摘要：基于現(xiàn)有足式機(jī)器人足－地接觸力學(xué)的研究，綜合論述了足式機(jī)器人足－地接觸力學(xué)模型、實(shí)驗(yàn)方法、虛擬仿真等方向的研究現(xiàn)狀?？偨Y(jié)歸納了硬質(zhì)、松軟兩種地面環(huán)境下建立的各種足－地接觸力學(xué)模型；對(duì)足－地接觸力學(xué)足端運(yùn)動(dòng)、腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及不同足端形狀的實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行歸納；并基于有限元仿真和離散元仿真兩類仿真方法，對(duì)足式機(jī)器人足－地力學(xué)虛擬仿真進(jìn)行總結(jié)；最后，對(duì)足式機(jī)器人足－地接觸力學(xué)在動(dòng)態(tài)交互模型、地面適應(yīng)性及足端創(chuàng)新性等方向的未來研究提出展望。研究足式機(jī)器人的足－地接觸力學(xué)對(duì)于提高其在多變地形中的運(yùn)動(dòng)性能至關(guān)重要，有助于開發(fā)出更高效、更穩(wěn)定的足式機(jī)器人系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞：足式機(jī)器人；足－地接觸力學(xué)模型；實(shí)驗(yàn)方法；虛擬仿真

中圖分類號(hào)：TH113 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2024.10.001

文章編號(hào)：1006-0316 （2024） 10-0001-15

A Research Review of the Foot-Ground Interaction Mechanics Model and

Simulation of Legged Robots

LI Yue，JIANG Jie，JIANG Gang，ZHANG Haoxi，HAO Xing’an

（ School of Mechanical and Electrical Engineering， Chengdu University of Technology，

Chengdu 610059， China ）

Abstract：This study comprehensively discusses the current state of research in the fields of foot-ground contact mechanics models， experimental methods， and virtual simulations. Firstly， it summarizes and generalizes various foot-ground contact mechanics models established under hard and soft ground environments. Secondly， it categorizes experimental methods for foot-end motion， leg motion status， and different foot-end shapes. Thirdly， it summarizes virtual simulations of legged robot foot-ground mechanics using finite element and discrete element simulation methods. Finally， it proposes prospects for future research in the mechanics of foot-ground contact in legged robots in terms of dynamic interaction models， ground adaptability， and innovative foot ends. It is important to study the foot-ground contact mechanics of legged robots to improve their motion performance in varied terrain， and to develop more efficient and stable robot systems.

Key words：legged robot；foot-ground mechanics；experimental method：virtual simulation

足式機(jī)器人相較于傳統(tǒng)的輪式和履帶式機(jī)器人，具有靈活性高、可控性良好、支撐運(yùn)動(dòng)非連續(xù)以及環(huán)境適應(yīng)性優(yōu)異等優(yōu)點(diǎn)[1]。足式機(jī)器人能在復(fù)雜和不規(guī)則地形環(huán)境中運(yùn)動(dòng)自如，因此得到了諸多研究學(xué)者的關(guān)注。由于具有更多的支撐點(diǎn)，且行走方式是連續(xù)的靜態(tài)行走，足式機(jī)器人在復(fù)雜地形或崎嶇路面上行走時(shí)，不易因地面不平或突然變化而失去平衡，從而具有更高的行走穩(wěn)定性。此外，足式機(jī)器人具有較高的冗余度，即使部分足端發(fā)生故障，仍可使用容錯(cuò)步態(tài)繼續(xù)前進(jìn)，從而提高了可靠性和耐用性，這一特性使得足式機(jī)器人在執(zhí)行復(fù)雜任務(wù)時(shí)具有更高的靈活性和多功能性。

隨著對(duì)足式機(jī)器人研究的深入，該技術(shù)逐漸被廣泛地運(yùn)用于搶險(xiǎn)救災(zāi)、探索極端環(huán)境、工業(yè)巡檢等領(lǐng)域，展現(xiàn)出非常廣闊的應(yīng)用前景。王春臻[2]設(shè)計(jì)的六足機(jī)器人“旋龜”具有靈活的轉(zhuǎn)彎能力、較強(qiáng)的爬坡能力和越障能力，能夠進(jìn)入地下空間執(zhí)行搬運(yùn)、巡檢和維護(hù)等任務(wù)。ANYbotics公司研發(fā)的ANYmal四足機(jī)器人能在草地、雪地、碎石坡等復(fù)雜地形中穩(wěn)定行走，廣泛應(yīng)用于搜索與救援、地形勘探等復(fù)雜環(huán)境任務(wù)中[3]。美國(guó)波士頓動(dòng)力公司研發(fā)的大狗機(jī)器人充分利用了足式機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)優(yōu)勢(shì)，在山地及各種崎嶇路面展示出良好的運(yùn)動(dòng)性能，其可以搭載各種傳感器和工具，用于工業(yè)巡檢、安全監(jiān)控、建筑檢查等任務(wù)[4-5]。

研究足－地接觸力學(xué)對(duì)提高足式機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境中的運(yùn)動(dòng)能力和適應(yīng)性方面至關(guān)重要，已成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。足－地接觸力學(xué)是足式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的一個(gè)重要研究方向，在足式機(jī)器人的足端結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、機(jī)體運(yùn)動(dòng)仿真、軌跡規(guī)劃、跟蹤控制以及地面環(huán)境參數(shù)辨識(shí)等方面都發(fā)揮著重要作用[6-11]。通過深入研究足－地力學(xué)關(guān)系模型，研究人員可以設(shè)計(jì)出更符合實(shí)際需求的足端構(gòu)型，從而提高足式機(jī)器人的移動(dòng)性能。此外，深入研究足－地力學(xué)還能為足式機(jī)器人提供定制的行走軌跡和步態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，擴(kuò)大足式機(jī)器人合理落足區(qū)域，進(jìn)而優(yōu)化足式機(jī)器人的控制策略。這對(duì)于提高足式機(jī)器人在復(fù)雜地形中的穩(wěn)定性和通過性具有重要意義。

本文主要回顧了足式機(jī)器人足－地力學(xué)的研究成果，從以下三個(gè)方面對(duì)現(xiàn)有足式機(jī)器人足－地接觸力學(xué)研究展開分析：①總結(jié)硬質(zhì)地面和松軟地面與足端交互兩種情況下的力學(xué)建模研究；②從足端運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和不同足端結(jié)構(gòu)三個(gè)方面總結(jié)其與土壤交互的實(shí)驗(yàn)方法及平臺(tái)研究；③從有限元和離散元兩個(gè)方面總結(jié)虛擬仿真。通過對(duì)上述方向的分析總結(jié)可以看出，足式機(jī)器人足－地接觸力學(xué)的研究將不斷進(jìn)步，為足式機(jī)器人在多樣化地形中的高效、穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)提供堅(jiān)實(shí)的理論和技術(shù)支持。這將極大地推動(dòng)足式機(jī)器人的發(fā)展，使其在搜索救援、野外勘探等多個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮更大的作用。

1 足－地接觸力學(xué)模型研究

足－地接觸力學(xué)模型主要描述足式機(jī)器人足－地相互作用時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與相互作用力之間的關(guān)系。根據(jù)不同的假設(shè)和考慮因素[12]，描述足式機(jī)器人足－地力學(xué)的模型主要有兩種：

（1）硬質(zhì)地面接觸力學(xué)模型[13]

當(dāng)足端與地面的剛度非常大時(shí)，可認(rèn)為兩者均不產(chǎn)生變形，此時(shí)的足－地接觸為剛性接觸。剛性接觸的約束條件受到接觸物體表面的幾何特征的影響，當(dāng)產(chǎn)生滑移時(shí)，切向摩擦力與抵抗滑移趨勢(shì)的方向相同。常見的足－硬質(zhì)地面接觸力學(xué)模型有剛性接觸模型[14]、Hertz模型[15-16]和Coulomb模型[17-18]。

（2）松軟地面力學(xué)模型

當(dāng)足式機(jī)器人足端與泥地、沙地等易變形地面接觸時(shí)，足－地接觸表現(xiàn)為柔性接觸，涉及地面塑性流動(dòng)和壓縮性的復(fù)雜非線性力－位移關(guān)系，同時(shí)還需考慮水分、顆粒結(jié)構(gòu)和密度等因素的影響。在這種柔性接觸中，接觸面間的相互作用會(huì)引發(fā)局部變形，該變形與接觸區(qū)域的變形程度和材料的粘彈性特性密切相關(guān)。常見的松軟地面力學(xué)模型有Bekkle模型[19]、Wong-Reece模型[20-22]和Janosi模型[23]。

1.1 硬質(zhì)地面接觸力學(xué)模型研究

（1）剛性接觸模型[24]

剛性接觸模型不考慮接觸體變形量，僅考慮剛體和多剛體鏈的廣義位移和姿態(tài)變量[25]，其假設(shè)接觸物體在接觸點(diǎn)處不發(fā)生形變，只考慮物體間的相對(duì)位置和力的傳遞。該模型能夠快速模擬足式機(jī)器人足端與外部環(huán)境的碰撞和反彈，為足式機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和穩(wěn)定性分析提供基礎(chǔ)。趙揚(yáng)[26]針對(duì)六足機(jī)器人在不同地面上的足－地力學(xué)進(jìn)行研究，建立了靜態(tài)和動(dòng)態(tài)接觸時(shí)的剛性接觸模型，表征了足－地相互作用力與足端沉陷量的關(guān)系。陳正翰等[27]通過精確模擬月壤的力學(xué)行為和滑移特性，考慮足端底部摩擦力及慣性力等因素，建立了足－月壤水平拖曳力學(xué)模型，有助于提高足式機(jī)器人在月球表面行走的穩(wěn)定性和機(jī)動(dòng)性，確保了模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。

（2）Hertz模型[28]

Hertz模型用于描述彈性半空間體在法向壓力下接觸時(shí)的力學(xué)行為，其假設(shè)接觸區(qū)變形小、接觸面為橢圓形，并假設(shè)物體為彈性半空間，接觸面僅有垂直壓力分布，常用于描述球形足端與平面間的接觸[29]。忽略粘彈性模型中的速度項(xiàng)，粘彈性模型就簡(jiǎn)化為Hertz模型。在彈性范圍內(nèi)，該模型通過特定的公式精確描述了摩擦力與載荷、平均摩擦系數(shù)以及彈性模量之間的相互關(guān)系。此外，Hertz模型還考慮了載荷對(duì)磨損狀況的影響[30]。謝忠曲等[31-32]提出一種基于赫茲理論的足－地接觸動(dòng)力學(xué)模型，并通過算法優(yōu)化，成功完成足端與非水平和非靜止地面的接觸模擬，有效支持了足式機(jī)器人在多種動(dòng)態(tài)情景下的物理模擬和行為研究。王庚祥等[33]提出一種改進(jìn)的赫茲接觸力學(xué)模型，適用于圓柱形足端與地面接觸的情形，有效提高了模型的適用性和計(jì)算效率。

（3）Coulomb模型

Coulomb模型是一種經(jīng)典的描述切向力的方法，其將法向力和切向相對(duì)位移作為共同影響因素，能夠分別對(duì)發(fā)生滑移和未發(fā)生滑移兩種情況下的切向力進(jìn)行詳細(xì)描述。在未發(fā)生滑移的情況下，切向力不會(huì)超過摩擦系數(shù)與法向力的乘積；而當(dāng)發(fā)生滑移時(shí)，切向力將達(dá)到最大值。該模型廣泛應(yīng)用于工程和物理領(lǐng)域，用于預(yù)測(cè)和分析接觸表面之間的相互作用[34]。金馬等[35-36]考慮了足式機(jī)器人在動(dòng)態(tài)接觸條件下足端位置的變化，基于改進(jìn)的Hunt-Crossley模型與Coulomb模型，分別建立了法向與切向的動(dòng)態(tài)足－地力學(xué)模型，其在六足機(jī)器人仿真的實(shí)際應(yīng)用中展現(xiàn)出較高精度。呂陽(yáng)等[37]采用Kelvin-Voigt模型和Coulomb模型描述足－地接觸力，顯著提高了假肢步態(tài)與自然步態(tài)之間的相似度，相關(guān)系數(shù)可超過0.9，為四連桿膝關(guān)節(jié)被動(dòng)假肢的足－地力學(xué)特性優(yōu)化提供了理論依據(jù)。

綜上所述，每種模型都有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)和局限性，選擇哪種模型取決于具體的應(yīng)用需求和場(chǎng)景。硬質(zhì)地面各接觸力學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)和局限性對(duì)比如表1所示。

在硬質(zhì)地面接觸力學(xué)研究中，剛性接觸模型、Hertz模型和Coulomb模型因模型的簡(jiǎn)潔性以及容易獲得解析解的特性，已成為足式機(jī)器人在控制與仿真研究中的重要工具。這些模型能夠模擬足式機(jī)器人與外部環(huán)境的單點(diǎn)或多點(diǎn)接觸，有助于深入理解其運(yùn)動(dòng)機(jī)制，并為足式機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和穩(wěn)定性控制提供重要支持，展現(xiàn)出在足式機(jī)器人領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用潛力。這些模型為相關(guān)領(lǐng)域的研究和應(yīng)用提供了可靠的預(yù)測(cè)與分析工具，目前它們?cè)谀M地面微小不平整度、材料特性變異性，以及處理動(dòng)態(tài)接觸和高負(fù)載下的復(fù)雜力學(xué)行為方面仍存在一些局限性，未來研究將不斷優(yōu)化硬質(zhì)地面接觸力學(xué)模型，致力于開發(fā)更精確的模型，以適應(yīng)多樣化的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，并為實(shí)際工程問題提供更精確有效的解決策略[38]。

1.2 松軟地面力學(xué)模型研究

（1）Bekkle模型

Bekkle模型描述了松軟地質(zhì)受壓變形過程中法向正應(yīng)力與沉陷量的關(guān)系，其采用半經(jīng)驗(yàn)公式來刻畫正應(yīng)力與沉陷量間的關(guān)聯(lián)，涵蓋了內(nèi)聚變形模量系數(shù)、摩擦變形模量系數(shù)和土壤沉陷指數(shù)等關(guān)鍵參數(shù)。此外，Bekkle模型著重分析了足式機(jī)器人在松軟地質(zhì)上移動(dòng)時(shí)，其牽引力如何受地質(zhì)材料剪切特性的影響，特別是當(dāng)剪切力未能超越驅(qū)動(dòng)力時(shí)，足式機(jī)器人可能會(huì)發(fā)生打滑現(xiàn)象。該模型有助于預(yù)測(cè)和理解足式機(jī)器人在松軟地面上的運(yùn)動(dòng)性能。鄒猛等[39]采用Bekkle承壓模型描述模擬月壤承壓性能，通過壓板試驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析，成功獲取了三種不同粒徑分布的模擬月壤在不同載荷和不同密實(shí)狀態(tài)下的承壓性能。謝金發(fā)[40]基于Bakkle承壓模型，構(gòu)建了描述足式機(jī)器人足－松軟地面相互作用的模型，驗(yàn)證了該足端結(jié)構(gòu)能夠適應(yīng)丘陵果園大部分凹坑與凸塊路面。

（2）Wong-Reece模型

Wong-Reece模型是一種用于描述土壤或顆粒介質(zhì)中的接觸力學(xué)和變形行為的模型，其能夠有效分析這些材料在承受載荷時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系、剪切強(qiáng)度和變形特性。杜江山等[41]在Wong-Reece模型基礎(chǔ)上，提出一種針對(duì)重復(fù)加載條件下軟土承壓特性的計(jì)算方法，并成功推導(dǎo)出一個(gè)微積分模型，用于描述在重復(fù)加載過程中軟土任意位置點(diǎn)的承壓特性，揭示了隨著加載順序和載荷大小的變化，地形高度以及沿土壤沉陷方向的力學(xué)特性隨之發(fā)生變化的現(xiàn)象。翟廣龍等[21]對(duì)Wong-Reece模型進(jìn)行了改進(jìn)，通過修正沉陷量和掛鉤牽引力，建立了一種足－軟土接觸模型，能夠顯著提升足式機(jī)器人在混合地形上的運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性。

（3）Janosi模型

Janosi模型是一種用于描述土壤剪切特性的數(shù)學(xué)模型，尤其適用于分析表現(xiàn)出剪脹或剪縮行為的土壤?；赪ong-Reece模型[42]和Janosi模型，Ding等[43-45]研究了不同足端和柔性地面之間產(chǎn)生的接觸力學(xué)行為，并基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用半經(jīng)驗(yàn)半理論的方法，研究了對(duì)接觸力作用的影響。陸培棟[46]結(jié)合松軟地面力學(xué)與土力學(xué)中的地基極限承載力概念，對(duì)足端在動(dòng)態(tài)條件下沉陷的變化過程進(jìn)行了深入分析。楊傳瀟等[47-48]對(duì)極限承載力本構(gòu)特征和基本原理進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上對(duì)Terzaghi公式進(jìn)行了簡(jiǎn)化和改進(jìn)。葛力源[49]基于足－地相互作用試驗(yàn)，構(gòu)建了描述動(dòng)態(tài)沖擊和滑移的力學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了高性能足端，其試驗(yàn)分析了速度、載荷和滑移方向?qū)ο嗷プ饔昧Φ挠绊?，并探討了柔性足端中緩沖元件的作用，但為了提高足端設(shè)計(jì)的普適性和可靠性，還需考慮月球表面多變的地質(zhì)條件及長(zhǎng)期運(yùn)行對(duì)耐久性的要求。

上述松軟地面各接觸力學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)和局限性對(duì)比如表2所示。

松軟地面力學(xué)模型能夠?qū)ψ悖叵嗷プ饔锰峁└鼮榫_的分析，有助于深入理解足端在松軟地面上的受力狀況和運(yùn)動(dòng)特性。應(yīng)用這類模型可以推動(dòng)足端設(shè)計(jì)的改進(jìn)，從而提升其在松軟地面上的適應(yīng)性和行走舒適性。但同時(shí)，松軟地面接觸力學(xué)模型面臨著一系列挑戰(zhàn)。首先，現(xiàn)有模型尚未能充分捕捉松軟地面的動(dòng)態(tài)特性，如沉陷、滑移和顆粒流動(dòng)等，這些特性對(duì)于確保足式機(jī)器人的穩(wěn)定性和機(jī)動(dòng)性至關(guān)重要。其次，現(xiàn)有模型在處理多物理場(chǎng)耦合效應(yīng)、適應(yīng)環(huán)境變化以及預(yù)測(cè)長(zhǎng)期接觸行為方面存在一定的局限性。為了克服這些問題，未來的研究需要在模型的精確度和適應(yīng)性上進(jìn)行深入探索和改進(jìn)，這可能包括采用多尺度方法，同時(shí)分析微觀顆粒間的相互作用和宏觀層面的接觸行為，以及融合機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)，以增強(qiáng)模型對(duì)環(huán)境變化的適應(yīng)力和提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。實(shí)現(xiàn)這些改進(jìn)后，松軟地面接觸力學(xué)模型能夠?yàn)樽闶綑C(jī)器人提供更出色的環(huán)境適應(yīng)性和更廣闊的應(yīng)用前景。

2 足－地力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法及平臺(tái)研究

對(duì)足－地力學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的研究分為三類：①通過試驗(yàn)臺(tái)架上水平方向的導(dǎo)軌滑塊和豎直方向的直線軸承構(gòu)件，模擬出足端以不同運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)與土壤產(chǎn)生相互作用；②采用單腿或工業(yè)機(jī)械臂，通過設(shè)置機(jī)械臂及單腿末端的運(yùn)動(dòng)軌跡來模擬腿部的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；③采用不同形狀的足端，通過設(shè)置其運(yùn)動(dòng)軌跡來模擬足端的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2.1基于足端運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)方法

基于足端與土壤交互的試驗(yàn)臺(tái)架的實(shí)驗(yàn)方法主要用于模擬和分析足式機(jī)器人在復(fù)雜土壤環(huán)境下的運(yùn)動(dòng)性能。研究人員通過搭建一個(gè)可以調(diào)節(jié)土壤參數(shù)（如濕度、緊實(shí)度等）以及控制足端運(yùn)動(dòng)模式的試驗(yàn)臺(tái)架，系統(tǒng)地研究足端設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)策略和土壤條件對(duì)足式機(jī)器人移動(dòng)性能的綜合影響。實(shí)驗(yàn)過程中，通過精確控制足端的運(yùn)動(dòng)軌跡和施加的力度，同時(shí)監(jiān)測(cè)土壤對(duì)足端的反作用（包括反作用力、變形等），能夠收集大量數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)對(duì)于優(yōu)化足式機(jī)器人的設(shè)計(jì)和控制算法至關(guān)重要，有助于提升足式機(jī)器人在多變地形中的適應(yīng)性和穩(wěn)定性。

Caurin等[50]研制了RoboTRAC-2D實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過移動(dòng)水平滑塊來模擬足式機(jī)器人足端在斜坡土體上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而研究足端沉陷、滑移等現(xiàn)象，該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)配備了新型的力和位移傳感器，用以測(cè)量足端侵入土壤時(shí)產(chǎn)生的接觸作用力和土壤變形量，同時(shí)，該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用一對(duì)導(dǎo)軌來限制足式機(jī)器人足端在一個(gè)平面內(nèi)的移動(dòng)，并在足端前方配置了具有不同土壤特性的容器，以此來模擬多樣化的地形條件。高海波等[51-52]開發(fā)了多種足－地力學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，適用于模擬月壤[53]、海底[54]等多樣化環(huán)境，并能夠進(jìn)行承壓、剪切、附著等多種性能測(cè)試，這些平臺(tái)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)足端在不同地形和狀態(tài)下的模擬，同時(shí)精確采集足端行進(jìn)過程中的關(guān)鍵物理量，如沉陷量、滑移量、支撐力和切向力等。Yeomans等[55]研發(fā)了一種單足實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，用于研究足式機(jī)器人足端與顆粒物質(zhì)的相互作用力，該平臺(tái)由絞盤、線性導(dǎo)軌、應(yīng)變儀和速度控制儀器組成，能夠模擬足端的垂直和水平移動(dòng)，并通過計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)追蹤足端位置，該平臺(tái)設(shè)計(jì)精巧，但受限于荷載量，難以全面模擬重載足式機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境中的運(yùn)行情況。Su等[56]利用單足實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)力學(xué)實(shí)驗(yàn)，探索足端與多物理特征地形相互作用的力學(xué)規(guī)律，但由于實(shí)驗(yàn)設(shè)備的限制，只對(duì)低速下的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。上述基于足端運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)方法對(duì)比如表3所示。

基于足端與土壤交互的實(shí)驗(yàn)臺(tái)架能夠精確捕捉足端接觸地面時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，如沉陷、滑移和牽引力等，使研究人員能在受控環(huán)境中模擬不同地形，直接觀察足端表現(xiàn)，驗(yàn)證和優(yōu)化設(shè)計(jì)。這有助于預(yù)測(cè)足式機(jī)器人在復(fù)雜地形中的運(yùn)動(dòng)性能，促進(jìn)對(duì)運(yùn)動(dòng)控制策略的理解，推動(dòng)新技術(shù)的發(fā)展，并增強(qiáng)足式機(jī)器人在松軟或不規(guī)則地面的適應(yīng)性和可靠性。但仍存在一些不足之處：①實(shí)驗(yàn)條件的局限性，無(wú)法完全模擬真實(shí)環(huán)境中土壤的多樣性和復(fù)雜性；②測(cè)量精度的限制，尤其是在捕捉細(xì)微的土壤變形和接觸力變化方面；③實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的解釋和應(yīng)用范圍可能受限于特定的實(shí)驗(yàn)設(shè)置和參數(shù)。未來，研究人員可以通過引入更先進(jìn)的傳感器和測(cè)量技術(shù)，提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確度和解析度；開發(fā)更復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)臺(tái)架，模擬更多種類的土壤特性和環(huán)境條件；推動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的跨學(xué)科應(yīng)用，將實(shí)驗(yàn)臺(tái)架的發(fā)現(xiàn)應(yīng)用于足式機(jī)器人設(shè)計(jì)、控制算法開發(fā)和實(shí)際場(chǎng)景測(cè)試中。實(shí)現(xiàn)這些改進(jìn)后，實(shí)驗(yàn)臺(tái)架將為足式機(jī)器人在松軟地面上的應(yīng)用提供更加堅(jiān)實(shí)和全面的研究基礎(chǔ)。

2.2基于腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)方法

腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)方法主要用于研究和評(píng)估足式機(jī)器人或仿生設(shè)備在移動(dòng)過程中腿部運(yùn)動(dòng)的性能和效果。該方法利用高精度傳感器和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，能夠?qū)崟r(shí)監(jiān)測(cè)腿部關(guān)節(jié)的角度、速度以及足－地相互作用力，確保實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性和可靠性。通過模擬復(fù)雜環(huán)境和實(shí)施標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)驗(yàn)流程，這種方法提高了實(shí)驗(yàn)的可重復(fù)性和結(jié)果的普適性。此外，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能技術(shù)的深入分析，有助于揭示腿部運(yùn)動(dòng)的優(yōu)化策略，進(jìn)一步提升足式機(jī)器人在未知環(huán)境中的自主性和適應(yīng)性?？傮w而言，基于腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)方法為足式機(jī)器人的設(shè)計(jì)、控制和應(yīng)用提供了寶貴的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論支持。

劉逸群等[57-58]設(shè)計(jì)了一種單腿實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，

其數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)能夠?qū)崟r(shí)記錄足－地夾角、地面變形量、足端變形量、地面坡度等關(guān)鍵參數(shù)，為足－地力學(xué)研究提供了一個(gè)功能強(qiáng)大的實(shí)驗(yàn)工具，但該平臺(tái)仍需要進(jìn)一步優(yōu)化，以提升測(cè)試的精度和可重復(fù)性。Ahmed等[59]研發(fā)了一種足－地系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，由七自由度工業(yè)機(jī)器人、土槽以及上位機(jī)系統(tǒng)組成，能夠同步進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)，并分析比較足－地之間的相互作用力，但是不能模擬單足自由沉陷的運(yùn)動(dòng)過程。Scott等[60-64]開發(fā)的測(cè)試系統(tǒng)通過MelfaRV機(jī)械臂精確控制足端運(yùn)動(dòng)，利用力敏元件和Qualisys運(yùn)動(dòng)捕捉系統(tǒng)測(cè)量足端接觸力和位移，研究足式機(jī)器人在顆粒材料上的法向力，該研究使足式機(jī)器人能夠自動(dòng)生成步態(tài)，適應(yīng)不同地形，為非結(jié)構(gòu)化環(huán)境下的足式機(jī)器人應(yīng)用提供了新的解決方案。羅曉飛[65]設(shè)計(jì)了足－地作用機(jī)理試驗(yàn)臺(tái)，其從農(nóng)業(yè)機(jī)械應(yīng)用的角度出發(fā)，允許整條腿被放入裝置中，實(shí)現(xiàn)足式機(jī)器人在水田土壤、旱地等多種農(nóng)業(yè)路面上的快速行走測(cè)試，且可在機(jī)械腿與土壤的虛擬仿真測(cè)試平臺(tái)上進(jìn)行相應(yīng)的對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。上述基于腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)方法對(duì)比如表4所示。

通過對(duì)在不同腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下足式機(jī)器人的穩(wěn)定性、能量效率、運(yùn)動(dòng)速度以及地形適應(yīng)性進(jìn)行研究，不僅提高了足式機(jī)器人的自主性和效率，也為未來在搜索救援、勘探和復(fù)雜環(huán)境作業(yè)等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。但目前的研究仍面臨一些挑戰(zhàn)：①實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集和處理技術(shù)限制，難以精確捕捉腿部運(yùn)動(dòng)的高速和微小變化；②實(shí)驗(yàn)環(huán)境的控制不夠精確，限制了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可重復(fù)性和可靠性；③實(shí)驗(yàn)方法在模擬復(fù)雜實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景時(shí)也存在一定的局限性。未來將通過高精度傳感器和先進(jìn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)提高腿部運(yùn)動(dòng)監(jiān)測(cè)的精度和實(shí)時(shí)性。此外，計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)將被應(yīng)用于模擬真實(shí)場(chǎng)景，以預(yù)測(cè)腿部運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)。機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能技術(shù)也將被用于對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行深入分析，從而優(yōu)化控制策略，提高足式機(jī)器人的適應(yīng)性和效率。這些改進(jìn)將為足式機(jī)器人技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)和科學(xué)依據(jù)。

2.3 基于不同足端形狀的實(shí)驗(yàn)方法

基于不同足端形狀的實(shí)驗(yàn)方法為足式機(jī)器人的研究提供了多樣化的測(cè)試途徑。這種方法通過不同形狀（如平底形、圓形、圓柱形和不規(guī)則形等）的足端與地面的交互作用，可以精確評(píng)估各種足端在不同地形上的性能。實(shí)驗(yàn)通常配備高精度力敏元件和運(yùn)動(dòng)捕捉系統(tǒng)，以實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和記錄足端與地面的交互作用。通過這些實(shí)驗(yàn)，研究人員能夠深入理解各種足端形狀對(duì)足式機(jī)器人行走穩(wěn)定性、步態(tài)效率和地形適應(yīng)性的影響。這種實(shí)驗(yàn)方法不僅推動(dòng)了足式機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，也為足式機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境中的實(shí)際應(yīng)用提供了重要的科學(xué)依據(jù)和技術(shù)支持。不同形狀足端的優(yōu)點(diǎn)和局限性對(duì)比如表5所示。

Chopra等[66]利用形狀變化和剛度變化的足端進(jìn)行足－地力學(xué)研究，驗(yàn)證了使用合適的足端設(shè)計(jì)、硬度和形狀的控制可以改善行走能力。張志鵬等[67-68]設(shè)計(jì)了一種基于平底足端的準(zhǔn)靜態(tài)加載試驗(yàn)，并通過非線性擬合技術(shù)，成功辨識(shí)出硬質(zhì)地面上彈性足端的承載力模型，還對(duì)不同足端姿態(tài)角（5°、15°、25°和35°）進(jìn)行了加載試驗(yàn)，并通過非線性擬合方法得到了推進(jìn)力和承載力的應(yīng)力－應(yīng)變系數(shù)，擬合誤差在9.89%～18.57%，證實(shí)了平底足端應(yīng)力分布函數(shù)的有效性，但尚未開展針對(duì)足端在特定姿態(tài)角下切向滑移行為的實(shí)驗(yàn)研究。Yang等[69-73]研發(fā)了一種基于圓柱形足端的足－地相互作用力學(xué)實(shí)驗(yàn)臺(tái)，配備了六軸力/力矩傳感器和滑塊電機(jī)，用于精確測(cè)量和測(cè)試足－地接觸時(shí)產(chǎn)生的法向力和切向力。郎軍[74]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，半球形且?guī)Щy的足端在防沉陷方面表現(xiàn)更佳，為足式機(jī)器人足端設(shè)計(jì)提供了優(yōu)化參考，并指出考慮移動(dòng)速度對(duì)足端力影響的必要性，以進(jìn)行更全面的理論研究和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。蘇波等[75]通過關(guān)鍵技術(shù)集成，如小慣量多級(jí)緩沖仿生腿和優(yōu)化的足端力分配，驗(yàn)證了四足機(jī)器人在越野場(chǎng)景下的卓越性能，包括有效減震、減少沉陷、增強(qiáng)附著力和保持穩(wěn)定。盧松明等[76-83]通過模仿多種動(dòng)物足部特征設(shè)計(jì)的仿生足端，在不同地面上展現(xiàn)了提高附著力、減少?zèng)_擊、增強(qiáng)穩(wěn)定性的優(yōu)勢(shì)，并通過力感知模塊的開發(fā)，為足式機(jī)器人在復(fù)雜地形中的自主行走提供了技術(shù)支持。

基于不同足端形狀的實(shí)驗(yàn)方法推動(dòng)了足式機(jī)器人性能的優(yōu)化，允許評(píng)估和比較各種足端設(shè)計(jì)在不同地形下的表現(xiàn)，從而增強(qiáng)足式機(jī)器人的穩(wěn)定性。這些實(shí)驗(yàn)揭示了足端形狀對(duì)附著力和地面反力的作用，為足式機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境中的機(jī)動(dòng)性提供了數(shù)據(jù)支持，有助于提升足端性能，使足式機(jī)器人更能適應(yīng)多變環(huán)境，增強(qiáng)自主行走能力。但目前這些方法還存在一些明顯的不足：①實(shí)驗(yàn)條件標(biāo)準(zhǔn)化不足，難以全面覆蓋各種足端形狀與不同地面條件的交互；②實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的泛化能力有限，導(dǎo)致模型和策略的適用性受限；③實(shí)驗(yàn)方法在模擬足端與地面實(shí)際接觸過程中的復(fù)雜力學(xué)行為方面存在局限。未來，將開發(fā)多樣化的實(shí)驗(yàn)臺(tái)架適應(yīng)不同足端和地面特性，利用高精度傳感器和數(shù)據(jù)采集技術(shù)提升數(shù)據(jù)質(zhì)量。結(jié)合計(jì)算機(jī)仿真和機(jī)器學(xué)習(xí)增強(qiáng)分析能力，跨學(xué)科整合知識(shí)，推動(dòng)足式機(jī)器人系統(tǒng)向更高效、適應(yīng)性強(qiáng)的方向發(fā)展，為設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供深入理解和技術(shù)支持。

足－地力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法專注于分析足式機(jī)器人與地面交互的力學(xué)特性，對(duì)揭示行走機(jī)制、優(yōu)化步態(tài)和增強(qiáng)地面適應(yīng)性至關(guān)重要。這些實(shí)驗(yàn)利用精確傳感器和模擬自然土壤特性的裝置，測(cè)量足端在不同土壤中的力學(xué)反應(yīng)。同時(shí)，基于腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)方法通過監(jiān)測(cè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，評(píng)估運(yùn)動(dòng)效率和穩(wěn)定性，對(duì)設(shè)計(jì)復(fù)雜腿部運(yùn)動(dòng)的足式機(jī)器人尤為重要。此外，通過對(duì)比分析不同足端形狀的實(shí)驗(yàn)方法，探索足端設(shè)計(jì)對(duì)行走性能的影響，幫助定制適合特定場(chǎng)景的足端。未來研究將繼續(xù)發(fā)展這些方法，以更真實(shí)地模擬多種地面條件，為足式機(jī)器人的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供更深入的理解和預(yù)測(cè)。

3 足－地接觸力學(xué)實(shí)驗(yàn)虛擬仿真研究

足與地的耦合仿真在關(guān)鍵步驟上著重于地形的精確構(gòu)建，主要可以分為兩種：

（1）采用FEA（Finite Element Analysis，有限元法）進(jìn)行模擬。通過將連續(xù)體劃分為有限數(shù)量的小元素，并在元素內(nèi)部假設(shè)材料是均勻的，通過解決這些元素的局部問題來近似整個(gè)系統(tǒng)的行為。這種方法通過在連續(xù)介質(zhì)內(nèi)劃分元素網(wǎng)格來模擬足－地力學(xué)交互作用，適用于捕捉復(fù)雜地形下土壤的應(yīng)力和變形特性。

（2）采用DEM（Discrete Element Method，離散元法）進(jìn)行模擬。將材料視為由離散的粒子組成，每個(gè)粒子具有質(zhì)量和力的作用點(diǎn)，通過計(jì)算粒子間的接觸力和相互作用來模擬整個(gè)系統(tǒng)。這種方法通過模擬土壤作為離散顆粒的集合來分析足－地力學(xué)響應(yīng)，特別適合研究顆粒介質(zhì)中的動(dòng)態(tài)交互和材料的非連續(xù)行為。

3.1有限元虛擬仿真

應(yīng)用有限元法時(shí)，利用力學(xué)原理，如平衡方程和本構(gòu)方程等，來求解整個(gè)系統(tǒng)在不同條件下的回應(yīng)。由于有限元法能夠處理復(fù)雜的幾何形狀、材料非線性和接觸條件，因此在模擬足－地接觸過程時(shí)特別有效。該方法可以精確地分析足－地之間的相互作用，包括應(yīng)力分布、變形和接觸力等關(guān)鍵參數(shù)。這些信息對(duì)于理解足－地耦合系統(tǒng)的性能、優(yōu)化設(shè)計(jì)和改進(jìn)性能至關(guān)重要。

于桂鑫等[84-85]利用ADAMS和Vortex建立動(dòng)力學(xué)仿真平臺(tái)，并對(duì)足－地接觸模塊進(jìn)行了二次開發(fā)，但并未考慮地面的變形。He等[86]利用Chrono多體動(dòng)力學(xué)、地形和求解器模塊，建立了六足機(jī)器人與軟土的耦合模型，可以針對(duì)足端下沉過程進(jìn)行模擬，進(jìn)而深化對(duì)六足機(jī)器人行走動(dòng)態(tài)的理解，并為復(fù)雜環(huán)境中的實(shí)際應(yīng)用提供理論和技術(shù)支持，使未來六足機(jī)器人在執(zhí)行搜救、探測(cè)等任務(wù)時(shí)更加高效可靠。蘇楊[87]針對(duì)六足機(jī)器人在多物理特征地形中的行走構(gòu)建了數(shù)字高程圖，以模擬復(fù)雜地形，并使用Vortex軟件成功建立足式機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)仿真系統(tǒng)，精確模擬了單足動(dòng)態(tài)接觸運(yùn)動(dòng)，且通過四種地形的對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，展現(xiàn)了仿真系統(tǒng)的高度逼真性，為六足機(jī)器人設(shè)計(jì)提供了技術(shù)支撐，但目前試驗(yàn)多限于平面地形。

上述有限元方法對(duì)比如表6所示。

在過往的研究中，土壤往往被簡(jiǎn)化為一個(gè)連續(xù)體進(jìn)行分析，這忽略了土壤的離散性及其顆粒間的相互作用。有限元法提供了一種精細(xì)的模擬方法，分為選擇土壤材料模型和探究土壤顆粒與足端接觸互動(dòng)兩階段。挑戰(zhàn)在于準(zhǔn)確標(biāo)定土壤參數(shù)并與足式機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型結(jié)合，實(shí)現(xiàn)耦合仿真。但也存在一些不足之處，如在處理極端或非線性問題時(shí)計(jì)算成本較高，對(duì)復(fù)雜材料行為的模擬可能不夠精確，以及在某些情況下難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)仿真。

3.2離散元虛擬仿真

基于離散元法的仿真技術(shù)能夠更為真實(shí)地模擬足－地之間的接觸過程，通常分為兩個(gè)關(guān)鍵階段。在第一階段，需要選擇并定義顆粒與顆粒之間的接觸模型[88-89]，以模擬土壤顆粒間的相互作用和力學(xué)行為。在第二階段，專注于研究顆粒與剛性物體（如足端）之間的接觸關(guān)系，從而更準(zhǔn)確地模擬足－地之間的相互作用。在足－地接觸的離散元仿真中，這兩種接觸模型都扮演著不可或缺的角色。然而，這一過程的難點(diǎn)在于如何準(zhǔn)確標(biāo)定土壤離散元顆粒的材料參數(shù)，并有效地將這些參數(shù)與足式機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)精確的耦合仿真。這既需要深入理解土壤力學(xué)和足式機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的原理，也需要借助先進(jìn)的仿真技術(shù)和工具來確保仿真的準(zhǔn)確性和可靠性[90-96]。

Ding等[97]利用分子動(dòng)力學(xué)程序LAMMPS中的顆粒流平臺(tái)LIGGGHTS，擬合了小型足式機(jī)器人在細(xì)質(zhì)沙面行走和足端的移動(dòng)性能，并仿真探討了足端在粗質(zhì)路面上的機(jī)動(dòng)性能和平穩(wěn)狀況。吳江湖[98]結(jié)合離散單元法與動(dòng)力學(xué)耦合仿真技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了足－地接觸力和運(yùn)動(dòng)性能的快速且準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。Zhou等[99]基于μCT掃描技術(shù)得到的沙土顆粒真實(shí)形狀建立數(shù)值樣本，并通過三軸剪切模擬試驗(yàn)，量化分析了顆粒圓度對(duì)沙土宏觀力學(xué)性質(zhì)的影響，結(jié)果表明，顆粒圓度的增加會(huì)降低沙土的峰值偏應(yīng)力、內(nèi)聚強(qiáng)度和摩擦角，顯著改變其力學(xué)行為。石林榕等[100-101]結(jié)合HSCM（High Strength Concrete with Micro-aggregates，含有微骨料的高強(qiáng)度混凝土）和LCM（Latent Consistency Model，潛在一致性模型）的優(yōu)勢(shì)，開發(fā)了一種新的DEM模型，通過Box-Behnken試驗(yàn)法優(yōu)化參數(shù)，以提高西北旱區(qū)農(nóng)田土壤作業(yè)模擬的準(zhǔn)確性，該模型在仿真土壤行為方面取得了顯著進(jìn)展，但仍存在計(jì)算成本高、效率低以及參數(shù)預(yù)測(cè)能力有限等問題。楊晉文[102]通過三維離散元模型精確模擬了粘土－混凝土和角礫－鋼板接觸面的剪應(yīng)力－剪切位移行為，且模擬結(jié)果與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果高度一致，研究分析了力的各向異性與法向應(yīng)力之間的關(guān)系，以及顆粒破碎對(duì)整體行為的影響，揭示了在剪切作用下顆粒破碎的演化過程及其對(duì)微觀結(jié)構(gòu)的影響，從而為理解土－結(jié)構(gòu)接觸面的力學(xué)特性和微觀變化提供了重要見解。王憲良等[103]使用EDEM軟件和EEPA（the Edinburgh Elasto-Plastic Adhesion，非線性彈塑性模型）非線性彈塑性接觸模型進(jìn)行土壤離散元仿真，并通過Plackett-Burman設(shè)計(jì)及Box-Behnken試驗(yàn)對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行敏感性分析和優(yōu)化，建立了參數(shù)與沉陷量的回歸模型，仿真與物理試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比顯示模型準(zhǔn)確可靠，誤差控制在9.21%以內(nèi)，擬合回歸系數(shù)R2達(dá)0.91，驗(yàn)證了仿真模型的高擬合度。研究還通過仿真和試驗(yàn)確認(rèn)了土壤顆粒的應(yīng)力傳遞特性，確保了參數(shù)標(biāo)定的精確性。上述離散元方法對(duì)比如表7所示。

離散元虛擬仿真為足式機(jī)器人與地面交互作用的研究提供了一種高效、經(jīng)濟(jì)的工具，使研究人員能夠在微觀層面模擬土壤的復(fù)雜力學(xué)特性，并優(yōu)化足端設(shè)計(jì)以適應(yīng)多變地形。通過減少實(shí)地測(cè)試，仿真降低了成本和風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)加速了設(shè)計(jì)迭代。結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能，仿真技術(shù)進(jìn)一步增強(qiáng)了對(duì)足式機(jī)器人性能的預(yù)測(cè)和提升，為實(shí)際應(yīng)用提供了有力的技術(shù)支撐。但仍存在一些不足：①計(jì)算效率問題，尤其是在模擬大規(guī)模顆粒系統(tǒng)時(shí)；②對(duì)顆粒間復(fù)雜接觸行為的模擬可能不夠精確；③某些情況下，對(duì)顆粒內(nèi)部結(jié)構(gòu)和力鏈形成的描述存在局限性。未來，將開發(fā)更精細(xì)的接觸模型來更準(zhǔn)確地模擬足端與顆粒介質(zhì)之間的相互作用，并集成機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能技術(shù)以提升對(duì)復(fù)雜足－地系統(tǒng)行為的預(yù)測(cè)和分析能力。同時(shí)，結(jié)合分子動(dòng)力學(xué)和有限元方法，實(shí)現(xiàn)多尺度建模，為足式機(jī)器人的設(shè)計(jì)和復(fù)雜地形適應(yīng)性提供深入理解和技術(shù)支撐。

基于有限元虛擬仿真和離散元虛擬仿真的方法為足－地接觸力學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了強(qiáng)大的虛擬測(cè)試平臺(tái)。有限元方法以其在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的精確性而著稱，特別適用于模擬足端與地面接觸時(shí)的應(yīng)力分布、變形和裂縫擴(kuò)展等問題；離散元方法則在模擬顆粒介質(zhì)和非連續(xù)材料行為方面表現(xiàn)出色，能夠捕捉足端與土壤顆粒間的相互作用和力鏈形成。這些虛擬仿真方法使得研究人員能夠在不同的足端設(shè)計(jì)、土壤特性和環(huán)境條件下，預(yù)測(cè)和分析足－地接觸的力學(xué)回應(yīng)，從而避免了實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的高昂成本和時(shí)間消耗。通過仿真，可以快速迭代設(shè)計(jì)方案、優(yōu)化足端結(jié)構(gòu)、提高足式機(jī)器人的行走效率和地面適應(yīng)性。

4結(jié)論與展望

足－地力學(xué)研究對(duì)于推動(dòng)足式機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的意義。通過對(duì)足式機(jī)器人與地面接觸時(shí)的力學(xué)效應(yīng)和作用機(jī)理的深入分析，能夠設(shè)計(jì)出具有更強(qiáng)地形適應(yīng)性、更高承載能力和更佳穩(wěn)定性的足式機(jī)器人系統(tǒng)。該研究不僅促進(jìn)了足式機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境下的高效行走，還為開發(fā)先進(jìn)的控制算法和優(yōu)化足端結(jié)構(gòu)提供了理論基礎(chǔ)和技術(shù)支持。此外，足－地力學(xué)的研究成果可直接應(yīng)用于救援和地質(zhì)勘探等實(shí)際場(chǎng)景，顯著提升了足式機(jī)器人在多樣化任務(wù)中的實(shí)用性和可靠性。通過對(duì)足－地相互作用力學(xué)特性的深入研究，為足式機(jī)器人的設(shè)計(jì)、仿真和實(shí)際應(yīng)用提供了堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)，進(jìn)一步推動(dòng)了足式機(jī)器人技術(shù)的創(chuàng)新和跨學(xué)科應(yīng)用。

本文從足－地接觸力學(xué)模型、實(shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)虛擬仿真三方面總結(jié)綜述了足－地力學(xué)的研究成果。硬質(zhì)地面接觸力學(xué)模型為足－地相互作用提供了準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)和分析，但面對(duì)沙地、泥土等松軟地面，這些模型可能由于地面的流變特性而不再適用。這些情況下，松軟地面力學(xué)模型能夠更有效地捕捉地面特性，從而更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)機(jī)器人在松軟地面上的運(yùn)動(dòng)行為。因此，在選擇力學(xué)模型時(shí)，必須依據(jù)具體的應(yīng)用場(chǎng)景和地面特性來做出最合適的選擇。足－地力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法通過使用精確傳感器和模擬自然土壤特性的裝置來測(cè)量足端的力學(xué)反應(yīng)，同時(shí)監(jiān)測(cè)腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，評(píng)估運(yùn)動(dòng)效率和穩(wěn)定性，并探索不同足端形狀對(duì)行走性能的影響，對(duì)于揭示行走機(jī)制、優(yōu)化步態(tài)、增強(qiáng)地面適應(yīng)性以及定制特定場(chǎng)景的足端設(shè)計(jì)至關(guān)重要。有限元和離散元虛擬仿真方法為足－地接觸力學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了一個(gè)高效的虛擬測(cè)試平臺(tái)，使研究人員能夠在不同條件下預(yù)測(cè)和分析力學(xué)響應(yīng)，優(yōu)化足端設(shè)計(jì)，提高足式機(jī)器人的行走效率和地面適應(yīng)性，同時(shí)避免了實(shí)際試驗(yàn)的高成本和時(shí)間消耗。

足－地力學(xué)將集中在創(chuàng)新和深化對(duì)足－地交互作用的理解，這包括開發(fā)更為精細(xì)和全面的動(dòng)態(tài)交互模型，通過整合多尺度仿真技術(shù)和實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)反饋，實(shí)現(xiàn)對(duì)足－地接觸過程中力的傳遞、分布和變形行為的精確預(yù)測(cè)，從而為足式機(jī)器人在復(fù)雜地形中的穩(wěn)定行走提供科學(xué)依據(jù)。研究不同環(huán)境條件下土壤的物理特性，以及設(shè)計(jì)適應(yīng)性更強(qiáng)的足端結(jié)構(gòu)。此外，智能控制策略的集成將使足式機(jī)器人能夠更智能地適應(yīng)復(fù)雜多變的地形。結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)的應(yīng)用將進(jìn)一步優(yōu)化步態(tài)和運(yùn)動(dòng)效率，而高精度傳感器技術(shù)將提高對(duì)足端動(dòng)態(tài)響應(yīng)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)能力。探索足－地力學(xué)在農(nóng)業(yè)自動(dòng)化、地質(zhì)勘探和災(zāi)害救援等領(lǐng)域的應(yīng)用，將推動(dòng)相關(guān)技術(shù)的實(shí)用化和商業(yè)化。同時(shí)，考慮環(huán)境因素對(duì)土壤力學(xué)特性的影響，將有助于提高足式機(jī)器人在極端條件下的性能和耐久性。這些研究方向?qū)⒐餐龠M(jìn)足－地力學(xué)領(lǐng)域的技術(shù)進(jìn)步，為足式機(jī)器人的設(shè)計(jì)、控制和應(yīng)用提供更加堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)和創(chuàng)新解決方案。

未來，足－地力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究將在模擬真實(shí)環(huán)境、結(jié)合仿真技術(shù)、探索交互作用以及應(yīng)用智能技術(shù)等方面取得重要進(jìn)展，為足式機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展注入新的活力，推動(dòng)其向更高水平邁進(jìn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳致遠(yuǎn)，涂群章，張?jiān)斊?，? 足式爬行機(jī)器人研究進(jìn)展與發(fā)展趨勢(shì)[J]. 兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2020，41（9）：1-12.

[2]王春臻. 雙平臺(tái)錯(cuò)動(dòng)型混聯(lián)六足機(jī)器人“旋龜”的構(gòu)型設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)規(guī)劃[D]. 太原：中北大學(xué)，2023.

[3]JOONHO L，JEMIN H，LORENZ W，et al. Learning quadrupedal locomotion over challenging terrain[J]. Science Robotics. 2020，5（47）：1-13.

[4]卿智忠. 四足機(jī)器人機(jī)構(gòu)分析及仿真研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2011.

[5]賈云博，許勇，杜靜恩，等. 基于2UU-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的4足機(jī)器人設(shè)計(jì)[J]. 輕工機(jī)械，2022，40（1）：28-33.

[6]YAO Chen，SHI Guowei，GE Yangtao，et al. Predict the Physics-Informed Terrain Properties over Deformable Soils using Sensorized Foot for Quadruped Robots：8th IEEE International Conference on Advanced Robotics and Mechatronics[C]. Sanya：ICARM，2023.

[7]COELHO J，DIAS B，LOPES G，et al. Development and implementation of a new approach for posture control of a hexapod robot to walk in irregular terrains[J]. Robotica. 2024（3）：792-816.

[8]TAN Haoqing，ZHANG Haixu，WANG Yunting，et al. Dynamics Modeling and Gait Analysis of Transport-Oriented Hexapod Robot：International Conference on Guidance， Navigation and Control[C]. Tianjin：ICGNC，2020.

[9]KOLVENBACH H，ARM P，HAMPP E，et al. Traversing steep and granular martian analog slopes with a dynamic quadrupedal robot[J]. Arxic，2021（A）：1-30.

[10]SHI Guowei，YAO Chen，WANG Wenhui，et al. Adaptive Planar Foot with Compliant Ankle Joint and Multi-modal Sensing for Quadruped Robots：2022 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics[C]. Tianjin：ROBIO，2022.

[11]DING Liang，XU Peng，LI Zhengyang，et al. Pressing and Rubbing： Physics-Informed Features Facilitate Haptic Terrain Classification for Legged Robots[J]. IEEE Robotics and Automation Letters，2022，7（3）：5990-5997.

[12]董昊臻. 雙足機(jī)器人步態(tài)仿真及腿部設(shè)計(jì)與控制研究[D]. 武漢：華中科技大學(xué)，2021.

[13]劉帥，趙慧，劉清宇. 四足機(jī)器人軟硬地面穩(wěn)定過渡的腿部主動(dòng)變剛度調(diào)節(jié)策略[J]. 工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2022，44（3）：420-429.

[14]WANG Yuquan，DEHIO NIELS，KHEDDAR ABDERRAHMANE. On Inverse Inertia Matrix and Contact-Force Model for Robotic Manipulators at Normal Impacts[J]. IEEE Robotics and Automation Letters，2022，2（7）：3648-3655.

[15]WANG Qunsheng，ZHU Bin，ZHANG Fubin，et al. Research on wheel wear of the light rail transit based on a modified semi-Hertzian contact model[J]. Industrial Lubrication and Tribology，2023，75（2）： 211-220.

[16]BAEZA LUIS，BRUNI STEFANO，GINER-NAVARRO JUAN，et al. A linear non-Hertzian unsteady tangential wheel-rail contact model[J]. Tribology International，2023，181：108345.

[17]宋健民. 面向細(xì)胞/亞細(xì)胞力學(xué)特性的原子力顯微鏡測(cè)量方法研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2020.

[18]WOO SANG INN. Critical State-Based Mohr-Coulomb Bounding Surface Model for Sand under Monotonic Shearing[J]. Advances in Civil Endineering，2023（1）：1-10.

[19]楊傳瀟. 足地作用力學(xué)建模及在跖行四足機(jī)器人設(shè)計(jì)仿真中的應(yīng)用[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2020.

[20]楊傳瀟，丁亮，鄧宗全，等. 機(jī)器人單足系統(tǒng)－沙土塑性接觸力學(xué)建模及驗(yàn)證[J]. 機(jī)器人，2019，4（41）：473-482，506.

[21]翟廣龍，黃鐵球. 星球車剛性車輪在混合地形上牽引性能研究[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2020，38（6）：1240-1248.

[22]張博文. 輪壤接觸動(dòng)力學(xué)模型修正與六輪驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)向火星車建模仿真[D]. 北京：北京交通大學(xué)，2019.

[23]VANDERKOP ANTHONY，KOTTEGE NAVINDA，PEYNOT THIERRY. A Novel Model of Interaction Dynamics between Legged Robots and Deformable Terrain： IEEE International Conference on Robotics and Automation （ICRA）[C]. Philadelphia，PA：2022：6635-6641.

[24]徐鵬，丁亮，高海波，等. 考慮足地作用的足式機(jī)器人環(huán)境表征與路徑規(guī)劃[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2020，56（23）：21-33.

[25]NEUNERT MICHAEL，STAUBLE MARKUS，GIFTTHALER MARKUS，et al. Whole-Body Nonlinear Model Predictive Control Through Contacts for Quadrupeds[J]. IEEE Robotics and Automation Letters，2018，3（3）：1458-1465.

[26]趙揚(yáng). 基于足地作用力學(xué)的六足機(jī)器人動(dòng)態(tài)控制方法研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2023.

[27]陳正翰，徐趙東，楊建中，等. 月基裝備足墊-月壤水平拖曳力學(xué)模型[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，52（8）：16-20.

[28]丁坤英，裴祥忠，劉子劍，等. 基于赫茲接觸模型的發(fā)動(dòng)機(jī)封嚴(yán)涂層碰磨力計(jì)算與優(yōu)化[J]. 表面技術(shù)，2024，53（5）：184-193.

[29]王崇昊. 滾動(dòng)軸承剝落故障機(jī)理及智能診斷方法研究[D]. 重慶：重慶交通大學(xué)，2023.

[30]HE Jun，GAO Feng. Mechanism， Actuation， Perception， and Control of Highly Dynamic Multilegged Robots： A Review[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering. 2020，33（5）：120-149.

[31]XIE Zhongqu，LI Long，LUO Xiang. A foot-ground interaction model based on contact stability optimization for legged robot[J]. Journal of Mechanical Science and Technology，2022，36（2）：921-932.

[32]HUANG Hsinpu，ZHANG Junhui，XU Bing，et al. Topology optimization design of a lightweight integrated manifold with low pressure loss in a hydraulic quadruped robot actuator[J]. Mechanical Sciences，2021，12（1）：249-257.

[33]WANG Gengxiang，LIU Caishan. Further investigation on improved viscoelastic contact force model extended based on hertz's law in multibody system[J]. Mechanism and Machine Theory，2020，153：1-24.

[34]CHO JUNGSAN，KIM JIN TAK，KIM JUNGYOUNG，et al. Simple Walking Strategies for Hydraulically Driven Quadruped Robot over Uneven Terrain[J]. Journal of Electrical Engineering & Technology，2016，11（5）：1433-1440.

[35]金馬. 基于柔性及反驅(qū)特性的六足機(jī)器人建模與仿真研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2018.

[36]畢秀雯. 海底六足移動(dòng)作業(yè)平臺(tái)多物理耦合動(dòng)力學(xué)研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2019.

[37]呂陽(yáng)，方虹斌，徐鑒，等. 四連桿膝關(guān)節(jié)假肢的動(dòng)力學(xué)建模與分析[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2020，52（4）：1157-1173.

[38]李冰，張永德，袁立鵬，等. 液壓四足機(jī)器人足端的力預(yù)測(cè)控制與運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性[J]. 中國(guó)機(jī)械工程，2021，32（5）：523-532.

[39]鄒猛，李建橋，何玲，等. 不同粒徑分布模擬月壤承壓特性試驗(yàn)研究[J]. 航空學(xué)報(bào)，2012，33（12）：2338-2346.

[40]謝金發(fā). 適應(yīng)丘陵果園的六足機(jī)器人足端結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與研究[D]. 南昌：南昌大學(xué)，2022.

[41]杜江山，黃鐵球，王開灝. 重復(fù)載荷下軟土承壓模型的計(jì)算方法研究[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，41（1）：180-187.

[42]YUAN Ye，LAN Qingning，DING Liang，et al. Estimation of interaction forces with minimal parameters for rigid wheels on deformable terrain using modified Hooke's law[J]. Mechanism and Machine Theory，2022，169：1-20.

[43]DING Liang，GAO Haibo，DENG Zongquan，et al. Foot-terrain interaction mechanics for legged robots： Modeling and experimental validation[J]. Interenational Journal of Robotics Research，2013，32（13）：1585-1606.

[44]YANG Huaiguang，ZHANG Chu，DING Liang，et al. Comparative study of terramechanics properties of spherical and cylindrical feet for planetary legged robots on deformable terrain[J]. Journal of Terramechanics，2024，113-114：1-18.

[45]KARPMAN ERIC，KOVECSES JOZSEF，TEICHMANN MAREK. Terramechanics models augmented by machine learning representations[J]. Journal Ournal of Terramechanics，2023，107：75-89.

[46]陸培棟. 松軟地質(zhì)環(huán)境下機(jī)器人足-地作用力學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2021.

[47]楊傳瀟，胡雄，孫士斌，等. 轉(zhuǎn)動(dòng)C形腿與沙土作用建模及力學(xué)參數(shù)辨識(shí)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2023，59（6）：214-225.

[48]趙江波，龔思進(jìn)，王軍政. 四足機(jī)器人步態(tài)參數(shù)優(yōu)化及探索性行走策略[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，42（4）：407-414.

[49]葛力源. 基于足地相互作用力學(xué)的月面飛躍器緩沖行走足端設(shè)計(jì)[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2021.

[50]SOARES JOAO CARLOS VIRGOLINO，MEDEIROS VIVIAN SUZANO，ABATI GABRIEL FISCHER，et al. Visual Localization and Mapping in Dynamic and Changing Environments[J]. Journal of Intelligent & Robotic Systems，2023，109（4）：1-20.

[51]DING Liang，GONG Xiao，HU Lei，et al. Motion planning and contact force distribution for heavy-duty hexapod robots walking on unknown rugged terrains[J]. Journal of Field Robotics，2024，41（6）：1-22.

[52]牛麗周，丁亮，高海波，等. 軟體足式機(jī)器人驅(qū)動(dòng)、建模與仿真研究綜述[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2021，57（19）：1-20.

[53]鐘世英，岳茜茜，凌道盛，等. 月面松軟地質(zhì)環(huán)境下足式機(jī)器人足–壤滑移性能[J]. 深空探測(cè)學(xué)報(bào)（中英文），2023，10（2）：190-198.

[54]KALTWASSER CRISTOBAL ROVIRA. Political theory meets comparative politics. On Nadia Urbinati's Me the people[J]. History of European Ideas，2022，48（8）：1105-1106.

[55]YEOMANS BRIAN，SAAJ CHAKRAVATHINI M. Towards terrain interaction prediction for bioinspired planetary exploration rovers[J]. Bioinspiration & Biomimetics，2014，9（1）：16009.

[56]SU Yang，YANG Huaiguang，DING Liang，et al. A Unified Foot-Terrain Interaction Model for Legged Robots Contacting With Diverse Terrains[J]. IEEE-ASME Transactions on Mechatronics，2023，29（4）：1-12.

[57]劉逸群，陸培棟，張志鵬，等. 松軟地質(zhì)上機(jī)器人足-地動(dòng)力學(xué)建模與試驗(yàn)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2022，58（5）：8-17.

[58]侯西震，張國(guó)安，劉志強(qiáng)，等. JP72舉高噴射消防車支腿反力與穩(wěn)定性分析[J]. 機(jī)械研究與應(yīng)用，2024，37（2）：135-139.

[59]AHMED MOHAMMED，QUACK LORENZ，R?MMERMANN MALTE，et al. Development of a Real andSimulation Testbed for Legged Robot Soil Interaction： 17th International Conference of the International Society for Terrain Vehicle Systems 2011，ISTVS 2011[C]. Blacksburg，VA，United states：2011：1531-1538.

[60]GREGORY P Scott. The development of a soil traffic ability model for leggedvehicles on granular soils[J]. Journal of Terram echanics，2012，3-4（49）：133-146.

[61]POPESCU MIHAELA，MRONGA DENNIS，BERGONZANI IVAN，et al. Experimental Investigations into Using Motion Capture State Feedback for Real-Time Control of a Humanoid Robot[J]. Sensors，2022，22（24）：9853.

[62]DU Wenqian，F(xiàn)NADI MOHAMED，MOULLET ETIENNE，et al. Leg Centroidal Dynamics Based New Locomotion Principle of a Quadruped Robot with On-line Legged Motion Generation[J]. Journal of Intelligent & Robotic Systems，2021，103（4）：1-34.

[63]FU Ze，LI Yinghu，GUO Weizhong. Swing Leg Motion Strategy for Heavy-load Legged Robot Based on Force Sensing[J]. Arxiv，2023（A）：1-6.

[64]PUTRA O DITYA ANDALAS，HIDAYAT AHMAD YUDHISTIRA FACHREZA， et al. Implementation of Inverse Kinematics on Arduino-Based SAR Robot Leg Design as a Control for Robot Motion Maneuverability： 8th International Conference on Electrical，Electronics and Information Engineering，ICEEIE 2023[C]. Malang City，Indonesia，2023：1-7.

[65]羅曉飛. 足式機(jī)器人足-地作用機(jī)理試驗(yàn)臺(tái)設(shè)計(jì)與試驗(yàn)分析[D]. 南京：南京農(nóng)業(yè)大學(xué)，2017.

[66]CHOPRA SHIVAM，TOLLEY MICHAEL T，Gravish Nick. Granular Jamming Feet Enable Improved Foot-Ground Interactions for Robot Mobility on Deformable Ground[J]. IEEE Robotics and Automation Letters，2020，5（3）：3975-3981.

[67]YAO Chen，SHI Guowei，XU Peng，et al. STAF： Interaction-Based Design and Evaluation of Sensorized Terrain-Adaptive Foot for Legged Robot Traversing on Soft Slopes[J]. IEEE-ASME Transactions on Mechatronics，2024（A）：1-12.

[68]張志鵬. 足式步行車足-地動(dòng)力學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2020.

[69]CATALANO MANUEL GIUSEPPE，POLLAYIL MATHEW JOSE，GRIOLI GIORGIO，et al. Adaptive Feet for Quadrupedal Walkers[J]. IEEE Transactions on Robotics，2021，38（1）：302-316.

[70]PIAZZA C.，SANTINA C.D.，GRIOLI G，et al. Analytical Model and Experimental Testing of the SoftFoot： An Adaptive Robot Foot for Walking Over Obstacles and Irregular Terrains[J]. IEEE Transactions on Robotics，2024，40：1-16.

[71]STONE ELIZABETH A.，LEPORA NATHAN E.，BARTON DAVID A. W. Walking on TacTip toes： A tactile sensing foot for walking robots： IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems （IROS）[C]. Electr Network，2020：9869-9875.

[72]YANG Huaiguang，DING Liang，GAO Haibo，et al. High-Fidelity Dynamic Modeling and Simulation of Planetary Rovers Using Single-Input-Multi-Output Joints With Terrain Property Mapping[J]. IEEE Transactions on Robotics，2022，38（5）：3238-3258.

[73]ZHANG Chu，DING Liang，YANG Huaiguang，et al. Optimization Design of Buffering and Walking Foot for Planetary Legged Robots： 23rd IFToMM China International Conference on Mechanism and Machine Science and Engineering，IFToMM CCMMS 2022[C]. Yantai，2023：393-408.

[74]郎軍. 半球形剛性足端與軟質(zhì)地面相互作用力學(xué)特性研究[D]. 濟(jì)南：山東建筑大學(xué)，2023.

[75]蘇波，閆曈，許威，等. 四足機(jī)器人高機(jī)動(dòng)越野技術(shù)研究[J]. 中國(guó)科學(xué)：技術(shù)科學(xué)，2023，53（9）：1574-1588.

[76]盧松明，郭策，戴振東. 仿蝗蟲腳掌的機(jī)器人腳結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及其優(yōu)化[J]. 科學(xué)通報(bào)，2012，57（26）：2463-2468.

[77]蔡舒文，饒進(jìn)軍，肖輔龍. 仿蜥蜴水面機(jī)器人腳掌設(shè)計(jì)[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2012，28（1）：22-25.

[78]孫亮亮，王克運(yùn)，侯亮，等. 一種山地機(jī)動(dòng)平臺(tái)的足端結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析[J]. 機(jī)械工程師，2012（9）：20-21.

[79]谷雨. 仿壁虎機(jī)器人足端三維力感知及運(yùn)動(dòng)控制研究[D]. 南京：南京航空航天大學(xué)，2020.

[80]李昂. 小型多維力傳感器設(shè)計(jì)及應(yīng)用[D]. 南京：東南大學(xué)，2017.

[81]高凱. 四足機(jī)器人仿生足端設(shè)計(jì)與分析[D]. 長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2023.

[82]馬吉良，彭軍，郭艷婕，等. 爬壁機(jī)器人研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2023，59（5）：11-28.

[83]黃龍，張衛(wèi)華，陳今茂，等. 爬壁機(jī)器人的研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)[J]. 機(jī)械工程與技術(shù)，2021，10（3）：345-363.

[84]于桂鑫. 基于足地作用的六足機(jī)器人仿真研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)，2015.

[85]JIN Ma，DING Liang，GAO Haibo，et al. Dynamics Modeling and Simulation of a Hexapod Robot with a Focus on Trajectory Prediction[J]. Journal of Intelligent & Robotic Systems，2023，108（1）：1-20.

[86]HE Gang，CAO Zhaoyuan，LI Qian，et al. Influence of hexapod robot foot shape on sinking considering multibody dynamics[J]. Journal of Mechanical Science and Technology，2020，34（9）：3823-3931.

[87]蘇楊. 面向多物理特征地形六足機(jī)器人足地力學(xué)建模及系統(tǒng)仿真[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2021.

[88]夏端祥. 礦用卡車裝載過程EDEM與ADAMS聯(lián)合仿真研究[D]. 沈陽(yáng)：東北大學(xué)，2015.

[89]YANG Peng，ZANG Mengyan，ZENG Haiyang. DEM-FEM simulation of tire-sand interaction based on improved contact model[J]. Computational Particle Mechanics. 2020，7（4）：629-643.

[90]LIU Haifeng. Theoretical and experimental investigation on angle of repose of biomass-coal blends[J]. Elsevier SCI LTD，2014，116：131-139.

[91]ACQUAH KOBBY，CHEN Ying，GIORGIO VALSECCHI. Discrete element modelling of soil pressure under varying number of tire passes[J]. Journal of Terramechanics，2023，107：23-33.

[92]孫昊，劉鑄永，劉錦陽(yáng). 機(jī)器人單足系統(tǒng)沙土跳躍剛-散耦合動(dòng)力學(xué)分析[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2022，54（12）：3486-3495.

[93]MA L，CHIU A C F，CHENG Y P，et al. Effects of particle breakage on the compression behaviour of gap-graded carbonate sand-silt mixtures[J]. Geotechnique Letters，2021，11（1）：16-20.

[94]胡成. 基于CS-SWI理論的多軸車輛動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建與數(shù)值仿真研究[D]. 長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)，2021.

[95]劉玲，靳伍銀，王洪建. 六足仿生機(jī)器人自主爬行步態(tài)設(shè)計(jì)與仿真分析研究[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2021，40（12）：1885-1891.

[96]張銳，韓佃雷，吉巧麗，等. 離散元模擬中沙土參數(shù)標(biāo)定方法研究[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2017，48（3）：49-56.

[97]DING Xuhao，RATH PUNYASLOK，GIRALDO-LONDONO OLIVER，et al. Fracture modeling of rubber-modified binder based on Discrete Element Method[J]. Journal of Cleaner Production，2022，380：1-13.

[98]吳江湖. 基于足地力學(xué)的六足機(jī)器人著陸及行走機(jī)構(gòu)仿真研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)，2023.

[99]ZHOU Zhong，LI Zhenxiao，ZHANG Jiuzhou，et al. DEM investigation on sandy soil behaviors under the influence of particle shape[J]. Powder Technology，2024，441：1-9.

[100]方雨陽(yáng)，張克平，楊智凱. 基于離散元法的西北旱區(qū)鏵式犁耕作過程仿真分析與試驗(yàn)[J]. 江西農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2024-04-02.

[101]石林榕. 西北旱區(qū)玉米直插穴播互作機(jī)理研究[D]. 蘭州：甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)，2022.

[102]楊晉文. 土與結(jié)構(gòu)接觸面的離散元模擬與微觀結(jié)構(gòu)特性研究[D]. 北京：中國(guó)水利水電科學(xué)研究院，2019.

[103]王憲良，鐘曉康，耿元樂，等. 基于離散元非線性彈塑性接觸模型的免耕土壤參數(shù)標(biāo)定[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào). 2021，37（23）：100-107.