摘要：涉及分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題是歷年高考中的?？碱}型之一，難度中等，背景多變，形式多樣，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能交匯與融合的一大重要載體.結(jié)合一道高考真題，借助分段函數(shù)的場景創(chuàng)設(shè)與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，合理剖析方法技巧，總結(jié)規(guī)律策略，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；單調(diào)性；直接；排除；導(dǎo)數(shù)

涉及分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，是歷年高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題之一，也是高考試題中的一類常見題型.此類問題以分段函數(shù)為問題場景，借助函數(shù)的解析式、函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)的圖象與零點(diǎn)等眾多相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)加以合理交匯融合，有較好的選拔性與較高的區(qū)分度，備受命題者青睞，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場，常考常新，形式各樣，變化多端，不斷變更分段函數(shù)的解析式背景與交匯條件，烹出一道道美味的分段函數(shù)的綜合應(yīng)用的美味“盛宴”.本文中就2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第6題加以分析.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·6）已知函數(shù)f（x）=－x2－2ax－a，x<0，ex+ln（x+1），x≥0在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，0] B.[－1，0]

C.[－1，1]D.[0，+∞）

此題以含參的分段函數(shù)為問題背景，結(jié)合函數(shù)在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)性，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.該問題重點(diǎn)體現(xiàn)了分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

該試題巧妙融合了分段函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)等相關(guān)的基本函數(shù)類型，借助函數(shù)的基本性質(zhì)加以合理創(chuàng)設(shè)，題目難度中等，從而較好全面考查基本初等函數(shù)以及對(duì)應(yīng)的基本性質(zhì)等，實(shí)現(xiàn)問題的綜合與應(yīng)用.

在實(shí)際解決該分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時(shí)，往往可以直接從問題中函數(shù)的單調(diào)性入手，結(jié)合各段對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式與基本性質(zhì)來分析與處理；也可以通過選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)信息逆向思維，合理利用特殊值思維與排除法處理；還可以借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的基本性質(zhì)，并結(jié)合函數(shù)的圖象與求值的變化規(guī)律加以合理的分析與推理等.

2 真題破解

解法1：直接法1.

當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=ex+ln（x+1）在[0，+∞）上單調(diào)遞增.

結(jié)合分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要保證當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f（x）=－x2－2ax－a在（－∞，0）上單調(diào)遞增，只須滿足該二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)（包括y軸），同時(shí)在x=0處的取值小于等于f（0）即可，即－2a2≥0，－02－2a×0－a≤e0+ln（0+1），解得－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].故選：B.

解法2：直接法2.

令函數(shù)h（x）=－x2－2ax－a，函數(shù)g（x）=ex+ln（x+1）.

由于函數(shù)y=ex與y=ln（x+1）在[0，+∞）上均為增函數(shù)，則函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù).

而函數(shù)h（x）的對(duì)稱軸為x=－a，如圖1所示.

而要滿足函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則有－a≥0，h（0）≤g（0），解得－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：直接法是解決此類分段函數(shù)問題時(shí)最為常用的一種方法，通過直接分析函數(shù)在各段區(qū)間上的基本性質(zhì)，包括單調(diào)性、最值等，以及函數(shù)圖象的變化情況與規(guī)律等，數(shù)形結(jié)合，直觀想象來分析與求解.該問題中，直接法的本質(zhì)就是數(shù)形結(jié)合思維的直觀應(yīng)用，需做到“胸中有數(shù)”“胸中有圖”，直觀想象，合理轉(zhuǎn)化.

解法3：排除法.

觀察各選項(xiàng)中的參數(shù)的取值范圍的情況，不妨令a=1，則知當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f（x）=－x2－2x－1=－（x+1）2，此時(shí)該函數(shù)與題設(shè)中函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增矛盾，則知a≠1，由此排除選項(xiàng)C，D；

進(jìn)一步，不妨令a=－2，則知當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f（x）=－x2+4x+2=－（x－2）2+6<2，此時(shí)f－18=－－18－22+6=9564>1，而f（0）=e0+ln（0+1）=1，此時(shí)該函數(shù)與題設(shè)中函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增矛盾，則知a≠－2，由此排除選項(xiàng)A.

綜上分析，故選：B.

點(diǎn)評(píng)：排除法是解決選擇題中比較常用的一種基本技巧方法，而排除法的關(guān)鍵就是抓住各選項(xiàng)中數(shù)據(jù)的相似點(diǎn)與異同點(diǎn)，合理通過特殊值的選取，為相關(guān)選項(xiàng)的排除創(chuàng)造條件.往往在實(shí)際運(yùn)用排除法解題時(shí)，有時(shí)一次特殊值的選取無法直接達(dá)到目的，可以兩次及三次選取特殊值來達(dá)到排除的目的.

解法4：導(dǎo)數(shù)+極限法.

易知當(dāng)x≥0時(shí)，由函數(shù)f（x）=ex+ln（x+1）在[0，+∞）上單調(diào)遞增.

而當(dāng)x<0時(shí)，由函數(shù)f（x）=－x2－2ax－a在（－∞，0）上單調(diào)遞增，可知f′（x）=－2x－2a≥0，解得a≤－x，結(jié)合x<0，則有a≤0.

而當(dāng)x→0-時(shí)，f（x）→－a，而當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=e0+ln（0+1）=1，則有－a≤1，解得a≥－1.

綜上分析可知，－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)法是解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題中最為常用的一種思維方式，借助含參函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算并利用其在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式來巧妙確定參數(shù)的取值范圍；而通過分段函數(shù)在界點(diǎn)處的取值變化情況，巧妙通過極限法思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，給參數(shù)的取值范圍的確定創(chuàng)造條件.兩種技巧方法加以巧妙融合，實(shí)現(xiàn)問題的創(chuàng)新應(yīng)用與合理突破.

3 變式拓展

3.1 類比變式

變式1已知函數(shù)f（x）=x2+2ax－a，x<0，

e－x－ln（x+1），x≥0在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，－1]

B.[－1，0]

C.[－1，1]

D.[1，+∞）

解析：令函數(shù)h（x）=x2+2ax－a，x<0，函數(shù)g（x）=e-x－ln（x+1），x≥0.

由于函數(shù)y=e-x與y=－ln（x+1）在[0，+∞）上均為減函數(shù)，則知函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù).

易知函數(shù)h（x）的對(duì)稱軸為x=－2a2=－a.

如果要滿足函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，那么有－a≥0，h（0）≥g（0），解得a≤－1.

所以a的取值范圍是（－∞，－1].

故選：A.

在變式1中，還可以從不同思維視角來變換分段函數(shù)中對(duì)應(yīng)各段函數(shù)的解析式，進(jìn)而加以合理的變式與應(yīng)用.

3.2 拓展變式

變式2已知函數(shù)f（x）=ax，x<0，ax+a，x≥0在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（0，+∞）

B.（0，1）

C.（1，+∞）

D.[1，+∞）

解析：依題，要滿足函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則必須滿足a>1，0+a≥a0=1，解得a>1.

所以a的取值范圍是（1，+∞）.

故選：C.

4 教學(xué)啟示

4.1 技cbnLRZRnjw8lo6BgJUOFP/lgl4RrX/WjssMv4jgb2I4=巧方法總結(jié)

涉及分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，要抓住函數(shù)中各段的解析式及其對(duì)應(yīng)函數(shù)的基本屬性，以及整體函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征與基本性質(zhì)等，合理把握整體與細(xì)節(jié)之間的區(qū)別與聯(lián)系，特別抓住其中的一些節(jié)點(diǎn)（如端點(diǎn)處的函數(shù)值等），根據(jù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)等合理進(jìn)行數(shù)形結(jié)合與直觀想象，從直觀思維切入并根據(jù)題設(shè)條件合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程（組）、不等式（組）等，實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

4.2 破解基本思路

解決涉及分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題的基本思路是，根據(jù)函數(shù)的解析式與基本性質(zhì)等，合理加以化歸與轉(zhuǎn)化，將整體的分段函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)易于操作的基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題等，借助函數(shù)基本性質(zhì)法的邏輯推理，或函數(shù)圖象法的直觀想象等，從而合理邏輯推理或數(shù)形結(jié)合.該類題型對(duì)分析問題的能力與作圖能力以及邏輯推理能力等的要求比較高，一理掌握了破解思路和處理方法，則可順利解決.