三角形按邊分類主要可以分為三邊不相等的三角形、等腰三角形、等邊三角形.其中等腰三角形、等邊三角形比較特殊,它們具有獨特的性質,還有一些相關的重要定理.有關等腰三角形、等邊三角形的問題比較常見,下面主要探討一下這兩類問題的解法.
一、等腰三角形問題
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形,相等的兩邊都叫做腰.常見的等腰三角形問題有:(1)求等腰三角形的邊長;(2)求等腰三角形的一個內角;(3)判斷三角形的三邊關系能否構成等腰三角形;(4)求等腰三角形的周長;(5)求等腰三角形的面積.在解答等腰三角形問題時,要先明確三角形的哪條邊是底邊,哪兩條邊為腰,然后根據三角形的內角和定理以及等腰三角形的性質來解題.若等腰三角形的頂角、底角是未知的或不確定的,腰或底是不確定的,則需運用分類討論思想,討論三角形的三條邊、角以及三角形的存在性.
①當腰長為2時,三角形的三邊分別為2、2、3,能組成三角形,則三角形的周長為2+ 2+3=7;
②當底邊長為2時,三角形的三邊分別為2、3、3,能組成三角形,三角形的周長為2+ 3+3=8,
所以該等腰三角形的周長為7或8.故本題選D項.
說明:我們HSgMObwfQDOOOzX1Y492NwvvsqIneLCbjMi79vnuVGI=需先根據非負數的性質列出方程組,通過解方程組求出a、b的值;再將a
的值視為腰長或底邊長兩種情況來進行討論、求解.
例2在△ABC中,AB=AC,AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分,求三角形的各邊長.
解得x=8,
即AB=AC=8,則CD=4.故BC=15-4=11.
此時AB+AC>BC,所以三角形的三邊長為8,8,11.
解得x=10.
即AB=AC=10,則CD=5.故BC=12-5=7.
此時AB+AC>BC,所以三角形的三邊長為10,10,7.
綜上所述,此三角形的三邊長分別為8, 8,11或10,10,7.
說明:BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分,哪部分是12cm,哪部分是15cm, 需進行分類討論.
二、等邊三角形問題
三邊都相等的三角形為等邊三角形.等邊三角形是三邊都相等的特殊等腰三角形,又叫正三角形.其三個內角都相等,都等于60°;三角形中所有邊上的高、中線與所有角平分線都相等.常見的等邊三角形問題主要有求等邊三角形的邊長、高線長、面積.解答等邊三角形問題,需根據三角形的三角、三邊
都相等的性質來求解.
例3如圖3,已知AB∥CD,△ACE為等邊三角形,∠DCE=40°,則∠EAB等于().
A.40° B.30 C.20°D.15°
解:∵△ACE為等邊三角形,
∴∠ECA=∠EAC=60°,
∵AB∥CD,∴∠DCA+∠BAC=180°,
∴∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,
∵∠DCE=40°,
∴40°+60°+60°+∠EAB=180°,
解得∠EAB=20°,∴本題選C項.
說明:先根據等邊三角形的性質可得∠ECA=∠EAC=60°,再根據平行線的性質可得∠DCA+∠BAC=180°,然后根據角的和差關系建立關系式即可解題.
可見,解答等腰三角形問題和等邊三角形問題,關鍵是要靈活運用這兩種三角形的性質來建立邊角關系.此外,還需要注意以下兩點:(1)三角形的內角和為180°;(2)三角形任意兩邊的和大于第三邊,三角形任意兩邊的差小于第三邊.這是判斷三條線段能否組成三角形的關鍵.