要結(jié)論.本文中結(jié)合三角形面積公式的向量形式對應(yīng)定理的給出，進(jìn)行合理推廣與拓展，借助實(shí)例加以剖析與應(yīng)用，拋磚引玉.

1 三角形面積公式的向量形式的定理和推論

引入平面向量的相關(guān)知識(shí)后，可以用平面向量及其相關(guān)知識(shí)來處理三角形面積公式，得到三個(gè)與平面向量形式有關(guān)的三角形面積公式的結(jié)論.

1.1 向量面積公式

定理在△ABC中，若AB=a，AC=b，則△ABC的面積為S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2.

證明：由S=12|AB|＼5|AC|＼5sin A，可得

S2=14|AB|2|AC|2sin 2A=14|a|2＼5|b|2＼5（1－cos 2A）=14|a|2＼5|b|2＼51－a＼5b|a|＼5|b|2=14（|a|2＼5|b|2－（a＼5b）2］.

所以S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2.

三角形面積公式的平面向量形式，在涉及一些與向量、坐標(biāo)等有關(guān)的三角形面積求解與應(yīng)用時(shí)，可以直接有效地加以轉(zhuǎn)化與合理應(yīng)用，解決問題更加方便.

1.2 向量坐標(biāo)形式的面積公式

在以上三角形面積公式的平面向量形式定理的基礎(chǔ)上，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示，經(jīng)常直接利用平面向量的坐標(biāo)及其對應(yīng)的關(guān)系來表示三角形的面積.由此，可以得到用平面向量的坐標(biāo)（或點(diǎn)的坐標(biāo)）

表示的有關(guān)推論.

推論1：在△ABC中，若AB=（a1，b1），AC=（a2，b2），則△ABC的面積為S=12|a1b2－b1a2|.

證明：設(shè)△ABC的面積為S，由上述定理，可知

S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2

=12（a21+b21＼5a22+b22）2－（a1a2+b1b2）2

=12（a1b2－b1a2）2

=12|a1b2－b1a2|.

推論2：在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則△ABC的面積為

S=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|.

證明：因?yàn)锳（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），所以

AB=（x2－x1，y2－y1），AC=（x3－x1，y3－y1）.

由推論1，可知

S=12|（x2－x1）（y3－y1）－（y2－y1）（x3－x1）|

=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|.

借助平面向量的坐標(biāo)表示或三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可以直接用來確定與之對應(yīng)的三角形的面積，在實(shí)際解題應(yīng)用中更加直接有效，也是解決問題中經(jīng)常選用的一個(gè)重要“二級(jí)公式”與結(jié)論.

2 三角形面積公式的向量形式的應(yīng)用

利用三角形面積公式的向量形式，可以處理已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求有關(guān)的三角形面積問題，計(jì)算簡單，操作方便.

2.1 面積的求解

例1在△ABC中，若A（－1，－1），B（3，5），C（-2，7），求△ABC的面積.

解析：由推論2，得

S△ABC=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|=12|－1×（5－7）+3×（7+1）－2×（－1－5）|=19.

點(diǎn)評(píng)：本題直接根據(jù)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積公式的向量坐標(biāo)形式的相關(guān)結(jié)論來分析與求解，更加簡單快捷.此類作為課外拓展與提升的“二級(jí)公式”或“二級(jí)結(jié)論”，可以有針對性地加以了解與掌握.

2.2 面積最值的確定

例2在△ABC中，A（－2，5），B（3，2），點(diǎn)C在拋物線y2=－x上，求△ABC的面積達(dá)到最大值時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求此時(shí)△ABC的最大面積.

解析：設(shè)點(diǎn)C（－y2，y），則CA=（－2+y2，5－y），CB=（3+y2，2－y），

則由推論1知S△ABC=12＼5|（－2+y2）（2－y）－（3+y2）（5－y）|

=12＼5|3y2－5y+19|=32y－562+20336=32y－562+20324.

所以當(dāng)y=56時(shí)，△ABC的面積達(dá)到最大值，

即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為－2536，56時(shí)，△ABC的最大面積為20324.

例3已知直線l：y=4x和點(diǎn)R（6，4），在直線l上求一點(diǎn)Q，使直線RQ與直線l及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形面積最小.

解析：設(shè)點(diǎn)Q（a，4a）（a>1），則直線RQ的方程為y－44a－4=x－6a－6.

令y=0，則x=5aa－1，所以直線RQ與x軸的交點(diǎn)為P5aa－1，0.

所以O(shè)Q=（a，4a），OP=5aa－1，0.

根據(jù)推論1，可知S△OPQ=12|a1b2－b1a2|=12a×0－5aa－1×4a=10a2a－1

=10［（a－1）+1］2a－1=10×（a－1）+1a－1+2≥102（a－1）＼51a－1+2=40，

當(dāng)且僅當(dāng)a－1=1a－1，即a=2時(shí)，S△OPQ取得最小值40，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，8）.

故所求面積最小值為40.

點(diǎn)評(píng)：合理引入?yún)?shù)，借助三角形面積公式的向量形式的應(yīng)用，可以更加直接地表示出相關(guān)三角形的面積，進(jìn)而借助函數(shù)思維、不等式思維等合理放縮與應(yīng)用，正確確定相應(yīng)的最值問題.借助三角形面積公式的向量形式及其應(yīng)用，往往可以更加快捷地構(gòu)建三角形面積的表達(dá)式，為進(jìn)一步的應(yīng)用提供條件.

2.3 參數(shù)的求解

例4在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，cos θ），B（sin θ，1），θ∈0，π2，則當(dāng)△OAB的面積取最大值時(shí)，θ=（）.

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

解析1：由O（0，0），A（1，cos θ），B（sin θ，1），可得OA=（1，cos θ），OB=（sin θ，1），

則由推論1知S△OAB=12|1×1－sin θcos θ|=121－12sin 2θ.

由θ∈0，π2，得sin 2θ∈［0，1］，則

S△OAB=121－12sin 2θ=12－14sin 2θ.

所以當(dāng)θ=π2時(shí)，S△OAB取到最大值12.

故選擇答案：D.

解析2：由O，A，B三點(diǎn)坐標(biāo)及推論2知S△OAB

=12|0×（cos θ－1）+1×（1－0）+sin θ×（0－cos θ）|=12|1－sin θcos θ|

=121－12sin 2θ.

由θ∈0，π2，得sin 2θ∈［0，1］，則

S△OAB=121－12sin 2θ=12－14sin 2θ.

所以當(dāng)θ=π2時(shí)，S△OAB取到最大值12.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：在同一場景下，三角形面積公式的向量形式的不同視角的應(yīng)用，對于問題的解決有不同的效果.例4通過兩種不同方法的比較與應(yīng)用，體會(huì)在不同公式條件下的求解思維與解題過程，有效提升解題經(jīng)驗(yàn)，拓展解題思維，提高解題能力.

三角形面積公式的向量形式是平面幾何知識(shí)與平面向量知識(shí)的交匯與綜合，也是三角形面積公式在平面向量場景中的具體體現(xiàn)，對于解決一些與之相關(guān)的問題，有很好的效果，可以在一定程度上優(yōu)化解題過程，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，開拓解題思維，很好提升數(shù)學(xué)能力并培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).