摘要：依托一道高考模擬題中的拋物線問題，借助問題的動態(tài)與靜態(tài)的巧妙融合，從代數(shù)、距離、焦半徑等不同思維視

角切入，開拓數(shù)學(xué)思維，拓展解題技巧，合理變式拓展，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)與探究學(xué)習(xí)，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：拋物線;動點;代數(shù);距離;焦半徑

直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合問題，是高考命題的一類基本類型.此類問題，基于拋物線自身所具有平面解析幾何的基本屬性，或者曲線所對應(yīng)的平面幾何的性質(zhì)特征等，特別是拋物線的焦點弦或焦半徑問題、拋物線的光學(xué)性質(zhì)問題等，有效聯(lián)系拋物線自身“數(shù)”的本質(zhì)屬性與“形”的幾何特征，合理利用邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等來分析與解決，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)基本能力，具有較好的區(qū)分度與選拔性，備受命題者青睞.

1 問題呈現(xiàn)

問題已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足y1y2=－16，則|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為.

此題以拋物線為問題背景，利用拋物線上兩個特殊的動點A，B所滿足的條件（

隱含條件，AB是焦點弦）來設(shè)置，進(jìn)而確定含有兩動點的坐標(biāo)關(guān)系式的絕對值之和的最值問題.

而在解題時，可以從所求式子的代數(shù)視角切入，利用純代數(shù)法來推理與運算；也可以從所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征視角切入，利用距離法來推理與運算；還可以回歸焦點弦的本質(zhì)，從焦半徑公式視角切入，利用焦半徑法來推理與運算.三個不同的思維視角對應(yīng)三種不同的技巧與方法.

2 問題破解

解法1：純代數(shù)法.

依題意可得|x1+y1+2|=y218+y1+2=18（y1+4）2，同理可得|x2+y2+2|=18（y2+4）2.

因為y1y2=－16，所以18（y1+4）2+18（y2+4）2=18[（y1+y2）2+8（y1+y2）+32－2y1y2]=18×[（y1+y2+4）2+48]≥6，當(dāng)且僅當(dāng)y1+y2+4=0，即y1+y2=－4且y1y2=－16時，等號成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為6.

點評：純代數(shù)法解決平面解析幾何問題，對于代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化有著非常高的要求，借助絕對值的變化、代數(shù)式的配方等，進(jìn)而利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析與處理，過程簡捷，步驟優(yōu)化，是解決該問題的一種非常不錯的“巧技妙法”.

解法2：距離法.

依題可設(shè)直線AB的方程為x=my+n，n>0.

聯(lián)立x=my+n，y2=8x，消去x并整理可得y2－8my－8n=0，則有y1+y2=8m，y1y2=－8n=－16，解得n=2，故直線AB過焦點F（2，0）.

設(shè)AB的中點為M，則yM=12（y1+y2）=4m，xM=myM+n=4m2+2，所以M（4m2+2，4m）.

設(shè)點A，B，M到直線l：x+y+2=0的距離分別為d1，d2，d，由梯形的中位線定理可得d1+d2=2d.

利用點到直線的距離公式，可得

d1=|x1+y1+2|2，

d2=|x2+y2+2|2，

d=|xM+yM+2|2.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=2（d1+d2）=22d=8（m2+m+1）=8m+122+6≥6，當(dāng)且僅當(dāng)m+12=0，即m=－12時，等號成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為6.

點評：距離法的依據(jù)是所求結(jié)果中的代數(shù)式吻合點到直線的距離公式，自然聯(lián)想到通過點到直線的距離公式來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.距離法離不開平面幾何的基本性質(zhì)，以及平面解析幾何中的點、直線等要素，綜合起來加以應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，得以實現(xiàn)代數(shù)式的最值的求解.距離法的求解比較容易構(gòu)建，但解題過程要加以合理轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用.

解法3：焦半徑法.

同解法2可得直線AB過焦點F（2，0）.

由拋物線的焦半徑公式，數(shù)形結(jié)合可得x1+y1+2=|AF|+y1≥|y1|+y1≥0，同理可得x2+y2+2≥0.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=|AF|+y1+|BF|+y2=|AB|+y1+y2=|AB|+8m.

而|AB|=1+m2|y1－y2|=1+m2·（y1+y2）2－4y1y2=8（1+m2）.

所以|AB|+8m=8（m2+m+1）=8m+122+6≥6，當(dāng)且僅當(dāng)m+12=0，即m=－12時，等號成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為6.

點評：焦半徑法的應(yīng)用前提必須是對應(yīng)的直線過焦點，推理并分析直線的性質(zhì)就成為解決問題的首要條件.而焦半徑法的應(yīng)用，可以結(jié)合拋物線的定義，以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思維，是一種不錯的解法.同時，焦半徑法的應(yīng)用，也給此類問題的深入探究與變式拓展提供方向，為深度學(xué)習(xí)提供條件.

3 變式拓展

3.1 改變條件

根據(jù)原問題的焦半徑法，其中利用了拋物線中的定值“y1y2=－p2”，為確定直線AB過焦點F提供條件.那么改變問題條件，從拋物線中的另一個定值“x1x2=p24”入手加以創(chuàng)設(shè)，得到以下對應(yīng)的變式問題［1］.

變式1已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足x1x2=4，則|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為.

解析：依題，設(shè)直線AB的方程為x=my+n，n>0.

聯(lián)立x=my+n，y2=8x，消去y，得x2－（8m2+2n）x+n2=0，則有x1+x2=8m2+2n，x1x2=n2=4，解得n=2，故直線AB過焦點F（2，0）.

由以上聯(lián)立的方程，消去x并整理可得y2－8my－8n=0，則有y1+y2=8m，y1y2=－8n=－16.

由拋物線的焦半徑公式，數(shù)形結(jié)合可得x1+y1+2=|AF|+y1≥|y1|+y1≥0，同理可得x2+y2+2≥0.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=|AF|+y1+|BF|+y2=|AB|+y1+y2=|AB|+8m.

而|AB|=1+m2|y1－y2|=1+m2·（y1+y2）2－4y1y2=1+m2·64m2+64=8（1+m2），所以可得

|AB|+8m=8（m2+m+1）=8m+122+34≥6，當(dāng)且僅當(dāng)m+12=0，即m=－12時等號成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為6.

故填答案：6.

3.2 改變設(shè)問

根據(jù)原問題的距離法，合理改變題設(shè)條件或含有兩動點的坐標(biāo)關(guān)系式的所求代數(shù)式，以更加復(fù)雜的題設(shè)條件或直線方程形式來設(shè)置，給距離法的應(yīng)用提供條件，得到對應(yīng)的變式問題.

變式2已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足x1x2+y1y2=0，則|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為.（參考答案：18）

變式3已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足y1y2=－16，則|x1+3y1+6|+|x2+3y2+6|的最小值為.（參考答案：10）

4 教學(xué)啟示

依托拋物線的方程與基本性質(zhì)，結(jié)合拋物線自身“數(shù)”的本質(zhì)屬性與“形”的幾何特征，給涉及拋物線的綜合應(yīng)用問題的解決提供更加寬廣的空間.基于此，為問題的深入拓展與變式應(yīng)用提供條件，為深度學(xué)習(xí)與探究學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

從問題的題設(shè)條件與解析過程入手，依托“一題多解”與“一題多變”，巧思維探究，妙方法拓展，進(jìn)一步提升問題的綜合性、應(yīng)用性以及創(chuàng)新性等，成為更加全面、細(xì)致地考查學(xué)生的“四基”與“四能”的一種重要方式.

參考文獻(xiàn)：

[1]韓文美.焦點之弦，靈巧善變——基于一道教材例題的探究（拋物線）[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)），2022（11）：15-16，18.