立德樹(shù)人是教育的根本任務(wù)．大部分學(xué)生將來(lái)不以數(shù)學(xué)為職業(yè)．?dāng)?shù)學(xué)教育在這些學(xué)生的生活及職業(yè)發(fā)展中的作用，主要體現(xiàn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題．這是學(xué)生“有本領(lǐng)”的主要體現(xiàn)．課標(biāo)對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的考查，給出了具體要求．課標(biāo)指出，要在情境中考查核心素養(yǎng)，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)[1]．中考命題要貫徹課標(biāo)的要求，注重考查運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．函數(shù)是初中解決實(shí)際問(wèn)題的主要工具．用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的試題，注重考查思維過(guò)程，是改變相對(duì)固定的試題形式，減少“機(jī)械刷題”的抓手．

1 當(dāng)前函數(shù)試題的現(xiàn)狀與困境

函數(shù)題一度作為壓軸題．為了保證區(qū)分度，試題形式不斷變化．有一段時(shí)間認(rèn)為，綜合運(yùn)用知識(shí)就是在知識(shí)交匯處命題．中考曾經(jīng)出現(xiàn)了一些函數(shù)與幾何交匯的試題．當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是創(chuàng)新．典型的題目如下：

如圖1，已知直線y=kx?6與拋物線y=ax2+bx+c交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．

（1）拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使ΔPOB與ΔPOC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且ΔABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

該題中的拋物線是二次函數(shù)圖象．問(wèn)題是找出滿足條件的全等三角形和直角三角形．解答題目需要算邊長(zhǎng)（長(zhǎng)度，即兩點(diǎn)間距離，兩點(diǎn)間距離公式為高中解析幾何內(nèi)容）、角度，做輔助線，構(gòu)造全等與相似．長(zhǎng)度與角度是幾何問(wèn)題，不是函數(shù)問(wèn)題．函數(shù)是研究變量間的關(guān)系，通過(guò)這種相依數(shù)量關(guān)系來(lái)研究變化規(guī)律．做輔助線，構(gòu)造全等與相似是典型的平面幾何方法．該題的實(shí)質(zhì)是以函數(shù)圖象為背景，考查平面幾何．?dāng)?shù)學(xué)是自然的，有其產(chǎn)生的背景與脈絡(luò)，在歷史發(fā)展中形成了研究問(wèn)題與方法．人為的隨意交匯，不能產(chǎn)生有意義、有價(jià)值的問(wèn)題．

兩點(diǎn)間距離公式為高中解析幾何內(nèi)容．該題卻不是經(jīng)典的解析幾何問(wèn)題．解析幾何產(chǎn)生于十七世紀(jì)的歐洲，是在社會(huì)需求下產(chǎn)生的．當(dāng)時(shí)，機(jī)械研究提出了動(dòng)力學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，堤壩修建提出了力學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，航海業(yè)提出了測(cè)量問(wèn)題，造船業(yè)提出了描繪船體各部位曲線問(wèn)題，望遠(yuǎn)鏡的制造提出了透鏡表面形狀問(wèn)題，火器制造業(yè)提出了拋射體軌跡與定量計(jì)算問(wèn)題，這些問(wèn)題推動(dòng)了解析幾何的產(chǎn)生．高中解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法，主要探討曲線的方程，曲線的交點(diǎn)及其延伸出的兩點(diǎn)間距離，直線的斜率及其代表的角度，核心概念是距離和斜率，主要方法是列方程與解方程（組）．這些研究問(wèn)題、內(nèi)容與方法，是自然形成的，不能與函數(shù)或者平面幾何知識(shí)隨意交匯而產(chǎn)生有意義、有價(jià)值的問(wèn)題．人為的知識(shí)交匯，只能創(chuàng)造“牛頭馬面”式的虛構(gòu)問(wèn)題．

函數(shù)試題的另一種創(chuàng)新形式是含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，這主要是向高考銜接，本質(zhì)上是多元函數(shù)問(wèn)題．含參的一次函數(shù)題，大部分表現(xiàn)為線性規(guī)劃問(wèn)題．教育部《關(guān)于做好2022年中考命題工作的通知》明確要求，嚴(yán)格依據(jù)課標(biāo)命題，不得擴(kuò)大考試內(nèi)容范圍，嚴(yán)禁將高中課程內(nèi)容作為考試內(nèi)容．這兩類(lèi)題擴(kuò)大了考試內(nèi)容范圍，違背了以大概念（大概念是數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的概括與總結(jié)，教育功能是遷移）[2]為核心、以結(jié)構(gòu)化知識(shí)為載體的課標(biāo)要求．

學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)要求，以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)為載體考查核心素養(yǎng)，在情境中考查核心素養(yǎng)[1]．按照這個(gè)要求，把關(guān)題的載體是多樣的，函數(shù)題不應(yīng)必然作為壓軸題．中考應(yīng)該是多點(diǎn)把關(guān)、知識(shí)輪動(dòng)，才能做到試題形式多樣化，從而使學(xué)生減少刷題．

2 函數(shù)試題要著重在現(xiàn)實(shí)背景中0eeb621311badcef871990eedbe58d4af1d90124145367252a36fed785328b3c考查抽象能力

函數(shù)產(chǎn)生于實(shí)際問(wèn)題中，它是描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)工具．初中學(xué)的函數(shù)比較簡(jiǎn)單，單純?cè)跀?shù)學(xué)內(nèi)部考查函數(shù)知識(shí)，沒(méi)有很好的區(qū)分度．函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，有較好的區(qū)分度，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值——運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題．這是堅(jiān)持素養(yǎng)立意，堅(jiān)持試題內(nèi)容與育人目標(biāo)相結(jié)合的一種命題思路．

2.1 對(duì)實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)關(guān)系的理解是考查抽象能力的一個(gè)切入點(diǎn)

實(shí)際問(wèn)題多是用自然語(yǔ)言描述的．若實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量較多，則多用圖象或圖表表達(dá)．圖象與圖表是一種視覺(jué)表征，是視覺(jué)推理的一種應(yīng)用．讀懂圖象與圖表是理解實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，也是一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．圖象整體表達(dá)數(shù)量（函數(shù)）關(guān)系，直觀揭示變化規(guī)律．理解圖象表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義及函數(shù)關(guān)系，是抽象能力的一個(gè)重要表現(xiàn)；也是考查抽象能力的一個(gè)切入點(diǎn)．下題就是一個(gè)典型樣例．

甲乙兩人勻速?gòu)耐坏攸c(diǎn)到1500米處的圖書(shū)館看書(shū)，甲出發(fā)5分鐘后，乙以一定速度沿同一路線行走．設(shè)甲乙兩人相距s（米），甲行走的時(shí)間為t（分），s為t的函數(shù)．圖象一部分如圖2所示．當(dāng)甲出發(fā)多少分鐘時(shí)，甲、乙兩人相距360米[3]？

該題典型地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的閱讀方式——先整體把握問(wèn)題，生成一種假設(shè)，再通過(guò)閱讀尋求證據(jù)驗(yàn)證假設(shè)[4]．該題的縱坐標(biāo)，不是學(xué)生熟悉的路程，而是路程差．這給學(xué)生理解問(wèn)題帶來(lái)困擾．對(duì)圖2的解釋?zhuān)瑢W(xué)生需要調(diào)用學(xué)校生活經(jīng)驗(yàn)．甲步行先走（乙未動(dòng)），兩人間的距離拉大．乙5分鐘后以大于甲的速度（如騎自行車(chē)）追趕．從橫軸5分鐘時(shí)刻起，兩人間距開(kāi)始減少．乙趕上甲時(shí)，兩人間距變成零．之后間距再次拉大，直到乙到達(dá)圖書(shū)館．此時(shí)間距最大．乙到達(dá)圖書(shū)館后停止移動(dòng)，甲繼續(xù)向圖書(shū)館移動(dòng)，兩人間距又開(kāi)始減少，直至變成零．從圖象看，兩人間距曾達(dá)到450米，說(shuō)明最大間距不小于450米．題目所求間距360米的時(shí)刻，應(yīng)該有兩個(gè)（最大間距對(duì)應(yīng)時(shí)刻前后各一個(gè)）．圖象只是部分運(yùn)動(dòng)過(guò)程，不是全部．

調(diào)用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)讀懂圖象是學(xué)生理解該題的關(guān)鍵，這是視覺(jué)推理的一種重要表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)眼光的重要成分．該題可以用函數(shù)知識(shí)來(lái)做．利用函數(shù)與方程的關(guān)系，也可以用方程來(lái)做．這類(lèi)題聚焦函數(shù)和方程的核心思想，考查抽象能力，有多種解法，有一定的區(qū)分度．函數(shù)應(yīng)用是教材的重點(diǎn)內(nèi)容．教材中有很多用圖象表達(dá)的素材（也有縱軸是路程差或者進(jìn)水量與出水量差的素材）．在這種素材上編制有區(qū)分度的試題，真正體現(xiàn)了回歸教材，以標(biāo)命題，把中考內(nèi)容與育人目標(biāo)相結(jié)合．

運(yùn)用圖象進(jìn)行大小比較是用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的一類(lèi)典型問(wèn)題．大小是一種重要的數(shù)量關(guān)系，也是生活中的一類(lèi)重要問(wèn)題，是函數(shù)增減性（單調(diào)性）的重要應(yīng)用，如效用最大，花費(fèi)最少等問(wèn)題．初中、高中教材中也有很多這類(lèi)問(wèn)題．依據(jù)這些素材編制一些拓展性題目，也是一種回歸教材的命題思路，既考查了應(yīng)用意識(shí)，也考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識(shí)準(zhǔn)備情況，典型體現(xiàn)了中考的目的．

2.2 識(shí)別核心變量及其關(guān)系是考查抽象能力的著力點(diǎn)

有些問(wèn)題數(shù)量關(guān)系較多．學(xué)生往往抓不住核心變量．能從實(shí)際情境中抽象出核心變量，是數(shù)學(xué)抽象能力的主要表現(xiàn)[1]．依托數(shù)量關(guān)系多的素材，命制函數(shù)應(yīng)用題，是考查抽象能力的一個(gè)著力點(diǎn)．

人教社教材中有一個(gè)租車(chē)問(wèn)題：

某學(xué)校計(jì)劃在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車(chē)送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動(dòng)，每輛汽車(chē)上至少要有1名教師．現(xiàn)在甲、乙兩種大客車(chē)，甲種客車(chē)最大載客量45人，乙種客車(chē)最大載客量30人．甲種客車(chē)每輛租金400元，乙種客車(chē)每輛租金280元．請(qǐng)給出最節(jié)省費(fèi)用的租車(chē)方案[5]．

該題數(shù)量多，數(shù)量關(guān)系多．?dāng)?shù)量關(guān)系是典型的“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”與“總量=分量+分量”，核心變量是總費(fèi)用與甲、乙兩種客車(chē)費(fèi)用．甲、乙客車(chē)的載客人數(shù)是次要因素．識(shí)別核心變量是構(gòu)建該題思路的關(guān)鍵．學(xué)生對(duì)該題大多沒(méi)有思路，教師也認(rèn)為不好講．這是一個(gè)有區(qū)分度的題，可以利用簡(jiǎn)化條件法進(jìn)行改編[6]，命制中考題．

把載客人數(shù)的要求去掉，固定車(chē)輛總數(shù)，仍然體現(xiàn)主要思路．可變?yōu)楹?jiǎn)單問(wèn)題：甲種客車(chē)每輛租金400元，乙種客車(chē)每輛租金280元，在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，若租7輛客車(chē)，給出最節(jié)省費(fèi)用的租車(chē)方案．

該題拓展一下，可以變?yōu)檩^難題：甲種客車(chē)每輛租金400元，乙f4b359f69370270f346ab616363febbca3be1462e0381d9a2f1500683227c7a3種客車(chē)每輛租金280元；甲種客車(chē)最大載客量45人，乙種客車(chē)最大載客量30人．在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車(chē)送234名學(xué)生與8名教師集體外出參加活動(dòng)，每輛汽車(chē)上至少有1名教師，給出最節(jié)省費(fèi)用的租車(chē)方案．

教材例題控制條件，使得只能有6輛車(chē)．較難題與例題思路一致，車(chē)輛總數(shù)可以取幾個(gè)值，變成幾個(gè)最小值之間的比較，復(fù)雜度增加．簡(jiǎn)單題與拓展題組成一個(gè)大題，簡(jiǎn)單題大部分學(xué)生會(huì)做，也啟發(fā)拓展題思路，體現(xiàn)層次性，是一種有價(jià)值的命題思路．

在命制含有多個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目時(shí)，需要仔細(xì)斟酌數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，確保實(shí)現(xiàn)命題意圖．教材有這樣一道習(xí)題：A城有肥料200噸，B城有肥料300噸．現(xiàn)要把這些肥料運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)．從A城運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)肥料的費(fèi)用分別為20元每噸與25元每噸，從B城運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)肥料的費(fèi)用分別為15元每噸與24元每噸．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，怎樣調(diào)運(yùn)運(yùn)費(fèi)最少[4]？

本題可以用一次函數(shù)的增減性來(lái)做，也可以利用直覺(jué)推理來(lái)做．B城運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)，分別比A城運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)低．優(yōu)先把B城中的肥料運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)．B城運(yùn)往C鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)最低，優(yōu)先運(yùn)往C鄉(xiāng)．C鄉(xiāng)需求240噸肥料，B城有300噸．B城運(yùn)240噸肥料往C鄉(xiāng)，剩余60噸只能運(yùn)往D鄉(xiāng)．A城所有的200噸肥料，也只好運(yùn)往D鄉(xiāng)，恰好滿足條件．假如B城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料中，有1噸被A城肥料替換．B城被A城替代的1噸需要運(yùn)往D鄉(xiāng)，則總運(yùn)費(fèi)增加（2015）（2415）14?+?=元，所以上述調(diào)運(yùn)方案最優(yōu)．這種直覺(jué)推理，本質(zhì)上還是利用一次函數(shù)的增減性，最值在定義域端點(diǎn)處取得．學(xué)生沒(méi)有意識(shí)到一次函數(shù)的本質(zhì)作用，也可以單純依靠直覺(jué)推理得到結(jié)論．該題命題意圖如果是考查一次函數(shù)，則需要改進(jìn)．比如把數(shù)據(jù)調(diào)整一下（該題數(shù)據(jù)調(diào)整充滿陷阱，只有滿足一個(gè)較為特殊的條件才行）．該題命題意圖如果是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，則是一道好題．它的背景簡(jiǎn)單，學(xué)生都能理解．它有多種解法，既可以用直覺(jué)推理來(lái)做，也可以用一次函數(shù)來(lái)做．它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力，如函數(shù)和邏輯推理．它可以進(jìn)一步展開(kāi)與一般化，變成線性規(guī)劃問(wèn)題，其函數(shù)解法也可以一般化．

實(shí)際問(wèn)題的情境是多樣的，即使費(fèi)用最少這類(lèi)問(wèn)題，其背景也是多樣的．可以結(jié)合地域特色來(lái)命制，凸顯育人導(dǎo)向．實(shí)際情境可以多個(gè)維度復(fù)雜化，像結(jié)合視覺(jué)推理，用圖象與表格表達(dá)數(shù)據(jù)；或者增加一些起次要作用的數(shù)量關(guān)系限制主要變量的取值范圍等，從而拓展命制不同難度的題目．

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（本文系福建省教育科學(xué)規(guī)劃2022教育考試招生重點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)課題“基于初中學(xué)業(yè)水平考試評(píng)價(jià)體系的考試內(nèi)容改革實(shí)施路徑研究”（課題編號(hào)：FJJYKS22-22）的研究成果）