摘要：基于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，特別是有關(guān)相交或相切的問題，是高考命題的一個(gè)常見考點(diǎn).結(jié)合一道直線與雙曲線相交的高考試題，從“數(shù)”與“形”的視角來切入，合理剖析與應(yīng)用，歸納總結(jié)解題技巧與策略方式，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：直線；雙曲線；相交；斜率；方程

在圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題中，有關(guān)直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系以及與之相關(guān)的綜合應(yīng)用問題，成為歷年高考命題中的一個(gè)基本考點(diǎn).基于直線與圓錐曲線的相交、相切等位置關(guān)系以及對應(yīng)的綜合應(yīng)用問題，創(chuàng)設(shè)形式多變，內(nèi)涵豐富精彩，是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)與難點(diǎn)，以各種題型滲透到試卷中去.本文中結(jié)合2024年高考數(shù)學(xué)北京卷第13題的解法探究及拓展，給出相應(yīng)的教學(xué)啟示.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)北京卷·13）已知雙曲線x24－y2=1，則過（3，0）且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為.

此題以已知雙曲線的方程為問題場景，結(jié)合一個(gè)已知點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部（包含雙曲線焦點(diǎn)的區(qū)域），通過設(shè)置過該已知點(diǎn)且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率確定來設(shè)置問題，全面考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的函數(shù)與方程思想，邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等.

在實(shí)際解決問題中，可以結(jié)合平面解析幾何的基本知識，從“數(shù)”的視角切入，利用設(shè)線思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用；也可以結(jié)合平面幾何的直觀形象，從“形”的視角切入，利用幾何思維來直觀分析與邏輯推理等.或從“數(shù)”的視角進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，或以“形”的視角進(jìn)行直觀想象等，這是解決此類問題中比較常見的一些基本技巧與方法.

2 真題破解

2.1 “數(shù)”的視角

解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，回歸“數(shù)”的本質(zhì)，借助直線或圓錐曲線方程的設(shè)置，結(jié)合直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立，消參并轉(zhuǎn)化為方程問題，借助方程這一代數(shù)思維來分析與處理.

解法1：設(shè)線法1.

依題意，聯(lián)立直線x=3與雙曲線x24－y2=1，解得y=±52，不符合題意，這表明滿足題意的直線的斜率一定存在.

設(shè)所求直線的斜率為k，則過點(diǎn)（3，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x－3），聯(lián)立y=k（x－3），x24－y2=1，化簡并整理可得（1－4k2）x2+24k2x－36k2－4=0.

由題意，得1－4k2=0或Δ=（24k2）2+4（1－4k2）＼5（36k2+4）=0.

解得k=±12或無解，即k=±12.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

故填答案：±12.

點(diǎn)評：根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系來探究二者之間的交點(diǎn)問題，是處理此類問題中最為常用的基本方法.在實(shí)際解題過程中，首先要確定直線斜率的存在性，合理加以分類討論，進(jìn)而通過設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的情況列式即可求解，實(shí)現(xiàn)問題的突破與轉(zhuǎn)化.

解法2：設(shè)線法2.

依題，設(shè)過點(diǎn)（3，0）的直線方程為x=my+3，聯(lián)立x=my+3，x24－y2=1，化簡并整理可得（m2－4）y2+6my+5=0.

由題意，得

m2－4=0或Δ=（6m）2－20（m2－4）=0.

解得m=±2或無解，即m=±2，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.當(dāng)m=±2時(shí)，可得對應(yīng)的直線方程為x=±2y+3，其對應(yīng)的直線的斜率為±12.

故填答案：±12.

點(diǎn)評：根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系，從另一個(gè)角度來設(shè)線處理，也是解決此類問題中比較常用的一種“通性通法”.這樣可以有效回避直線的斜率是否存在的分類討論，給問題求解的完整性與一致性創(chuàng)造條件.同時(shí)，相比較于解法1中的設(shè)線法，此解法的數(shù)學(xué)運(yùn)算量更小，處理起來更加簡捷方便.

2.2 “形”的視角

解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，挖掘“形”的結(jié)構(gòu)，利用直線與圓錐曲線的圖形的結(jié)構(gòu)特征與幾何性質(zhì)，從圖形的直觀視角來分析與探究，借助圖形特征這一幾何思維來分析與處理.

解法3：數(shù)形結(jié)合法.

由雙曲線方程x24－y2=1，可知其漸近線方程為x2±y=0，即y=±x2.

根據(jù)雙曲線的幾何特征，點(diǎn)（3，0）在雙曲線的右支內(nèi)，則可知過（3，0）且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線平行.

所以所求直線的斜率為±12.

故填答案：±12.

點(diǎn)評：依托雙曲線的方程自身這一“數(shù)”的基本形式，結(jié)合題設(shè)中過雙曲線的一支內(nèi)一點(diǎn)作直線與雙曲線相交，要確定相應(yīng)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，必須心里有“形”的結(jié)構(gòu)特征與直觀圖形，借助平面解析幾何的基本性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合抓住問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，巧妙直觀形象，合理加以解題分析與邏輯推理.同時(shí)，數(shù)形結(jié)合這一“形”的思維視角，也為問題的進(jìn)一步變式與拓展創(chuàng)造了條件.

3 變式拓展

3.1 簡化變式

變式1已知雙曲線x24－y2=1，則過P（3，0）且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有條.

解析：依題，由于點(diǎn)（3，0）在雙曲線內(nèi)部（包含雙曲線焦點(diǎn)的區(qū)域），而過（3，0）且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，數(shù)形結(jié)合可知其與雙曲線的漸近線平行.

因此滿足條件的直線有2條.故填答案：2.

3.2 深化變式

變式2已知雙曲線x24－y2=1，則過P（3，0）且和該雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為.

解析：根據(jù)題設(shè)條件可知，該雙曲線的漸近線方程為x2±y=0，整理可得y=±x2.

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)過點(diǎn)（3，0）的兩條直線分別平行于該雙曲線的兩條漸近線時(shí)，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)（因?yàn)殡p曲線與漸近線無限接近，此時(shí)直線斜率為±12）.

所以斜率的取值范圍在區(qū)間－12，12（兩條直線之間）上的所有直線，都與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，即直線的斜率的取值范圍是－12，12.

故填答案：－12，12.

4 教學(xué)啟示

4.1 知識歸納，拓展提升

把握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的特殊情形：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)（不是相切情形）；當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)（不是相切情形）.

特別要注意的是，直線與雙曲線（或拋物線）只有一個(gè)交點(diǎn)中，除了以上兩種情形外，還有直線與雙曲線（或拋物線）相切的情況.在實(shí)際解題過程中，要注意挖掘問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，考慮問題要全面周到.

4.2 方法歸納，靈活應(yīng)用

解決此類涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用問題時(shí)，借助曲線自身的代數(shù)關(guān)系屬性與圖形結(jié)構(gòu)特征，或從代數(shù)視角切入，利用曲線方程從代數(shù)思維加以推理與應(yīng)用，或從幾何視角切入，利用曲線圖形從幾何思維加以直觀分析與應(yīng)用.借助代數(shù)與幾何的不同思維視角，可給問題的破解創(chuàng)造更多的思維方式與技巧方法，從而發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.