一、模型可以啟發(fā)思考，凸顯思維的高階屬性——始于模型來創(chuàng)新

（一）關(guān)于模型及其認(rèn)識

對于數(shù)學(xué)模型和如何開展基于模型的初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)，人們經(jīng)歷了一個不斷重視與加深認(rèn)識的過程。

比如，完全平方公式，它本質(zhì)上就是（a+b）·（a+b）=a2+ab+ba+b2。在這個意義下，完全平方公式就是一個模型。直接運用完全平方公式而跳過運用多項式乘法法則再進(jìn)行運算的思想、方法和過程等就是運用（完全平方公式模型）數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思維與運算的過程。同樣，幾何里的許多定理亦如是。以上過程正好體現(xiàn)了模型的發(fā)現(xiàn)、歸納、提煉、推導(dǎo)或證明再到應(yīng)用的完整思維過程。

（二）基于真實案例的模型探究

在中考前多次模擬測試中，當(dāng)客觀題難題涉及到正方形時，我班的一位平時成績中等的學(xué)生多次正確解答，這引起了我的研究興趣。在交流中他說：“凡涉及正方形的題目一般都是12345模型，按結(jié)論去套就行了。”那么，什么是12345模型呢？他說：“只要碰到正方形，如果有一個以正方形的頂點為頂點的45°角，那就一定會有一個角的正切是1∶2，以及一定svJNNB7O+jCr+hG3CDxemQ==會有另一個角的正切是1∶3。然后再按照這個規(guī)律一個個去套，一般都是對的。”

這里至少含有兩個信息：1.基于數(shù)學(xué)模型，按圖索驥地去探尋解題思路和進(jìn)行解答往往效果明顯；2.學(xué)生運用模型解題時可能會知其然不知其所以然，只是套用了模型結(jié)論而未真正理解和掌握模型所涉及的數(shù)學(xué)知識方法。

（三）基于模型的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐

如圖1，已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE。F是AE邊上的一點，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長為 .

分析：當(dāng)我們看到題目的已知條件里有等腰直角三角形的時候，聯(lián)想到與它關(guān)系密切的“手拉手”模型，繼而構(gòu)造出“手拉手”模型，是此題的解題關(guān)鍵所在。如圖2，將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段HD，連接BH，構(gòu)造出“手拉手”模型。

（四）模型教學(xué)的幾點思考

第一，基于模型的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)主題鮮明、重點突出。既能培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力、發(fā)散思維能力，又可以改進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，還可以積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗、提升數(shù)學(xué)解題能力。

第二，基于模型的初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)方法多、效果明顯。既可以根據(jù)常見的題型、結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行分類教學(xué)，又可以從典型而基礎(chǔ)的模型出發(fā)，逐級展開聯(lián)想，從而尋找圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，并利用學(xué)生們已有的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗，創(chuàng)造性地搭建緊密相聯(lián)、科學(xué)高效的相關(guān)數(shù)學(xué)模型框架。

第三，教師在平時的解題教學(xué)中，要從學(xué)生的實際情況與相關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，充分挖掘教材與習(xí)題的內(nèi)在育人價值，鼓勵學(xué)生對數(shù)學(xué)的知識方法與問題都進(jìn)行深入研究，引導(dǎo)并總結(jié)出一般化的解題思路、方法、策略與解題模型。

二、數(shù)學(xué)模型教學(xué)呼喚從模仿到創(chuàng)造——止于模型去創(chuàng)造

（一） 模型教學(xué)的心理機(jī)制

如圖3，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD、CE是角平分線，若BE=AC，BD=2，則CE= .

發(fā)散思考問題：哪些模型或定理是與90°有關(guān)的呢？聯(lián)想到半弦圖或者叫做一線三垂直模型，我們可以巧妙地啟發(fā)學(xué)生們以半弦圖為目標(biāo)或向?qū)L試是否可以通過添補(bǔ)兩個直角，來成功地構(gòu)造出半弦圖（見圖4），具體解法此處略。

在這個教學(xué)的過程中，我們看到學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)散—聯(lián)想—嘗試的過程。何克抗教授認(rèn)為，實現(xiàn)創(chuàng)造性思維離不開兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：創(chuàng)造想象思維和復(fù)雜直覺思維。而“隨意創(chuàng)造思維”，通過“發(fā)散— 聯(lián)想—想象”等環(huán)節(jié)，按當(dāng)前的指令要求進(jìn)行串并存線性加工。此題解題的思維過程，正是何克抗教授指出的“隨意創(chuàng)造思維”過程。如果只知道半弦圖的模型，想著直接套用，幾乎是不可能解出此題的。

（二） 模型教學(xué)的教學(xué)要旨

基于模型的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)致力于追求“無招勝有招”的教學(xué)境界。當(dāng)基本模型經(jīng)過提煉并熟練應(yīng)用后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對該模型的變式與拓展進(jìn)行更深層次地探究，讓學(xué)生在變式訓(xùn)練的過程中，感悟模型的精髓與本質(zhì)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的思想與方法，真正實現(xiàn)思維品質(zhì)尤其是創(chuàng)新思維品質(zhì)的培養(yǎng)與提升。

責(zé)任編輯 鐘嘉儀