

思路二：利用齊次化的方法.

齊次化也是求最值的一種常用方法，構(gòu)造齊次分式，實(shí)現(xiàn)二元變量向一元變量的轉(zhuǎn)化.

解法5：xy（x－y）（x+y）3=xyxy－1xy+13，設(shè)xy=t，則xy（x－y）（x+y）3=t（t－1）（t+1）3.由題意知x>y>0，所以t>1.設(shè)f（t）=t（t－1）（t+1）3（t>1），則f′（t）=－t2－4t+1（t+1）4，令f′（t）=0，得t=2+3.所以當(dāng)t∈（1，2+3）時(shí)，f′（t）>0，函數(shù)f（t）在區(qū)間（1，2+3）上單調(diào)遞增；當(dāng)t∈（2+3，+∞）時(shí)，f′（t）<0，函數(shù)f（t）在區(qū)間（2+3，+∞）上單調(diào)遞減.所以f（t）max=f（2+3）=318，即xy（x－y）（x+y）3max=318.又xy（x－y）=4，所以（x+y）3min=243.

故x+y的最小值為23.

點(diǎn)評(píng)：由于xy（x－y）為三次，x+y為一次，因此可以構(gòu)造齊次分式xy（x－y）（x+y）3，然后通過分子、分母同除以x3或y3進(jìn)行換元，將二元變量轉(zhuǎn)化為一元變量，求出其最大值，進(jìn)一步可求出x+y的最小值.

思路三：利用已知條件與未知結(jié)論之間的關(guān)系.

已知條件與未知結(jié)論之間往往存在關(guān)聯(lián)，利用這種關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.

解法6：由xy（x－y）=4，得x－y=4xy.

又x>0，y>0，所以

（x+y）2=（x－y）2+4xy=16x2y2+4xy=16x2y2+2xy+2xy≥3316x2y2·2xy·2xy=12.

所以x+y≥23，當(dāng)且僅當(dāng)16x2y2=2xy，xy（x－y）=4，即x=3+1，y=3－1時(shí)，等號(hào)成立.

故x+y的最小值為23.

點(diǎn)評(píng)：將xy，x－y，x+y都分別看作一個(gè)整體變量，已知條件中的xy，x－y與未知結(jié)論中的x+y三者之間存在的關(guān)系為xy（x－y）=4，（x+y）2=（x－y）2+4xy，因此可以用變量xy表示變量x－y，x+y，將求變量x+y的最小值轉(zhuǎn)化為求關(guān)于變量xy的函數(shù)的最小值.

對(duì)于存在約束關(guān)系，但不易分離變量的二元變量的最值問題，通?？梢圆捎蒙鲜龆N思路，求解時(shí)要抓住題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕夥ń鉀Q.這種題型的求解規(guī)律為：利用換元法轉(zhuǎn)化成可分離變量的二元變量問題、一元變量問題，或者構(gòu)造齊次分式轉(zhuǎn)化成一元變量問題，或者根據(jù)已知條件與未知結(jié)論之間存在的關(guān)系轉(zhuǎn)化成一元變量問題，再利用導(dǎo)數(shù)或均值不等式求最值.