一元二次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程，一般形式為ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0.通過建立一元二次方程，可以解答多種實(shí)際問題，如增長率問題、銷售利潤問題等.下面舉例予以說明.

一、增長率問題

有許多實(shí)際問題都是增長率問題，如求產(chǎn)品銷量、生產(chǎn)產(chǎn)量、農(nóng)作物的種植量等.運(yùn)用一元二次方程解答增長率問題需要理清原有量、增長后的量、增長率，第1次增長后的量=原有量×（1+增長率），第2次增長后的量=原有量×（1+增長率）2.當(dāng)然有增長率，就有降低率，若兩次均降低，則第2次降低后的量=原有量×（1-降低率）2.運(yùn)用這一公式，設(shè)元建立一元二次方程即可解題.

例12023年10月26日，神舟十七號(hào)發(fā)射升空與空間站構(gòu)成三船三艙構(gòu)型.某紀(jì)念品商店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型.已知該模型每件成本40元，當(dāng)商品售價(jià)為70元時(shí)，十月售出256件，十一月、十二月銷量持續(xù)走高，十二月售出400件.求十一月、十二月這兩個(gè)月的月平均增長率.

分析：由題意可得，十月份的銷售量為： 256件；設(shè)十月份到十二月份銷售額的月平均增長率為x，則十一月份的銷售量為：256（1+x）件；十二月份的銷售量為：256（1+x）（1+x）

件，又知十二月售出400件，由此等量關(guān)系列出方程求出x的值，即求出了平均增長率.

解：設(shè)十一月、十二月這兩個(gè)月的月平均增長率為x，則十一月的銷售量為256（1+x）件，十二月的銷售量為256（1+x）2件.

根據(jù)題意可得：256（1+x）2=400，

答：十一月、十二月這兩個(gè)月的月平均增長率為25%.

點(diǎn)評：本題要求月平均增長率，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意，提取相關(guān)的量，根據(jù)增長率公式列出方程.值得注意的是一元二次方程有兩個(gè)解，要根據(jù)實(shí)際意義進(jìn)行取舍.

二、傳播問題

傳播問題涉及多種類型，如計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)傳播、疾病傳播、經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)波動(dòng)等.利用一元二次方程解答這類傳播問題，首先需要關(guān)注起始值、新增數(shù)量，并找出數(shù)量變化規(guī)律，通常用到數(shù)量關(guān)系式為第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度），第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2，根據(jù)這一關(guān)系式設(shè)元、列方程求解.

例2春季流感嚴(yán)重，學(xué)校有2個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有162人患了流感. 若每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)相同.（1）試求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪

傳染后共有多少個(gè)人會(huì)患流感？

分析：（1）設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有162人患了流感，列方程求解；（2）根據(jù)（1）中所求數(shù)據(jù)，進(jìn)而表示出經(jīng)過三輪傳染后患上流感的人數(shù).

解：（1）設(shè)平均一個(gè)人傳染x人，

由題意可得2（1+x）2=162，

解得x=8，x2=-10（不合題意，舍去），

答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染8人.

（2）162×（1+8）=1458（人），

答：經(jīng)過三輪后共有1458人患流感.

點(diǎn)評：本題屬于疾病傳染問題，初始值是2個(gè)人經(jīng)過兩輪傳染后共有162人患了流感， 傳染的速度是相同的，因此設(shè)出傳染速度為x，即根據(jù)公式列方程求解.同理第二問還可以根據(jù)第三輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）3求解.

三、銷售利潤問題

例3某海鮮排擋購進(jìn)一批大龍蝦和海膽，它們的進(jìn)貨單價(jià)之和是360元.大龍蝦零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多40元，海膽零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的1.5倍少60元，按零售單價(jià)購買大龍蝦2只和海膽4個(gè)，共需要1200元.（1）求大龍蝦和海膽的進(jìn)貨單價(jià)；（2）該海鮮排擋平均每天賣出大龍蝦20只和海膽12個(gè).經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大龍蝦零售單價(jià)每降低1元，平均每天就可多售出大龍蝦2只，海鮮排擋決定把大

龍蝦的零售單價(jià)下降a（a>0）元，海膽的零售單價(jià)和銷量都不變，在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)a為多少時(shí)，海鮮排擋每天銷售大龍蝦和海膽獲取的總利潤為1490元？

分析：（1）設(shè)大龍蝦進(jìn)貨單價(jià)為x元，海膽的進(jìn)貨單價(jià)為y元，由它們的進(jìn)貨單價(jià)之和是360元和按零售單價(jià)購買大龍蝦2只和海膽4個(gè)，共需要1200元，列出方程組，即可求解；（2）由海鮮排檔每天銷售大龍蝦和海膽獲取的總利潤為1490元，列出方程可求解.

解：（1）設(shè)大龍蝦進(jìn)貨單價(jià)為x元，海膽的進(jìn)貨單價(jià)為y元，由題意列出方程組：

答：大龍蝦進(jìn)貨單價(jià)為200元，海膽的進(jìn)貨單價(jià)為160元.

（2）由題意列出方程：（20+2a）（40-a）+12×（1.5×160-60-160）=1490，

整理得a2-30a+225=0，

解得a=15.

故當(dāng)a=15時(shí)，海鮮排檔每天銷售大龍蝦和海膽獲取的總利潤為1490元.

點(diǎn)評：本題的第一問和第二問分別考查的是二元一次方程和一元二次方程的應(yīng)用. 注意關(guān)鍵詞“多、少、降低、下降”才能正確列出代數(shù)式，進(jìn)而根據(jù)關(guān)系式列方程求解.

總之，列一元二次方程解實(shí)際應(yīng)用問題需要先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后用含未知數(shù)的代數(shù)式表示未知量與已知量.在這個(gè)過程中要特別注意關(guān)鍵詞語，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩余、增加、減少”等，接著根據(jù)一些常用公式或特殊的等量關(guān)系，如傳播問題、銷售利潤問題、增長率問題中的等量關(guān)系建立方程模型，最后解方程，并根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)解的合理性.