角平分線以其獨特的性質(zhì)在三角形中占有重要的地位.圍繞三角形的內(nèi)角和外角的角平分線建構(gòu)的幾何模型對解答相關(guān)的幾何問題有著重要的意義.本文對三角形的雙角平分線的經(jīng)典模型的構(gòu)造、論證進行了歸納與總結(jié)，并探討了它們在解幾何題中的一些應用.

一、雙內(nèi)角平分線模型

從這一結(jié)論可以看出，三角形中兩內(nèi)角平分線所成的角的大小僅與第三個內(nèi)角的大小有關(guān)，與兩內(nèi)角無關(guān).因此，只要第三個內(nèi)角恒定不變，無論這兩個內(nèi)角如何變化，它們的角平分線所成的角的大小不變.抓住這一不變量往往能為我們順利找到解答問題的突破口.

例1在平面直角坐標系中，△AOB的頂點A、B分別為x軸，y軸上的動點，點E是△ABO的兩條角平分線的交點，如圖2，在點A、B的運動過程中，∠BEC的大小是否發(fā)生變化？請給予判斷，并說明理由.

解：∠BEC的大小不會發(fā)生變化，理由如下：

在∠AOB中，因為BE，AE分別為∠ABO和∠OAB平分線，

所以∠BEC=180°-∠AEB=45°，

即∠BEC的大小不會發(fā)生變化，恒為45°.

評注：隨著點A，B的運動變化，兩個內(nèi)角∠ABO，∠BAO的度數(shù)也會發(fā)生改變，但是∠AOB=904701c1f14da6c6d9e9b319991cae6461cde43cd3cfe71b31224b6504e5bc3248°始終不變，而∠AEB的大小僅與∠AOB相關(guān)，所以∠AEB不會變化，從而判斷∠BEC不變.解答這類動點問題時，以靜制動，借助模型尋求圖形運動變化中的變量與不變量的關(guān)系，才能找準切入點，明確解題思路.

二、內(nèi)外角平分線模型

從這一結(jié)論可以看出，一個內(nèi)角和一個外角平分線所形成的夾角的大小僅由第三個內(nèi)角的大小決定，且僅為該角的一半.在解題中，我們要分清哪個角是由內(nèi)外角平分線所構(gòu)成的角，并與第三個內(nèi)角建立對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵.當題目所給條件不足時，需要添加輔助線讓這一模型顯性化.

例2如圖4，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP=（ ）.

解：本題中的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線交于點P，且∠BPC=40°，

由內(nèi)外角平分線模型可知，∠BAC=80°，

所以∠BAC的外角為180°-80°=100°.

如圖4，延長BA，過點P分別作PE⊥BD于點E，作PF⊥AC于點F，作PG⊥BA于點G，

因為BP平分∠ABC，所以PE=PG，

同理PF=PE，PG=PF，

所以AP為∠CAH的角平分線，

評注：本題中的內(nèi)外角平分線模型是顯而易見的.但是要求∠CAP，需要進一步證明AP是外角平分線，所以通過作垂線，利用角平分線的判定定理予以證明.由本題可以得到的結(jié)論是三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點.

三、雙外角平分線模型

由這一結(jié)論可知，兩外角平分線所構(gòu)成的角僅與第三個內(nèi)角的大小有關(guān).當題中出現(xiàn)這一模型時充分利用這一結(jié)論，可以省去利用內(nèi)外角定理進行推導的過程，起到事半功倍的效果.

例3如圖6，在△ABC中，∠A=84°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M，N，Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF 分別平分∠EBC，∠ECQ，則∠F=________.

解析：在△ABC中，BD、CD為∠ABC、∠ACB的平分線，

由雙內(nèi)角平分線模型可知，

在△BCD中，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，

由雙外角平分線模型可知，

在△BCE中，BF、CF分別平分∠EBC，∠ECQ，

評注：本題構(gòu)圖復雜，多次出現(xiàn)角平分線，需要明確這些角平分線與哪個三角形有關(guān)，且是雙內(nèi)角平分線還是雙外角平分線，或是一內(nèi)一外角平分線.如果直接利用三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)推導計算較為繁瑣，那么，通過三次運用角平分線模型則能輕松求解.

總之，圍繞三角形的內(nèi)外角平分線所建構(gòu)的幾何模型，是對雙角平分線所構(gòu)成的角與三角形的另一個內(nèi)角之間關(guān)系的探索.無論三角形的形狀如何變化，它們之間的關(guān)系始終確定不變.因此，同學們只要把握模型的實質(zhì)，抓住基本特征，就能在解題中運用自如.