摘要：數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間自古以來(lái)存在著緊密的聯(lián)系與融合。在學(xué)科融合的視域下，數(shù)學(xué)為音樂(lè)提供了科學(xué)和系統(tǒng)的分析方法，采用了數(shù)學(xué)建模，實(shí)施了樂(lè)理與數(shù)學(xué)建模的融合、音樂(lè)與數(shù)學(xué)問(wèn)題的融合的應(yīng)用研究，給音樂(lè)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的實(shí)踐案例提供了科學(xué)依據(jù)，提出了音樂(lè)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的優(yōu)勢(shì)與挑戰(zhàn)，促進(jìn)了音樂(lè)理論與學(xué)科融合的應(yīng)用發(fā)展研究。

關(guān)鍵詞：音樂(lè) 數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用

黨的二十大報(bào)告指出①，加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)科、新興學(xué)科、交叉學(xué)科建設(shè)，加快建設(shè)中國(guó)特色、世界一流的大學(xué)和優(yōu)勢(shì)學(xué)科。構(gòu)建完善藝術(shù)學(xué)科與其他學(xué)科協(xié)同推進(jìn)的美育課程體系，遵循美育特點(diǎn)，突出價(jià)值塑造②。習(xí)近平總書(shū)記在清華大學(xué)考察時(shí)強(qiáng)調(diào)，要用好學(xué)科交叉融合的“催化劑”，加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)科培養(yǎng)能力，打破學(xué)科專業(yè)壁壘③。世界正處于知識(shí)交融與融合的時(shí)代，學(xué)科之間的邊界逐漸變得模糊。不同學(xué)科之間的合作和研究，促進(jìn)了學(xué)科之間的融合和發(fā)展。

在實(shí)踐中，加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)科培養(yǎng)能力是推動(dòng)學(xué)科交叉融合的關(guān)鍵。學(xué)科的融合需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)作為支撐，只有具備深厚的學(xué)科素養(yǎng)，才能夠在交叉領(lǐng)域中發(fā)揮積極的作用。我們可以通過(guò)加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)科的教育和培養(yǎng)，培養(yǎng)出更多具備廣泛知識(shí)和跨學(xué)科思維能力的人才。此外，學(xué)科專業(yè)壁壘的消除也是推進(jìn)學(xué)科交叉融合OBBXGpjOp0YMXTthqRmlEg==的關(guān)鍵一步。許多學(xué)科之間存在著嚴(yán)重的壁壘，導(dǎo)致了知識(shí)孤島的存在。我們需要打破這些壁壘，促進(jìn)學(xué)科之間的交流和合作。

音樂(lè)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的溯源

數(shù)學(xué)在音樂(lè)創(chuàng)作和表演中的應(yīng)用可以追溯到古代，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家和音樂(lè)家就開(kāi)始探索數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間的關(guān)聯(lián)。在音樂(lè)創(chuàng)作過(guò)程中，數(shù)學(xué)提供了一種系統(tǒng)化的方法來(lái)構(gòu)建和組織音樂(lè)結(jié)構(gòu)。例如，通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)理論中的和音法則，音樂(lè)家可以合理地選擇和弦、進(jìn)行和聲編排，以創(chuàng)造出和諧的音樂(lè)作品。比如，著名的音樂(lè)家貝多芬曾經(jīng)利用和聲學(xué)原理，將不同音符相互結(jié)合，創(chuàng)作出了《命運(yùn)交響曲》等經(jīng)典作品，使得聽(tīng)眾在聆聽(tīng)音樂(lè)時(shí)能夠感受到和諧的美妙旋律，側(cè)面表現(xiàn)出和聲學(xué)中的數(shù)學(xué)原理與音樂(lè)能夠融合。

除了和聲學(xué)原理，數(shù)學(xué)還在音樂(lè)節(jié)奏和節(jié)拍的控制中起著重要作用。舉個(gè)例子，巴赫的音樂(lè)作品中所使用的對(duì)位法等復(fù)調(diào)作品，正是基于數(shù)學(xué)的原理來(lái)構(gòu)建的。這種融合了數(shù)學(xué)和音樂(lè)的結(jié)合不僅讓音樂(lè)更加富有層次和韻律感，同時(shí)也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)在藝術(shù)創(chuàng)作中的重要作用。

而今，在流行音樂(lè)創(chuàng)作中，數(shù)字化音序排列可以利用數(shù)學(xué)算法精確排布音符，使得音樂(lè)旋律更加豐富多變。同時(shí)，在電子音樂(lè)的創(chuàng)作中，數(shù)學(xué)計(jì)算用于合成和調(diào)控聲音，以產(chǎn)生出琳瑯滿目的聲音效果，從而創(chuàng)造出獨(dú)具個(gè)性的音樂(lè)作品。這些應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算的方法豐富了現(xiàn)代音樂(lè)的創(chuàng)作手段，也為音樂(lè)創(chuàng)作者提供了更多的表達(dá)方式和創(chuàng)作可能。

黃金分割比例在藝術(shù)作品中的運(yùn)用，使得畫(huà)面更加和諧美觀；音樂(lè)作品的黃金分割比例的合理性，會(huì)使審美聽(tīng)覺(jué)的共鳴更強(qiáng)烈。表明數(shù)學(xué)在音樂(lè)、藝術(shù)和技術(shù)領(lǐng)域都起到重要作用，為創(chuàng)意和美感的表達(dá)提供了更多可能性。它不僅僅幫助音樂(lè)家創(chuàng)作和演奏音樂(lè)，更在音樂(lè)理論和實(shí)踐中發(fā)揮著不可或缺的作用。因此，數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間的關(guān)聯(lián)性在當(dāng)今音樂(lè)創(chuàng)作領(lǐng)域依然備受重視。

音樂(lè)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的實(shí)踐

音樂(lè)學(xué)科涵蓋了各種與音樂(lè)相關(guān)的概念與理論，包括音樂(lè)的基本元素、樂(lè)理、音樂(lè)史等方面的內(nèi)容。音樂(lè)作為一門(mén)藝術(shù)形式，通過(guò)聲音的有序組合和時(shí)間的演繹來(lái)表達(dá)情感和傳遞信息。音樂(lè)的創(chuàng)作、演奏和欣賞都需要理論和技術(shù)的支持，而數(shù)學(xué)在其中發(fā)揮了重要的作用。數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間存在著密切的聯(lián)系與融合。

首先，音樂(lè)中的節(jié)奏、頻率與音程等元素都可以通過(guò)數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析和測(cè)量。例如，音符的長(zhǎng)度和間隔可以用數(shù)學(xué)比例來(lái)表示，音程和和弦的關(guān)系可以用數(shù)學(xué)公式來(lái)描述。這種數(shù)學(xué)與音樂(lè)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系使得音樂(lè)理論更加科學(xué)和系統(tǒng)化。數(shù)學(xué)還可以幫助音樂(lè)家在音樂(lè)表演中達(dá)到更高的技巧和準(zhǔn)確度。例如，在音樂(lè)節(jié)奏方面，數(shù)學(xué)提供了計(jì)算和測(cè)量節(jié)拍、音符持續(xù)時(shí)間和音符之間的間隔等要素的方法。通過(guò)數(shù)學(xué)的分析和實(shí)踐，音樂(lè)家可以精確地演奏出音樂(lè)作品中所要求的節(jié)奏和音符長(zhǎng)度。

（一）樂(lè)理與數(shù)學(xué)建模的融合

樂(lè)理是研究音樂(lè)原理和結(jié)構(gòu)的學(xué)科，它包括音高、音程、調(diào)式、節(jié)拍等方面的內(nèi)容。數(shù)學(xué)提供了一種精確的語(yǔ)言和符號(hào)來(lái)描述和分析這些音樂(lè)元素。例如，音高可以用數(shù)學(xué)比例來(lái)表示，音程和和弦可以通過(guò)數(shù)學(xué)原理加以解析。這種數(shù)學(xué)與音樂(lè)樂(lè)理的結(jié)合，使得音樂(lè)理論更加科學(xué)化和系統(tǒng)化。

1.音高和音強(qiáng)的基本概念

音樂(lè)是人類文化不可或缺的一部分，而音高和音強(qiáng)是音樂(lè)中最基本的屬性之一。音高是指音符的高低，音強(qiáng)則表示音樂(lè)的強(qiáng)弱或音量。這兩個(gè)特征在音樂(lè)中起著至關(guān)重要的作用，能夠給予音樂(lè)以豐富的表達(dá)力和感染力。音高是由發(fā)音體在每秒鐘內(nèi)振動(dòng)次數(shù)的多少來(lái)決定的，振動(dòng)次數(shù)越多，音符則會(huì)越高[1]。而音強(qiáng)則由發(fā)音體振動(dòng)時(shí)振幅的大小決定，振幅越大，音強(qiáng)也會(huì)相應(yīng)增加。在音樂(lè)中，通過(guò)音高和音強(qiáng)的組合，我們可以得到豐富多樣的音色和音樂(lè)效果。

2.數(shù)學(xué)在音高建模中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)在音樂(lè)中扮演著重要的角色，尤其是在音高建模方面。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，我們可以更好地理解音高和其他音樂(lè)要素之間的關(guān)系。例如，在西方音樂(lè)中，音高是通過(guò)十二平均律來(lái)表示的，即將1個(gè)八度分成12個(gè)半音[2]。這種數(shù)學(xué)模型能夠確保音樂(lè)中的音高關(guān)系保持穩(wěn)定。在音高建模方面，還存在一些其他的音高模型，如微分音高模型和等比音高模型。這些模型通過(guò)對(duì)音高之間的比例關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，增加了音樂(lè)中音高的變化維度，使得音樂(lè)更加多樣化和豐富。

除此之外，數(shù)學(xué)還可以應(yīng)用于音高的視覺(jué)表示。基于傅里葉變換④，光譜分析是一種通過(guò)頻譜圖來(lái)呈現(xiàn)音頻信息的方法。通過(guò)將音頻信號(hào)轉(zhuǎn)換成頻域圖形，我們可以清晰地看到音樂(lè)中各個(gè)音高的能量分布，從而更好地分析和理解音高的特點(diǎn)。

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)在音高建模中的應(yīng)用豐富多樣，不僅能夠幫助我們更好地理解音高的概念和特征，還能夠提供有效的方法和工具來(lái)分析和表示音高的信息。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，我們可以深入探索音樂(lè)中音高與其他元素的關(guān)系，從而進(jìn)一步拓展音樂(lè)的表達(dá)和創(chuàng)作空間[3]。

3.數(shù)學(xué)在音強(qiáng)建模中的應(yīng)用

除了在音高建模中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)在音樂(lè)中還扮演著音強(qiáng)建模的重要角色。音強(qiáng)是指音樂(lè)的強(qiáng)弱或音量，也是音樂(lè)中不可或缺的要素之一。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，我們可以更好地理解音強(qiáng)和其他音樂(lè)特征之間的關(guān)系，并且提供有效的方法和工具來(lái)分析和表示音強(qiáng)的信息。

在音強(qiáng)建模中，我們可以使用音樂(lè)的振幅來(lái)描述音強(qiáng)。振幅較大的發(fā)音體會(huì)有較高的音量，而振幅較小的發(fā)音體則音量較低。通過(guò)數(shù)學(xué)模型，我們可以精確地計(jì)算并表示不同音強(qiáng)之間的差異。除了振幅的數(shù)學(xué)描述之外，還可以借助功率譜密度來(lái)分析音樂(lè)中音強(qiáng)的分布情況和能量分布特征。功率譜密度分析可以將音頻信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域圖像，從而更直觀地觀察音頻的譜線和峰值分布情況，進(jìn)一步分析音樂(lè)中音強(qiáng)的規(guī)律和趨勢(shì)。

同時(shí)，數(shù)學(xué)模型還可以幫助我們探索音強(qiáng)在音樂(lè)中的演變規(guī)律和變化趨勢(shì)。例如，波形分析是一種通過(guò)觀察音頻信號(hào)的波形圖來(lái)分析音樂(lè)特征的方法。通過(guò)對(duì)波形的形狀、幅度和周期等進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，我們可以得到音樂(lè)中不同音強(qiáng)的分布情況，揭示出音樂(lè)中音強(qiáng)變化的規(guī)律。

未來(lái)，隨著數(shù)學(xué)建模技術(shù)的不斷發(fā)展和創(chuàng)新，音高和音強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型也將得到更廣泛的應(yīng)用和探索。例如，通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)等方法，可以對(duì)音高和音強(qiáng)進(jìn)行更精確的預(yù)測(cè)和分析。此外，數(shù)學(xué)建模還可以與其他學(xué)科進(jìn)行交叉，如心理學(xué)和神經(jīng)科學(xué)等，以探索音高、音強(qiáng)等音樂(lè)要素對(duì)人類聽(tīng)覺(jué)和情感的影響機(jī)制。

數(shù)學(xué)在音樂(lè)中的應(yīng)用不僅可以幫助我們更好地理解音高和音強(qiáng)的概念和特征，還可以提供強(qiáng)大的工具和方法來(lái)分析和表示音高和音強(qiáng)的信息。未來(lái)，音高、音強(qiáng)和數(shù)學(xué)建模的融合將進(jìn)一步拓展音樂(lè)的表達(dá)和創(chuàng)作空間，為音樂(lè)藝術(shù)的發(fā)展帶來(lái)新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

（二）音樂(lè)與數(shù)學(xué)問(wèn)題的融合

在音樂(lè)五線譜中，我們可以將音列視作數(shù)學(xué)坐標(biāo)中的點(diǎn)，并按照上行或下行的順序排列。將每個(gè)音符看作點(diǎn)，并將它們連接起來(lái)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們形成了一條直線。這條直線向右延伸時(shí)，音樂(lè)中的音調(diào)也會(huì)遞增；向左延伸時(shí)，音調(diào)則遞減。以數(shù)學(xué)的四人追及問(wèn)題為例，數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間有著比較緊密的聯(lián)系，可以進(jìn)行融合的研究，如數(shù)學(xué)的追及問(wèn)題，建立成直角坐標(biāo)系的方式來(lái)呈現(xiàn)。

在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形跑道的四個(gè)頂點(diǎn)上各站有1人，他們同時(shí)開(kāi)始以等速順時(shí)針追逐下一人。在追及過(guò)程中，每個(gè)人時(shí)刻對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)。試模擬追及路線，并討論4個(gè)人能否追到一起。我們將4個(gè)人看成質(zhì)點(diǎn)a、b、c、d，設(shè)他們的初始位置分別為（0，0）（即坐標(biāo)原點(diǎn)O，0）、（0，1）、（1，1）、（1，0）。運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，a、b、c、d四人同時(shí)分別朝著各自目標(biāo)沿著向量a0 b0，b0 c0，c0 d0，d0 a0的方向運(yùn)動(dòng)。在追及過(guò)程中，4人在正方形區(qū)域內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。在4人的速率v相等的情況下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，a與b間距離、b與c間距離、c與d間距離、d與a間距離都已足夠?。ㄐ∮诔跏季嚯x的0.5%）。即運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，a、b、c、d四人可以追到一起，都到達(dá)正方形中心（0.5，0.5）位置附近[4]。向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，相當(dāng)于音樂(lè)中的音調(diào)在遞增；向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，相當(dāng)于音樂(lè)中的音調(diào)在遞減。在正方形區(qū)域內(nèi)曲線活動(dòng)相當(dāng)于音樂(lè)中的旋律線起伏。

總結(jié)一下，點(diǎn)聚成線，線匯成面，面交匯則生成各種立體形狀。類似地，音樂(lè)由音符組建旋律線，創(chuàng)造出富有立體感的音樂(lè)結(jié)構(gòu)。核心在于和聲，即多個(gè)音符組合成的和音，它們持續(xù)不斷地呈現(xiàn)?？梢园殉跏己鸵糁械拿總€(gè)音符視為旋律線的起始點(diǎn)，后續(xù)不同和音中的音符成為新的旋律線的音點(diǎn)，從而形成多條旋律線。這些旋律線互相交織，構(gòu)建音樂(lè)的立體結(jié)構(gòu)。各個(gè)作品形成獨(dú)特的立體圖形，彰顯作曲家們的個(gè)性風(fēng)格。同時(shí)，同一位作曲者在同一時(shí)期創(chuàng)作的作品，其立體圖形也大體相近，構(gòu)成作曲家獨(dú)特的音樂(lè)語(yǔ)言。著名音樂(lè)理論家姆尼茲豪普德曼曾將音樂(lè)比喻為流動(dòng)的建筑。音樂(lè)與數(shù)學(xué)的緊密關(guān)系猶如數(shù)學(xué)追及問(wèn)題的立體圖像，它們的結(jié)合自然且生動(dòng)[5]。

音樂(lè)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的前景

音樂(lè)中的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中具有許多優(yōu)勢(shì)。首先，數(shù)學(xué)模型能夠幫助我們從科學(xué)角度解釋音樂(lè)現(xiàn)象，并提供以證據(jù)為基礎(chǔ)的分析。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，我們可以更好地理解音樂(lè)的特征，并揭示音樂(lè)中的規(guī)律和趨勢(shì)。這種科學(xué)化的方法可以為音樂(lè)創(chuàng)作、演奏和教學(xué)提供指導(dǎo)，使音樂(lè)更加科學(xué)化和專業(yè)化。其次，數(shù)學(xué)模型能夠提供有效的工具和方法來(lái)分析和表示音樂(lè)信息。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，我們可以通過(guò)數(shù)字化的方式對(duì)音樂(lè)進(jìn)行分析和處理，使得音樂(lè)的研究和創(chuàng)作過(guò)程更加高效和準(zhǔn)確。例如，在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域，我們可以使用傅里葉變換等數(shù)學(xué)方法來(lái)提取音樂(lè)中的音高和音強(qiáng)信息，從而更好地進(jìn)行分析和處理。此外，數(shù)學(xué)模型還可以幫助我們?cè)黾訉?duì)音樂(lè)的理解和感知。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，我們可以模擬和重建音樂(lè)，使得我們能夠更好地感受并理解音樂(lè)的表達(dá)和情感。這種數(shù)字化的模擬方法可以為音樂(lè)教育和音樂(lè)欣賞提供更豐富的體驗(yàn)和資源。

然而，音樂(lè)中的數(shù)學(xué)模型也面臨一些挑戰(zhàn)。首先，音樂(lè)是一門(mén)藝術(shù)，而數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)。將兩者結(jié)合起來(lái)需要我們平衡科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和藝術(shù)的創(chuàng)造性。如果過(guò)于注重?cái)?shù)學(xué)模型，可能會(huì)忽視音樂(lè)本身的美感和情感表達(dá)，導(dǎo)致音樂(lè)變得過(guò)于理性和機(jī)械。因此，如何合理運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，平衡科學(xué)和藝術(shù)之間的關(guān)系，是一個(gè)需要思考和探索的問(wèn)題。

此外，音樂(lè)中的數(shù)學(xué)模型還面臨著技術(shù)和數(shù)據(jù)的限制。雖然數(shù)學(xué)模型可以提供有效的分析工具，但需要依靠大量的音樂(lè)數(shù)據(jù)和復(fù)雜的計(jì)算方法來(lái)支持。這對(duì)于一些音樂(lè)資源相對(duì)匱乏的地區(qū)和個(gè)人而言可能存在一定的難度。因此，如何解決數(shù)據(jù)和技術(shù)限制，使得數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中更加普及和可行，是一個(gè)需要思考和努力的問(wèn)題。

結(jié)語(yǔ)

音樂(lè)和數(shù)學(xué)建模的融合將拓展音樂(lè)的表達(dá)和創(chuàng)作空間，并為音樂(lè)藝術(shù)的發(fā)展帶來(lái)新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。通過(guò)合理運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，平衡科學(xué)和藝術(shù)的關(guān)系，我們可以更好地理解音樂(lè)的概念和特征，提供更有效的方法和工具來(lái)分析和表示音高和音強(qiáng)的信息。未來(lái)，隨著技術(shù)的發(fā)展和創(chuàng)新，數(shù)學(xué)建模在音樂(lè)中的應(yīng)用將得到更廣泛的探索和應(yīng)用，為音樂(lè)的創(chuàng)作、演奏和欣賞帶來(lái)更多可能性和靈感。

注釋：

①此文來(lái)自于央廣網(wǎng)[EB/OL].（2022-10-17）[2024-02-01].一圖速覽！二十大報(bào)告要點(diǎn)來(lái)了_央廣網(wǎng) （cnr.cn）。

②此文來(lái)自于中華人民共和國(guó)教育部網(wǎng)[EB/OL].（2023-12-20）[2024-02-02].教育部關(guān)于全面實(shí)施學(xué)校美育浸潤(rùn)行動(dòng)的通知 - 中華人民共和國(guó)教育部政府門(mén)戶網(wǎng)站 （moe.gov.cn）。

③此文來(lái)自于中青在線網(wǎng)[EB/OL].（2021-04-22）[2024-02-02].赴清華考察 “學(xué)長(zhǎng)”習(xí)近平這樣詮釋心中的“大學(xué)之道”（cyol.com）。

④傅里葉變換，指滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。引用于《中國(guó)科技信息》雜志社。

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