摘要：對一個數(shù)學問題能夠從多角度、多視角去探究，有利于我們能切實掌握問題的本質(zhì)內(nèi)涵，提高我們靈活解題的能力.

關(guān)鍵詞：切線定義;兩直線的夾角的斜率計算公式;共交點直線系;四點共圓

（2022年高考全國卷第14題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.

本題是求兩個圓的公切線方程，那么首先要確定兩個圓的位置關(guān)系是相離、相交還是相切（分內(nèi)切和外切），進而確定兩個圓存在幾條公切線，然后求解.

1 “圓的切線定義”視角

根據(jù)直線與圓相切的定義可知，直線與圓有且只有一個公共點，它等價于直線與圓的方程聯(lián)立的方程組只有一個解.

解法一：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1，C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因為圓心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯(lián)立直線l1與連心線C1C2的方程，由x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點坐標為-1，-43.

設(shè)圓C1與圓C2公切線l3：y=kx+b，聯(lián)立l3與圓C1的方程得到y(tǒng)=kx+b，x2+y2=1，化簡整理，得

（k2+1）x2+2kbx+b2-1=0.

所以Δ=（2kb）2-4（k2+1）（b2-1）=0，整理得k2-b2+1=0.又因為直線l3：y=kx+b經(jīng)過點-1，-43，所以-43=-k+b.聯(lián)立方程得到k2-b2+1=0，-k+b=-43，解得k=724，b=-2524，所以公切線l3的方程為y=724x-2524，即7x-24y-25=0.

點評：該解法中應用了圓的切線定義來解題，直線與圓的方程構(gòu)成的方程組只有一個解等價于一元二次方程只有一個實數(shù)解，因而判別式Δ=0.

2 “圓心到切線的距離等于半徑”視角

利用點到直線的距離公式，計算圓心到切線的距離d，由d與半徑r相等列等式求解.

解法二：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因為圓心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯(lián)立直線l1與連心線C1C2的方程得x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點坐標為-1，-43.設(shè)圓C1與圓C2公切線l3：y+43=k（x+1），即kx-y+k-43=0，所以k-43k2+1=1，解得k=724.

所以圓C1與圓C2公切線l3：7x-24y-25=0.

點評：解法二中應用了直線與圓相切的一個基本性質(zhì)，即圓心到切線的距離等于半徑.

3 “圓的兩條公切線分別與連心線的夾角相等”視角

利用兩直線的夾角的斜率計算公式，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑求解.

解法三：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

由于公切線l1，連心線C1C2，公切線l3相交于一點，設(shè)公切線l1與連心線C1C2的夾角為α，連心線C1C2與公切線l3的夾角為β，則α=β，并且tan α=r2-r1|C1C2|2-（r2-r1）2=34.

由于連心線C1C2的斜率k1=43，設(shè)公切線l1或l3的斜率為k，那么tan α=k1-k1+k1k.

由43-k1+43k=34，解得k=724或k不存在.

當k=724時，設(shè)公切線l3：y=724x+b，即7x-24y+24b=0，則

|24b|72+242=1，|7×3-24×4+24b|72+242=4.

解得b=-2524.

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

當k不存在時，設(shè)公切線l1：x=m.

由|m|=1，|m-3|=4，解得m=-1.

所以公切線l1：x=-1.

點評：此解法適用于兩條公切線的方程都未知的情況下求公切線方程，利用公切線與連心線夾角的性質(zhì)來解題.

4 “圓的兩條公切線與連心線形成的共交點直線系”視角

若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，

則直線l3：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ≠0）就是過l1與l2交點的直線.

解法四：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因為圓心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x+1=0是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，即4x-3y=0.由于公切線l1、連心線C1C2、公切線l3相交于一點，因此設(shè)公切線l3：x+1+λ（4x-3y）=0（λ≠0），即（1+4λ）x-3λy+1=0.

由公切線性質(zhì)，得

1（1+4λ）2+（-3λ）2=1，|（1+4λ）×3-3λ×4+1|（1+4λ）2+（-3λ）2=4，

解得λ=-825.

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

點評：圓的兩條公切線與連心線相交于與一點，形成共點直線系.

5 “四點共圓”視角

兩公切線與同一個圓的兩個切點、這兩條公切線的交點及圓心四點共圓，根據(jù)條件求出此圓的方程，將此圓方程與原圓的方程聯(lián)立，解方程組得到兩圓的交點坐標，即直線與圓的切點.

解法五：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因為圓心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯(lián)立直線l1與連心線C1C2的方程得x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點為D-1，-43.顯然公切線l1與圓C1相切于點E（-1，0）.設(shè)公切線l3與圓C1相切于點F（x，y），因為∠DEC1=∠DFC1=90°，所以D，E，C1，F(xiàn)四點共圓.設(shè)四邊形DEC1F的外接圓的圓心為O1，半徑為R，則O1為線段DC1的中點，

半徑R=12|DC1|.

所以O(shè)1-12，-23，且

R=（-1）2+-4322=56.

因此圓O1的方程為x+122+y+232=2536.

聯(lián)立圓O1與圓C1的方程，可得

x+122+y+232=2536，x2+y2=1，

解得x=725，y=-2425，或x=-1，y=0.

所以F725，-2425.

又因為l3也經(jīng)過點D-1，-43，

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

點評：求直線與圓的切點坐標可轉(zhuǎn)化為解圓O1與圓C1構(gòu)成的方程組，則方程組的解就是切點坐標，從而求出切線方程.