摘 要：為研究柔性結(jié)構(gòu)大變形問題，采用絕對節(jié)點坐標法（absolute nodal coordinate formulation， ANCF）對大變形柔性體結(jié)構(gòu)進行建模。該方法由變形梯度和格林-拉格朗日應(yīng)變來描述結(jié)構(gòu)的運動以及變形，通過斜率矢量替代傳統(tǒng)有限元法中的廣義節(jié)點坐標，可直接用于解決結(jié)構(gòu)中較復(fù)雜的大位移、大轉(zhuǎn)動和大變形問題。根據(jù)絕對節(jié)點坐標法原理，研究薄板單元以及全參數(shù)板單元的振動特性，利用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)推導(dǎo)出單元的廣義彈性力矩陣和切線剛度矩陣，由此建立板單元的動力學(xué)方程。利用MATLAB軟件分別對薄板單元和全參數(shù)板單元進行自由模態(tài)分析，并將其仿真結(jié)果與ANSYS結(jié)果進行比較，同時通過牛頓迭代法驗證2種板單元的收斂性。結(jié)果表明，消除厚度振蕩影響的降階薄板單元比全參數(shù)板單元有更好的精度和收斂特性，在針對模態(tài)分析的結(jié)構(gòu)上，通過固有頻率對比數(shù)據(jù)得出誤差基本一致，從而單元的正確性得到驗證，為后續(xù)研究和應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：絕對節(jié)點坐標法（ANCF）；固有頻率；模態(tài)分析

中圖分類號：TB123 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2024.04.004

0 引言

近年來，隨著科技的不斷發(fā)展，各式各樣的結(jié)構(gòu)面世，結(jié)構(gòu)的振動特性分析成為熱點話題。吳寒劍等[1]通過彈塑性理論和線黏性理論對被動約束層阻尼梁的振動特性進行分析。韋笑梅等[2]將壓電材料敷設(shè)到梁的表面形成壓電智能梁，對其進行自由振動分析。Tian等[3]考慮運動中空氣動力對薄膜的影響，研究附加空氣質(zhì)量對薄膜材料參數(shù)的變化以及空氣動力對薄膜振動頻率和振幅的影響。孫悅等[4]采用虛擬激勵法求解雙面敷設(shè)硬涂層的薄板結(jié)構(gòu)，在隨機載荷譜的作用下研究結(jié)構(gòu)的振動特性。邵明月等[5]基于Von Karman薄板理論推導(dǎo)出軸向運動薄膜的非線性振動方程，研究了初始條件以及隨從力和長寬比對薄膜振動特性的影響。Si等[6]建立了耦合熱黏度和流動傳熱的薄膜振動模型，分析了黏度對能量損失的影響。以上針對薄板振動特性的研究都能有效地計算，但整體計算過程較為復(fù)雜且效率較低。

當(dāng)今柔性板材被廣泛應(yīng)用于航天、醫(yī)療以及機械等領(lǐng)域。例如航天器太陽能展開帆板由柔性材料制造，具有重量輕、能耗低、收攏體積小、展開面積大以及可靠性高等優(yōu)點。利用浮動坐標系法進行建模對于柔性體的小變形問題具有較高的計算精度和效率，但該方法不能精準描述大轉(zhuǎn)動、大變形柔性多體系統(tǒng)。Shabana[7]提出絕對節(jié)點坐標法（absolute nodal coordinate formulation， ANCF），該方法主要以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和有限元法為理論基礎(chǔ)，利用變形梯度和格林-拉格朗日應(yīng)變來描述單元的運動和變形。使用ANCF方法建立模型時，在絕對節(jié)點坐標列陣中，不包含對插值精度要求高的轉(zhuǎn)角坐標，而是用斜率矢量來代替，在導(dǎo)出的動力學(xué)方程中，質(zhì)量矩陣是常數(shù)矩陣，不需要考慮科氏力項和離心力項，從而避免了小轉(zhuǎn)角的約束。目前ANCF方法廣泛應(yīng)用于解決結(jié)構(gòu)大變形和大轉(zhuǎn)動問題的柔性多體動力學(xué)系統(tǒng)。

近年來國內(nèi)外學(xué)者將絕對節(jié)點坐標法應(yīng)用于板結(jié)構(gòu)建模，對一系列基于絕對節(jié)點坐標法的板單元模型進行闡述。Shabana等[8]率先基于ANCF方法提出了一種三維四節(jié)點板單元模型，該單元下每個節(jié)點通過3個位置坐標和9個位移tXrspIvC+Hk1k1xFjNKROA==斜率坐標進行描述，單元所包含的48個絕對節(jié)點坐標全部基于全局坐標系定義。Dufva等[9]基于現(xiàn)有的板殼單元進行優(yōu)化，對其單元節(jié)點進行簡化，薄板單元的厚度較小，忽略其單元在厚度方向上的影響，提出了一種斜率缺失（slope deficient element）薄板單元模型。趙將[10]利用ANCF縮減薄殼單元對黏彈性薄膜太陽帆自旋展開動力學(xué)進行了分析。周宇航等[11]將ANCF板模型推廣到復(fù)合材料層板，對于大變形復(fù)合材料層板的動力學(xué)建模進行研究。羅晶晶[12]將ANCF板單元進行動力學(xué)穩(wěn)定研究，分析了其動力學(xué)性能及穩(wěn)定性與材料參數(shù)之間的關(guān)系。Zhang等[13]利用ANCF殼單元研究旋轉(zhuǎn)斜板的振動特性，分析了斜角和縱橫比對模態(tài)特性變化的影響。鮑康文等[14]利用ANCF四面體單元研究體積坐標下的動力學(xué)模型，分析了模型在靜動態(tài)實例下的收斂性和精度。上述研究主要集中在板殼單元模型的建模仿真分析以及彈性力的研究上，利用ANCF方法分析柔性體大變形的特點，目前對其結(jié)構(gòu)進行振動特性分析的研究還較少。

本文將柔性板單元振動特性作為研究結(jié)構(gòu)主動控制的理論基礎(chǔ)。基于ANCF方法建立薄板單元和全參數(shù)板單元的模型，通過牛頓迭代法對比全參數(shù)板單元以及降階薄板單元的收斂性，同時對其2種單元的振動特性進行研究，分析其自由振動模態(tài)，同時通過MATLAB和ANSYS商業(yè)軟件對模型進行仿真分析，證明該方法的正確性，為后續(xù)柔性體振動控制研究提供可靠的理論基礎(chǔ)。

1 單元模型

1.1 全參數(shù)板單元

如圖1所示，全參數(shù)板單元的長、寬、厚分別以a、b和t表示。O-XYZ為全局坐標系，用以定義單元節(jié)點下所有坐標。o-xyz為局部坐標系，描述在板單元上任意一點的相對位置。該板單元4個節(jié)點分別以A、B、C、D表示，每個節(jié)點通過3個位置坐標和9個位移斜率坐標對其進行描述，因此全參數(shù)板單元共包含48個絕對節(jié)點坐標。

對于三維四節(jié)點全參數(shù)板單元，板單元上任意一點[P]的全局絕對節(jié)點坐標位置矢量[r]為

[r=r1r2r3=S（x， y， z）e]， （1）

式中：[S（x， y， z）]為形函數(shù)矩陣；[e]為總節(jié)點坐標矢量。

該單元有4個節(jié)點，其總節(jié)點坐標矢量[e]可以表示為

[e=eΤA， eΤB， eΤC， eΤDΤ.] （2）

單元下任意節(jié)點坐標可表示為

[ei=riΤ，rixΤ，riyΤ，rizΤΤ=[e1， e2， …， e12]T] ，（3）

式中：[ri]表示單元節(jié)點的位置坐標向量；[rijΤ（j=x， y， z）]表示相對于j軸的斜率坐標向量。

[S]為板單元的形函數(shù)矩陣：

[S=S1I， S2I， …， S16I，] （4）

其中[I]為[3×3]的單元矩陣，且有

[S1=（2ξ+1）（ξ-1）2（2η+1）（η-1）2，S2=aξ（ξ-1）2（η-1）2（2η+1），S3=bη（ξ-1）2（η-1）2（2ξ+1），S4=tζ（ξ-1）（η-1），S5=-ξ2（2ξ-3）（2η+1）（η-1）2，S6=aξ2（ξ-1）（2η+1）（η-1）2，S7=-bηξ2（2ξ-3）（η-1）2，S8=-tζξ（η-1），S9=η2ξ2（2ξ-3）（2η-3），S10=-aη2ξ2（ξ-1）（2η-3），S11=-bη2ξ2（η-1）（2ξ-3），S12=tζξη，S13=-η2（2ξ+1）（ξ-1）2（2η-3），S14=-aξη2（ξ-1）2（2η-3），S15=bη2（ξ-1）2（2ξ+1）（η-1），S16=-tηζ（ξ-1），] （5）

式中：[ξ=xa、η=yb、ζ=zt]為無量綱變量。

1.2 薄板單元

由于薄板的厚度較小，在對薄板的研究時對于薄板結(jié)構(gòu)厚度所帶來的變化可以忽略不計，因此，在研究薄板單元時，通常不考慮其在平面外的剪切變形，而是專注于其在平面內(nèi)部引起的拉伸、剪切變形以及中面上產(chǎn)生的橫向變形。如圖2所示，薄板單元中每個單元包含36個節(jié)點自由度，在單元自由度中忽略了沿厚度方向所產(chǎn)生的變形，因此只需要考慮節(jié)點坐標在x和y方向上的梯度。

對于三維四節(jié)點薄板單元，因其厚度很小，其沿板厚度方向的壓縮變形可以忽略，則單元上任意一點[P]的全局絕對節(jié)點坐標位置矢量[r]為

[r=r1r2r3=S（x， y）e.] （6）

該單元有4個節(jié)點，其總節(jié)點坐標矢量[e]可以表示為

[e=eΤA， eΤB， eΤC， eΤDΤ.] （7）

單元下任意節(jié)點坐標可表示為

[ei=riΤ， rixΤ， riyΤΤ=e1， e2， …， e9Τ]， （8）

式中：[ri]表示單元節(jié)點的位置坐標向量；（[rij]）T（ j=x，y）表示相對于j軸的斜率坐標向量。

[S]為薄板單元的形函數(shù)矩陣，

[S=S1I， S2I， …， S12I，] （9）

其中[I]為[3×3]的單元矩陣，且有

[S1=-（ξ-1）（η-1）（2η2-η+2ξ2-ξ-1），S2=-aξ（ξ-1）2（η-1），S3=-bη（ξ-1）（η-1）2，S4=ξ（2η2-η+2ξ2-3ξ）（η-1），S5=-aξ2（ξ-1）（η-1），S6=bξη（η-1）2，S7=-ξη（2η2-3η+2ξ2-3ξ+1），S8=aξ2η（ξ-1），S9=bξη2（η-1），S10=η（ξ-1）（2η2-3η+2ξ2-ξ），S11=aξη（ξ-1）2，S12=-bη2（ξ-1）（η-1），] （10）

式中：[ξ=xa、η=yb]為無量綱變量。

2 彈性力及切線剛度矩陣

2.1 全參數(shù)板單元推導(dǎo)

根據(jù)Cauchy-Green公式，格林-拉格朗日應(yīng)變張量可以寫為

[εm=12FΤF-I，] （11）

式中：[F]為變形梯度矩陣，

[F=?r1?x?r1?y?r1?z?r2?x?r2?y?r2?z?r3?x?r3?y?r3?z.] （12）

應(yīng)變張量是一個對稱型向量，將應(yīng)變張量[εm]的矢量形式[ε]表示如下，

[ε=εxx， εyy， εzz， 2εxy， 2εxz， 2εyzΤ，] （13）

其中，

[εxx=eΤSΤ， xS， xe-1/2， εxy=eΤSΤ， xS， ye/2，εyy=eΤSΤ， yS， ye-1/2， εxz=eΤSΤ， xS， ze/2，εzz=eΤSΤ， zS， ze-1/2， εyz=eΤSΤ， yS， ze/2.] （14）

板單元應(yīng)變能[U]的表達式為

[U=12VεΤEεdV，] （15）

式中：[V]為體積；[E]為彈性力的系數(shù)矩陣，具體表達式如下，

[E=λ+2μλλ000λλ+2μλ000λλλ+2μ000000μ000000μ000000μ，] （16）

式中：[λ=Emv（1+v）（1-2v），μ=Em2（1+v）]，[Em]為材料的彈性模量，[v]為材料的泊松比。

根據(jù)彈性力的定義，板單元的彈性力矩陣[Q]可通過應(yīng)變能對節(jié)點坐標矢量[e]求偏導(dǎo)得到，具體如下：

[Q=?U?e=12V?ε?eΤEεdV.] （17）

對式（17）的彈性力矩陣[Q]再求一次偏導(dǎo)即可得到薄板的切線剛度矩陣[K]，即有

[K=?Q?e=12V?ε?eΤE?ε?edV+12V??e?ε?eΤEεdV.]

（18）

2.2 薄板單元推導(dǎo)

由于節(jié)點坐標中忽略了沿厚度方向的梯度，即存在梯度矩陣：

[F0=?r1?x?r1?y?r2?x?r2?y?r3?x?r3?y.] （19）

因此拉伸、剪切應(yīng)變[εthin]由右柯西-格林變化張量表示為

[εthin=εxxεxyεxyεyy=12FΤ0F0-I=eΤSΤ， xS， xe-1eΤSΤ， xS， yeeΤSΤ， xS， yeeΤSΤ， yS， ye-1.] （20）

將其改寫為列向量形式：

[εthin=εxx， εyy， 2εxyΤ，] （21）

其中，

[εxx=12eΤSΤ， xS， xe-1，εyy=12eΤSΤ， yS， ye-1，εxy=12eΤSΤ， xS， ye，] （22）

式中：[S， ii=x， y]指式（9）對[i]求偏導(dǎo)。

采用Kirchhoff理論，薄板的應(yīng)變能分別由單元面內(nèi)拉伸和剪切變形所引發(fā)的應(yīng)變能和單元面內(nèi)彎曲和扭轉(zhuǎn)變形所引發(fā)的應(yīng)變能兩部分組成，所以薄板單元的應(yīng)變能可以寫成

[Uthin=Uεthin+Uκthin= 12VεΤthinEεthinεthindV+12VκΤthinEκthinκthindV，] （23）

式中：[εthin]為面內(nèi)的應(yīng)變向量；[κthin]為面內(nèi)的曲率向量。

對于各向同性的材料，彈性系數(shù)矩陣[Eεthin]和[Eκthin]定義為

[Eεthin=Em1-v21v0v10001-v/2，Eκthin=h12Eεthin，] （24）

式中：[h]為薄板的厚度。

其中[κ]為薄板單元中面的彎曲、扭轉(zhuǎn)曲率向量，具體表示如下：

[κ=κxx， κyy， 2κxyΤ，] （25）

[καβ=rΤ，αβnn3，] （26）

式中：[n]為中面的法向量，[n=r， x×r， y]；[n=r， x×r， yΤr， x×r， y]；α和β分別代表斜率坐標x和y。

薄板面內(nèi)的彈性力矩陣[Qεthin]可通過應(yīng)變能對節(jié)點坐標矢量[e]求偏導(dǎo)得到，具體如下：

[Qthin=?Uεthin?e=]

[12V?εthin?eΤEεthinεthindV+12V?κthin?eΤEκthinκthindV.] （27）

對式（27）中薄板面內(nèi)的彈性力對[e]再求一次偏導(dǎo)即可得到薄板面內(nèi)的切線剛度矩陣[Kthin]：

[Kthin=?Qεthin?e=]

[12V??e?εthin?eΤEεthinεthindV+]

[12V?εthin?eΤEεthin?εthin?edV+]

[12V??e?κthin?eΤEκthinκthindV+]

[12V?κthin?eΤEκthin?κthin?edV.] （28）

3 質(zhì)量矩陣

絕對節(jié)點坐標法中可以通過單元動能來獲取單元的質(zhì)量矩陣，單元的動能可表示為

[Te=12VρrΤrdV，] （29）

式中：[ρ]為單元的密度；[r]為絕對速度矢量。

絕對速度矢量和節(jié)點速度矢量呈線性關(guān)系，將式（1）、式（6）對于時間求其導(dǎo)數(shù)可以得到：

[r=Sx， y， ze（t）.] （30）

將式（28）代入式（27）中可以得到

[T=12eΤMe.] （31）

則單元的質(zhì)量矩陣[M]的表達式為

[M=VρSΤSdV.] （32）

4 廣義特征方程

根據(jù)牛頓方程推導(dǎo)出單元動力學(xué)方程，即有

[Me+Q=Qf，] （33）

式中：[Qf]代表廣義外力矩陣，針對廣義外力的推導(dǎo)可通過虛功原理。若在板單元上的任意一點施加一個外力[F]，則可基于虛功原理得到

[FΤδr=FΤδ（Se）=FΤSδe.] （34）

因此廣義外力可寫為

[QΤf=FΤS.] （35）

針對系統(tǒng)的固有模態(tài)，對于單元的動力學(xué)模型進行振動分析，將方程進行線性化處理，即存在振動方程表示如下，

[Mδe+Kδe=0.] （36）

此處[K]為系統(tǒng)在靜平衡狀態(tài)下的切線剛度矩陣，即

[K=?Q?e-?Qf?e.] （37）

當(dāng)系統(tǒng)為自由振動時，切向剛度矩陣表示為

[K=?Q?e.] （38）

設(shè)方程（33）的解為

[δe=φexp（jωt），] （39）

式中：[j=-1]；[ω]為角頻率；t為時間。

因此，固有頻率及對應(yīng)固有振型表示為

[K-ω2Mφ=0.] （40）

5 數(shù)值仿真對比

為了驗證ANCF方法的正確性，本節(jié)如圖3所示，將懸臂板的一端固支，基于上述2種單元進行自由振動模態(tài)分析，并通過ANSYS軟件建模計算的結(jié)果做對比分析，以此驗證該方法的正確性。仿真1對全參數(shù)板單元進行仿真對比，其尺寸長×寬×高為0.750 m×0.400 m×0.003 m。仿真2對薄板單元進行仿真對比，考慮到薄板單元忽略厚度方向的影響，選擇其厚度方向為更薄的板材，其尺寸長×寬×高為0.750 0 m×0.400 0 m×0.000 5 m，模型的材料均選用丙烯酸，其材料密度為1 100 kg/m3，彈性模量[Em]=4.5×109 Pa，泊松比v=0.35。

5.1 仿真1

根據(jù)上述研究所建立的全參數(shù)板動力學(xué)模型，利用MATLAB軟件編程計算得到全參數(shù)板單元的前9階振型圖如圖4所示，ANSYS軟件的固有頻率及前9階振型圖如圖5（原始數(shù)據(jù)導(dǎo)出圖）、圖6所示。對比分析的MATLAB軟件計算結(jié)果和ANSYS軟件仿真結(jié)果見表1。

由表1的對比結(jié)果可以看出，平均絕對誤差約為5.52%，通過ANCF方法建立的全參數(shù)板單元模型的固有頻率與ANSYS建立的板單元模型比較一致，但仍存在一些偏差，造成這一誤差的主要原因在于全參數(shù)板考慮了厚度方向所帶來的影響，造成一些梯度分量沿著模型厚度方向的振蕩所引發(fā)的高頻。

根據(jù)上述研究所建立的薄板動力學(xué)模型，利用MATLAB軟件編程計算得到薄板單元的前9階振型圖如圖7所示，ANSYS軟件的固有頻率及前9階振型圖如圖8（原始數(shù)據(jù)導(dǎo)出圖）、圖9所示。對比分析的MATLAB軟件計算結(jié)果和ANSYS軟件仿真結(jié)果見表2。

由表2可知，固有頻率的平均絕對誤差約為0.73%，由于薄板單元消除了沿厚度方向所帶來的影響，因此ANCF方法所建立的薄板單元模型與傳統(tǒng)ANSYS的理論值基本一致。

綜上所述，以上模態(tài)分析結(jié)果充分說明了由ANCF方法所建立的全參數(shù)板單元和薄板單元模型可有效地分析結(jié)構(gòu)固有特性，因此該方法在結(jié)構(gòu)力學(xué)問題分析上具有可行性。

5.2 仿真2

為驗證ANCF方法下板單元的收斂性，本節(jié)針對圖10所示的懸臂板進行靜力學(xué)變形分析。其長×寬×高為0.750 m×0.400 m×0.001 m，模型的彈性模量Em=2.07×1011 Pa，泊松比v=0.30，板自由端受到2個大小為F=5 N的集中外力載荷作用。

由式（18）、式（28）可以看出，單元的剛度矩陣K是節(jié)點坐標的非線性矩陣，因此需要采用數(shù)值計算的方法對其求解。本節(jié)采用牛頓迭代法進行求解，該法主要通過對非線性方程線性化，由線性方程的解逼近非線性方程的解，具體計算過程如圖11所示。

將該板分別劃分為1、2、4、8、16個單元進行靜力學(xué)計算，薄板單元與全參數(shù)板單元自由端位移的橫向變化如圖12所示，同時將結(jié)果與商業(yè)軟件ANSYS的計算結(jié)果進行對比，如表3所示。

[開始][寫出初始節(jié)點坐標[e0]

計算質(zhì)量矩陣[M]

計算廣義外力矩陣[Qf]] [設(shè)置誤差[ε]][計算廣義彈性力矩陣[Q]

計算切線剛度矩陣[K]

[f（e）=Q-Qf]] [[e（k+1）=e（k）-f（e）k]] [[e（k）-e（k+1）≤ε]] [結(jié)束][輸出] [Y] [N]

由圖12可以看出，降階薄板單元消除了沿厚度方向所帶來的影響，通過面內(nèi)曲率來考慮彎曲剛度能有效提高單元的精度和收斂性。表3中通過對ANSYS軟件的對比，使用ANCF薄板單元進行計算得到的橫向位移變形結(jié)果逐漸接近于ANSYS軟件的計算結(jié)果，而由于厚度所帶來的振蕩影響下的全參數(shù)薄板單元存在一定的誤差。

6 總結(jié)

本文通過對全參數(shù)板單元和薄板單元的模型進行仿真分析，研究了2種單元在相同材料下的振動規(guī)律，其結(jié)論如下：

1）基于絕對節(jié)點坐標法理論，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、彈性力矩陣以及切線剛度矩陣，建立全參數(shù)板單元和薄板單元的動力學(xué)模型。

2）利用MATLAB軟件進行自由模態(tài)分析，從而對該方法進行理論驗證，同時利用ANSYS軟件對其進行對比分析，根據(jù)2種軟件計算得出的固有頻率結(jié)果，證明ANCF方法具有可行性，由此為后續(xù)的理論研究和應(yīng)用提供重要的基礎(chǔ)。

3）通過靜力學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，通過面內(nèi)曲率來考慮彎曲剛度的薄板單元具有更好的精度和收斂特性，因此消除沿厚度方向所帶來的影響對于提高單元性能有顯著的影響。

4）基于ANCF方法分析所得到的板單元振動規(guī)律，可應(yīng)用于加入作動器組成智能結(jié)構(gòu)的主動控制研究中，對抑制結(jié)構(gòu)振動具有重要的參考意義。

參考文獻

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Analysis of vibration characteristics of thin plate structures

based on absolute nodal coordinate formulation

ZHAO Xin1， 2， WU Song*1， 2， WU Wei3， QU Hanlong1， 2， NIU Caiyun1

（1. School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China; 2. Guangxi Key Laboratory of Automobile Component and Vehicle Technology（Guangxi

University of Science and Technology）， Liuzhou 545616， China; 3. Liuzhou Zhanhong Technology Co.， Ltd.， Liuzhou 545006， China）

Abstract： To investigate large deformation problem in flexible structures， this paper adopts the absolute nodal coordinate formulation（ANCF）to model the large deformation of flexible bodies. This method describes the motion and deformation of structures using the deformation gradient and Green-Lagrange strain， replacing the generalized nodal coordinates in traditional finite element methods with the slope vector. It can be directly used to solve complex problems of large displacement， rotation， and deformation in structures. Based on the principles of the absolute nodal coordinate formulation， the vibrational characteristics of thin plate elements and fully parameterized plate elements are studied. The generalized elastic moment matrix and tangent stiffness matrix of the elements are derived using continuum mechanics， and the dynamic equations of the plate elements are established. Free modal analysis of thin plate elements and fully parameterized plate elements is conducted using MATLAB software， and the simulation results are compared with those from ANSYS. Additionally， the convergence of the two types of plate elements is verified using the Newton iteration method. The results show that the reduced-order thin plate elements which eliminate the effect of thickness oscillations exhibit better accuracy and convergence characteristics than the fully parameterized plate elements. In structural modal analysis， the error obtained by comparing natural frequencies is essentially consistent， validating the correctness of the elements and providing a theoretical basis for subsequent research and applications.

Keywords： absolute nodal coordinate formulation（ANCF）; natural frequency; modal analysis

（責(zé)任編輯：于艷霞）

收稿日期：2023-08-14；修回日期：2023-11-15

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（51665006）；廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點實驗室自主研究課題（2017GKLACVTZZ01）資助

第一作者：趙鑫，在讀碩士研究生

*通信作者：伍松，博士，高級實驗師，碩士生導(dǎo)師，研究方向：振動與噪聲控制，E-mail：swu262160@163.com