摘要：立體幾何中的空間角是歷年高考試卷中的常客之一，備受高考命題者所垂青，成為新高考數(shù)學(xué)試卷中的一個基本考點(diǎn).結(jié)合一道高考真題，以棱臺場景創(chuàng)設(shè)，通過立體幾何中的線面角的設(shè)置與求解，從不同數(shù)學(xué)思維角度切入，結(jié)合不同的數(shù)學(xué)方法來破解，總結(jié)規(guī)律，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué).

關(guān)鍵詞：正三棱臺；體積；線面角；正切

立體幾何中的空間角（異面直線所成的角、線面角、二面角等），可以比較集中且有效地考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與核心素養(yǎng)等，是歷年高考試卷中的常客，備受高考命題者垂青.特別在新課標(biāo)、新教材、新高考的“三新”背景下，基于臺體的綜合應(yīng)用問題，當(dāng)然也包括空間角問題，更是其中考查的一個重要場景.由于背景創(chuàng)新新穎，設(shè)問角度豐富多彩，因此給問題的切入與求解創(chuàng)設(shè)了更加豐富的空間.本文中就2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第7題的解法進(jìn)行探究.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，則A1A與平面ABC所成角的正切值為（）.

A.12

B.1

C.2

D.3

此題以正三棱臺為問題背景，結(jié)合正三棱臺的上、下底面的邊長及其體積這些相關(guān)數(shù)據(jù)信息的給出，求解相應(yīng)的側(cè)棱與底面所對應(yīng)的線面角的正切值問題.

依托正三棱臺的立體幾何背景，合理通過空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，巧妙轉(zhuǎn)化，空間想象，借助直接法思維、補(bǔ)形法思維、轉(zhuǎn)化法思維等，進(jìn)而結(jié)合線面角的定義來分析與求解，實(shí)現(xiàn)問題的求解與突破.

2 真題破解

解法1：直接法.

如圖1所示，分別取BC，B1C1的中點(diǎn)D，D1，則AD=33，A1D1=3，

S△ABC=12×6×33=93，S△A1B1C1=12×2×3=3.

設(shè)正三棱臺ABC—A1B1C1的高為h，則其體積為VABC－A1B1C1=13（93+3+93×3）h=523，解得h=433.

分別過A1，D1作底面ABC的垂線，垂足分別為M，N.設(shè)AM=x，則

AA1=AM2+A1M2=x2+163，

DN=AD－AM－MN=23－x.

易得DD1=DN2+D1N2=（23－x）2+163.

結(jié)合等腰梯形BCC1B1，可得BB21=6－222+DD21，即x2+163=4+（23－x）2+163，解得x=433.

所以A1A與平面ABC所成角的正切值為tan ∠A1AD=A1MAM=1.故選：B.

點(diǎn)評：借助直接法思維，通過正三棱臺的體積公式來求解其高，結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并根據(jù)線面角的定義來分析與求解.直接法思維的根本就是依托臺體的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建對應(yīng)的輔助線，結(jié)合平面圖形的基本性質(zhì)與立體圖形的基本性質(zhì)等，利用相關(guān)數(shù)據(jù)信息來計(jì)算并求解對應(yīng)元素的數(shù)值，為進(jìn)一步分析與求解創(chuàng)造條件.

解法2：補(bǔ)形法.

依題，如圖2所示，將正三棱臺ABC-A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P-ABC，則A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角.

因?yàn)镻A1PA=A1B1AB=13，則VP-A1B1C1VP-ABC=127，VABC-A1B1C1=2627VP-ABC=523，所以VP-ABC=18.

設(shè)正三棱錐P-ABC的高為d，則VP-ABC=13d×12×6×6×32=18，解得d=23.

取底面ABC的中心為O，則PO⊥底面ABC，且AO=23.

余略.

點(diǎn)評：借助補(bǔ)形法思維，將對應(yīng)的三棱臺問題轉(zhuǎn)化為三棱錐問題，使得問題更加熟知，操作起來更加方便.通過邊長的比與體積比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化，利用補(bǔ)形后正三棱錐的高來求解.補(bǔ)形法思維的根本就是回歸空間幾何體的本質(zhì)，利用逆向思維來分析與處理一些臺體與錐體之間的結(jié)構(gòu)特征與幾何性質(zhì)問題.

解法3：轉(zhuǎn)化法.

設(shè)正三棱臺ABC-A1B1C1的高為h，三條側(cè)棱延長后交點(diǎn)一點(diǎn)O，如圖3所示.

由AB=3A1B1，可得O到上底面A1B1C1的距離為12h，O到下底面ABC的距離為32h.

所以A1A與平面ABC所成角即為OA1與平面A1B1C1所成角∠OA1O1，其中O1為正三角形A1B1C1的中心.

余略.

點(diǎn)評：借助轉(zhuǎn)化法思維，將對應(yīng)的三棱臺問題轉(zhuǎn)化為一個與之相關(guān)的三棱錐問題，實(shí)際與補(bǔ)形法思維基本類似，從而實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.轉(zhuǎn)化法思維的根本就是利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與幾何性質(zhì)，合理進(jìn)行邊、角等信息的化與應(yīng)用，給問題的分析與求解創(chuàng)造更加簡單的應(yīng)用，使得問題的分析與求解更加簡捷易操作.

3 變式拓展

依托棱臺的場景創(chuàng)設(shè)，結(jié)合對應(yīng)數(shù)據(jù)信息的給出，保留原高考真題的問題背景，將空間幾何體中的線面夾角問題變化為求解相應(yīng)的二面角的角問題，得到如下對應(yīng)的變式問題.

變式已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，則正三棱臺的側(cè)面與平面ABC所成角的正切值為.

解析：以上部分同原高考真題中的方法1，解得h=433，x=433，則知DN=23－x=233.

結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征，可知正三棱臺的側(cè)面B1BCC1與平面ABC所成角的二面角的平面角即為∠D1DN，則tan ∠D1DN=D1NDN=h233=433233=2.

故填答案：2.

除了以上同原高考真題中的直接法，還可以借助補(bǔ)形法或轉(zhuǎn)化法等其他思維方法來解決該變式問題，這里不多加以展開.

4 教學(xué)啟示

4.1 方法指導(dǎo)

在立體幾何中的空間幾何體知識中，柱體、錐體、臺體之間的關(guān)系是辯證統(tǒng)一的，特別是臺體必須是由相應(yīng)的錐體截得的.回歸問題本質(zhì)，因此臺體的側(cè)棱（或母線）延長之后交于一點(diǎn)，在解題時(shí)“臺體還原為錐體”的補(bǔ)形法思維，是解決臺體及其應(yīng)用問題的常用方法之一.

同時(shí)，對于柱體、錐體、臺體的側(cè)面積、表面積和體積公式的計(jì)算與綜合應(yīng)用問題，要求準(zhǔn)確記憶這些相應(yīng)計(jì)算公式并加以靈活應(yīng)用.特別，在教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中，要注意體會這幾類空間幾何體所對應(yīng)的計(jì)算公式之間的相互轉(zhuǎn)化，以及與之對應(yīng)的基本數(shù)學(xué)思想，并理解公式間的聯(lián)系，加以合理綜合與應(yīng)用.

4.2 教學(xué)建議

在課堂教學(xué)與復(fù)習(xí)備考過程中，重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和“通性通法”的理解與掌握，重基礎(chǔ)，重根本.以上涉及臺體（棱臺或圓臺）的體積計(jì)算與應(yīng)用問題，特別是涉及臺體的體積計(jì)算公式，已經(jīng)連續(xù)四年在新高考試卷中得以體現(xiàn).例如：2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第5題基于正四棱臺背景下的體積問題；2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第4題基于南水北調(diào)工程背景下的棱臺的體積問題，新高考Ⅱ卷第7題基于正三棱臺背景下的外接球的表面積問題；2023年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第14題基于正四棱臺背景下的體積問題，新高考Ⅱ卷第14題基于正四棱臺背景下的體積問題；2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第7題基于正三棱臺背景下的線面角問題.這些都以看似“冷門”知識點(diǎn)來連續(xù)考查.

正是基于以上高考命題的信息，從涉及臺體（棱臺或圓臺）的體積計(jì)算與應(yīng)用問題這個點(diǎn)入手，可以由此及彼，推廣到其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)正是通過對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識連續(xù)多次的深化考查，引導(dǎo)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)主干知識、提升數(shù)學(xué)基本能力，靈活地整合知識解決問題.