摘要：概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，也是充分展示教師能力水平與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的場(chǎng)所，設(shè)計(jì)契合教學(xué)規(guī)律，落實(shí)核心素養(yǎng)，適合學(xué)生思維習(xí)慣，引起學(xué)生共振的教學(xué)設(shè)計(jì)是教師不斷追求的目標(biāo).結(jié)合三角函數(shù)的概念教學(xué)，合理創(chuàng)設(shè)情境，巧妙設(shè)置問(wèn)題，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，完善教學(xué)設(shè)計(jì)，做了一個(gè)很好的嘗試.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；概念；正弦；余弦；正切；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 教材分析

三角函數(shù)是在學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念，以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上加以學(xué)習(xí)的，延續(xù)了初中的銳角三角函數(shù)定義，在此基礎(chǔ)上結(jié)合任意角的推廣加以深入學(xué)習(xí).作為函數(shù)主線的一個(gè)延續(xù)，三角函數(shù)是高中階段學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù).同時(shí)，三角函數(shù)又與前面學(xué)過(guò)的其他基本初等函數(shù)有一些差別，特別是三角函數(shù)是合理描繪客觀世界中周期性變化規(guī)律的一類重要函數(shù)模型，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其他領(lǐng)域中有著非常重要的作用.

本節(jié)課基于銳角三角函數(shù)定義以及“任意角和弧度制”，結(jié)合角的推廣與三角函數(shù)的引入來(lái)構(gòu)建本知識(shí)模塊.借助現(xiàn)實(shí)世界中的周期性現(xiàn)象與特殊模型，深刻感受三角函數(shù)概念的必要性，并借助單位圓的引入與直觀作用來(lái)定義相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù).

2 教學(xué)分析

2.1 學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）會(huì)通過(guò)求任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求任意角的三角函數(shù)值.

（2）能理解任意角的三角函數(shù)的定義，以及定義產(chǎn)生的背景與實(shí)際應(yīng)用，并在此基礎(chǔ)上掌握相應(yīng)三角函數(shù)的定義；進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的概念、表示等的理解與掌握.

2.2 學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

（1）通過(guò)數(shù)形結(jié)合探究三角函數(shù)的概念，培養(yǎng)直觀想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）通過(guò)對(duì)實(shí)際生活案例的探究，利用三角函數(shù)構(gòu)建模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)能力.

2.3 重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：理解任意角三角函數(shù)的定義，能利用定義求任意角的三角函數(shù)值.

（2）教學(xué)難點(diǎn)：理解三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中具有周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，能從現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例中抽象出三角函數(shù)模型并解決實(shí)際問(wèn)題.

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 復(fù)習(xí)回顧，創(chuàng)設(shè)情境

（1）課前回顧

問(wèn)題1前面部分，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角和弧度制的相關(guān)知識(shí).請(qǐng)完成對(duì)應(yīng)的概念填空（學(xué)案內(nèi)容，這里略）.

師生活動(dòng)：學(xué)生課前預(yù)習(xí)，自主完成.教師直接提問(wèn)，檢查學(xué)生完成情況.

教學(xué)說(shuō)明：復(fù)習(xí)任意角與弧度制的定義，為引入三角函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)；通過(guò)表格的填寫，一是檢驗(yàn)之前所學(xué)知識(shí)的掌握情況，二是發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識(shí)的局限性，即無(wú)法知道超出銳角之外的角的三角函數(shù)值，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，為拓展做好鋪墊.

問(wèn)題2初中只學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)的概念，現(xiàn)在角的概念拓展到了任意角，三角函數(shù)的概念又該如何重新定義呢？

（2）情境探究

探究活動(dòng)1：筒車（如圖1）是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖2）.因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.基于理想模型，假定筒車上的每一個(gè)盛水筒都進(jìn)行著勻速圓周運(yùn)動(dòng).

簡(jiǎn)單抽象，視盛水筒為一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就類似于圓周上動(dòng)點(diǎn)P的位置變化.我們可以將簡(jiǎn)車抽象為一個(gè)幾何圖形，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖3）.

教師活動(dòng)：為方便研究，我們構(gòu)建出筒車的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)模型如下：筒車轉(zhuǎn)輪的中心點(diǎn)O到水面的距離為h0，其半徑r=1，按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，假定轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360 s.（針對(duì)該問(wèn)題，這里的角速度是多少？即一秒轉(zhuǎn)動(dòng)多少度？）從初始位置點(diǎn)A出發(fā)（圓周與x軸正半軸的交點(diǎn)），求經(jīng)過(guò)t s后，點(diǎn)P相對(duì)于水面的高度h的表達(dá)式.

從圖4來(lái)看，給出粗略的表達(dá)式（定性刻畫）：h=h0±MP.進(jìn)一步，結(jié)合具體情境，如t=20，40，80時(shí)，對(duì)應(yīng)h的表達(dá)式分別是怎樣的？

一般地，過(guò)了t s呢？猜想：h=h0+sin t°.

師生活動(dòng)：學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的推移，筒車不斷轉(zhuǎn)動(dòng)，角度也不知不覺(jué)地推廣到了任意角.結(jié)合探究過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生討論“對(duì)于任意角α，sin α該如何定義才合情合理”？

教學(xué)說(shuō)明：基于問(wèn)題的探究，合理猜想，并在猜想的基礎(chǔ)上加以合理推理與應(yīng)用，這也是概念類教學(xué)中比較常用的一種基本教學(xué)模式，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的自然性與應(yīng)用性.

3.2 模型分析，構(gòu)建新知

探究活動(dòng)2：對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理猜想與推測(cè)，得出h=h0+sin t°，這里時(shí)間為t s.而借助幾何關(guān)系h=h0±MP進(jìn)行比較，則滿足sin t°=±MP.

師生活動(dòng)：結(jié)合圖4加以直觀分析，通過(guò)點(diǎn)P→∠POA→MP→sin ∠POA=±MP，形成一個(gè)關(guān)系鏈.

教師：隨著點(diǎn)P的變化，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系，可知±MP的絕對(duì)值與MP長(zhǎng)度相等，其對(duì)應(yīng)的符號(hào)在第一或第二象限是正的，在第三或第四象限是負(fù)的.

師生活動(dòng)：歸納可知，可借助點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y來(lái)表示并代換相應(yīng)MP或－MP的值.

教學(xué)說(shuō)明：基于初中銳角三角函數(shù)的定義中比值形式，過(guò)渡到坐標(biāo)系中的坐標(biāo)比值，形成知識(shí)的類比與延續(xù)，進(jìn)一步深化初中與高中數(shù)學(xué)之間的自然過(guò)渡與聯(lián)系.

探究小結(jié)：綜合上述探究過(guò)程，總結(jié)提煉三角函數(shù)的概念.（教材中第178頁(yè)內(nèi)容，這里略.）

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

3.3 實(shí)例剖析，鞏固概念

例1（課本第178頁(yè)例1）求5π3的正弦、余弦和正切值，并總結(jié)方法步驟.

方法步驟：（1）畫出角5π3的終邊，與單位圓交于點(diǎn)B；（2）過(guò)點(diǎn)B向坐標(biāo)軸作垂線，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）根據(jù)定義寫出角5π3的三角函數(shù)值.

教學(xué)說(shuō)明：畫出角的終邊，求出其與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo).強(qiáng)化關(guān)鍵知識(shí)的掌握，落實(shí)關(guān)鍵能力的訓(xùn)練，同時(shí)在學(xué)生展示過(guò)程中關(guān)注解題過(guò)程的規(guī)范性.

練習(xí)1利用單位圓的三角函數(shù)定義，請(qǐng)每組同學(xué)負(fù)責(zé)一個(gè)角度的三角函數(shù)值計(jì)算.（題略）

學(xué)生活動(dòng)：分組完成，答案交流.

教學(xué)說(shuō)明：合理有效且及時(shí)的鞏固是學(xué)習(xí)概念、公式等最為有效的方式，結(jié)合例題與相應(yīng)的練習(xí)，可以很好達(dá)到目的，同時(shí)不斷加以強(qiáng)化.

3.4 探索提升，完善成果

探究活動(dòng)3：已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P（－4，3），求角θ的三角函數(shù)值.

教學(xué)說(shuō)明：對(duì)課本例2進(jìn)行取值處理，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般理解方法，同時(shí)掌握與任意點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的計(jì)算公式.

探索成果：如圖5，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r=|OP|=x2+y2，則可得sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx.

練習(xí)2（課本第180頁(yè)練習(xí)3）已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P（－12，5），求角θ的三角函數(shù)值.

教學(xué)說(shuō)明：從不同思維視角確定求解角的三角函數(shù)值的技巧與方法，拓展思維，提升應(yīng)用.

3.5 課堂小結(jié)，梳理體系

教師活動(dòng)：（1）三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中具有周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，例如筒車的盛水筒隨筒車轉(zhuǎn)動(dòng)源源不斷運(yùn)水灌溉這一運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

（2）本節(jié)課借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，具體計(jì)算步驟為：畫出角θ的終邊，其與單位圓交于點(diǎn)P0；過(guò)點(diǎn)P0向坐標(biāo)軸作垂線，求出點(diǎn)P0的坐標(biāo)；根據(jù)定義寫出角θ的三角函數(shù)值.

4 教學(xué)反思

4.1 優(yōu)點(diǎn)剖析，繼承發(fā)揚(yáng)

整個(gè)教學(xué)案設(shè)計(jì)清晰規(guī)范，各環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)合理，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程，注重情境引入，課內(nèi)教學(xué)形式多樣，充分發(fā)揮了學(xué)生自助、互助以及教師幫助的作用，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，學(xué)生思維活躍，課內(nèi)注重必備知識(shí)的落實(shí)、關(guān)鍵能力的培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的發(fā)展.

4.2 缺點(diǎn)建議，優(yōu)化提升

在具體設(shè)計(jì)中，要有機(jī)構(gòu)建初中的銳角三角函數(shù)定義與高中的任意角三角函數(shù)定義這兩個(gè)概念之間的關(guān)系，形成一個(gè)連續(xù)的思維過(guò)程與升華過(guò)程.同時(shí)，在具體教學(xué)中，教師要注意指出學(xué)生展示中的規(guī)范性問(wèn)題，從細(xì)節(jié)入手，細(xì)致到位.