【摘 要】文章以教師A、教師B執(zhí)教的兩節(jié)視導(dǎo)課為載體，通過兩位教師的課堂教學(xué)，揣摩其課堂組織的立意，在講好運算與推理故事的宏觀引領(lǐng)下，提出心納法則、選好起點、教好歸納、講好道理的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀點，并認為教師要學(xué)會傾聽，做好課堂教學(xué)忠實的組織者、引導(dǎo)者、發(fā)現(xiàn)者，呵護好學(xué)生的奇思妙想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】運算法則；教學(xué)起點；歸納推理；傾聽

運算與推理是數(shù)學(xué)的“兩條腿”，缺一不可，這就為日常教學(xué)提供了宏觀引領(lǐng)——講好運算與推理的故事。代數(shù)的核心在于算（運算），幾何的焦點在于證（推理），且推理與運算是不可分割的整體。一定意義上說，運算也是一種推理，而推理是講依據(jù)的，要步步有依，言必有據(jù)，不可恣意而為。這就給我們透視出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)與推理無形中捆綁在一起。本文基于兩節(jié)數(shù)學(xué)運算法則課，對教學(xué)進行思考，并提出一些建議。

一、心納法則：對數(shù)學(xué)運算法則及其教學(xué)的認識

法則就是規(guī)則，“不以規(guī)矩，不能成方圓”，數(shù)學(xué)莫不如此。雖然這個規(guī)則是公理化體系下的設(shè)定，也就是數(shù)學(xué)內(nèi)部自圓其說的一種規(guī)定，但教師需要讓這一規(guī)定深入學(xué)生內(nèi)心，讓學(xué)生深感認同。因此，在教學(xué)中，教師要想方設(shè)法把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，增進學(xué)生的心理認同感，從現(xiàn)實生活到已經(jīng)建立起來的數(shù)學(xué)規(guī)則發(fā)展的角度，加強學(xué)生的規(guī)則意識，深入學(xué)生內(nèi)心，如此法則教學(xué)才算是到位。若“一個法則、三項注意、大量練習”式的教學(xué)必然讓學(xué)生陷入不講道理的死記硬背中，既固化了學(xué)生的思維，又給學(xué)生的記憶增加了外在心理負荷和認知負荷。教師讓學(xué)生在沒有真正心理認同下去守規(guī)則，其實就是一種教育教學(xué)的“強權(quán)”?！皬姍?quán)”下的霸道往往會引起人的反感，縱然能讓學(xué)生“屈從”，但如此屈從可想而知結(jié)果會如何。因此，法則課，尤其是法則起始課，重心就是想方設(shè)法贏得學(xué)生的認同，以展現(xiàn)數(shù)學(xué)既要講推理，更要講道理的本色。

法則教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，如何讓學(xué)生真正理解法則、掌握法則是教學(xué)的難點。其“根”“本”就是讓學(xué)生親歷法則的形成過程，將帶有生硬規(guī)定性的法則變成學(xué)生的自然生成，充分淡化生硬的規(guī)定痕跡。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)立足學(xué)生的生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)學(xué)習經(jīng)驗、已有知識水平等現(xiàn)實，讓學(xué)生通過對巧妙設(shè)計的情境問題的解決，有效促進法則的生成。如此，不但讓學(xué)生感知到法則是已有知識自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯（學(xué)術(shù)形態(tài)），讓法則順理成章，而且讓學(xué)生體悟到法則的“深情厚義”，入情、入心、入理，根植學(xué)生腦際（教育形態(tài)），從而讓法則的出現(xiàn)自然而然。誠然，只有讓學(xué)生心納了，讓學(xué)生認識到規(guī)則的脈絡(luò)相連，學(xué)生學(xué)得才有意思，教師的教才更有意義，學(xué)生才會心悅誠服地去執(zhí)行、去落實，進而增進理解。

二、選好起點：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成敗的關(guān)鍵

本文選取兩節(jié)數(shù)學(xué)運算法則課進行論述，一節(jié)是教師A執(zhí)教的“有理數(shù)的乘法”起始課，使用了“蝸牛爬行”的生活情境展開研究，并延伸到多個數(shù)相乘的法則及運算；另一節(jié)是教師B執(zhí)教的“有理數(shù)的除法”起始課，直接給出“怎樣計算8÷（-4）”這一問題。這兩節(jié)課均是典型的法則課。作為兩個法則的第一課時，獲得法則是教學(xué)的重點，如何獲得法則成為教學(xué)的關(guān)鍵，其中對隱匿于法則來龍去脈中的思想方法的挖掘是教學(xué)的難點所在。這兩節(jié)課的教學(xué)起點在哪里？具體是什么？這是值得我們深入思考并研究的關(guān)鍵問題。

1.有理數(shù)的乘法

有理數(shù)乘法的教學(xué)起點主要取決于學(xué)生的認知起點，從邏輯起點來說應(yīng)是有理數(shù)的加法和小學(xué)范圍內(nèi)非負數(shù)的乘法。選好了起點，教學(xué)才能更好地逼近學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生產(chǎn)生思維共振，使新、舊知識的界限變淡，使得新知成為舊知的自然生長。如此，杜威“教育即生長，教育即經(jīng)驗的改造”的論斷就成為教師施教的理論依據(jù)?；诖?，用好學(xué)生這些已有的認知就成了教學(xué)的關(guān)鍵。教師A有了這種應(yīng)用意識，也對各種類型進行了歸類，但最開始的復(fù)習散而不聚焦，沖淡了本節(jié)課的教學(xué)，對關(guān)鍵的負數(shù)乘以正數(shù)揭示不夠，關(guān)于它的教學(xué)不夠凸顯。另外，教師A選擇了“蝸牛爬行”問題，生活味較濃，一定程度上增進了學(xué)生的興趣，但其中的表達比較繞，增大了學(xué)生的外部認知負荷。從實驗版教材實施的調(diào)研結(jié)果來看，很多學(xué)生對此認識有難度，故現(xiàn)行人教版教材調(diào)整了這一入題的素材，變成當下的全程規(guī)律“歸納”問題，更具有數(shù)學(xué)味道。

基于此，對于“有理數(shù)的乘法”的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者建議如下：

一是基于有理數(shù)加法引入乘法?？捎谩埃?3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=？”借力小學(xué)學(xué)過的乘法意義，學(xué)生不難想到上式可轉(zhuǎn)換為“（-3）×7=？”。如此，一個關(guān)鍵性問題呈現(xiàn)出來，使得小學(xué)與初中，初中的先與后密切地關(guān)聯(lián)起來。這展現(xiàn)的是整體化思維，對學(xué)生思維的發(fā)展意義重大。

二是可基于小學(xué)的乘法引入，通過對小學(xué)乘法的分類——正數(shù)乘以正數(shù)、正數(shù)乘以0，增補初中有了負數(shù)參與運算后的負數(shù)乘以負數(shù)、負數(shù)乘以正數(shù)、負數(shù)乘以0的分類，讓有理數(shù)乘法悉數(shù)呈現(xiàn)。在排除正數(shù)乘以正數(shù)、正數(shù)乘以0兩類情況下，展開對其他類型的研究。

2.有理數(shù)的除法

有理數(shù)除法的起點類似于前面談到的乘法，一是小學(xué)學(xué)過的除法運算，二是脫胎于有理數(shù)乘法，這種乘除互逆的運算關(guān)系值得重視。教師B直接給出一個除法：怎樣計算8÷（-4）？這也是教材中開門見山的問題，但如此直接呈現(xiàn)給人一種空降之感。此處無妨從乘法切入，通過互逆運算關(guān)系順理成章地生長出除法運算，這樣才更體現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的邏輯性，更有數(shù)學(xué)韻味。即用“（-4）×？=8”“？×6=-36”提出問題：“如何確定兩個算式中的問號？”如此一來，“8÷（-4）=？”的除法運算就自然呈現(xiàn)了。

如此瞻前顧后抓聯(lián)系、選起點的切入，乘除運算之間的關(guān)聯(lián)再次被強化，數(shù)學(xué)運算的發(fā)展就在這樣的脈絡(luò)上得以自然延伸。

三、教好歸納：“有理數(shù)的乘法”起始課的應(yīng)有之義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）在十大核心詞“創(chuàng)新意識”中指出，獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。［1］《課標（2011年版）》把歸納與創(chuàng)新連接在一起，給了歸納重要的地位?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）同樣在“創(chuàng)新意識”核心素養(yǎng)中提出，初步學(xué)會通過具體的實例，運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗證。［2］可見，教好歸納是教師義不容辭的責任，而“有理數(shù)的乘法”就給了教師教好歸納的諸多機會。

數(shù)學(xué)中基本的思想主要有三類：抽象（分類、集合、數(shù)形結(jié)合、符號表示、對稱、對應(yīng)、有限與無限），推理（歸納、演繹、公理化、理性類比、逐步逼近、代換），建模（簡化、量化、函數(shù)、方程、優(yōu)化、隨機、抽樣統(tǒng)計）。這些均是史寧中教授提出的上位思想，它直接對接數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。其中，推理中的歸納法（歸納推理）是整個代數(shù)學(xué)的基本大法和基本功。因此，教好歸納就是落實學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的行動。對于“有理數(shù)的乘法”起始課，從人教版數(shù)學(xué)教材來看，通篇自始至終透射出歸納的痕跡，這種思想的揭示與涵育將成為這節(jié)課的重中之重。因此，本節(jié)課挖掘出歸納推理并教好歸納推理就映射出教師對教材的理解是否到位的問題?！坝媒滩慕潭皇墙探滩摹保簿褪且敖毯媒滩摹?，把教材專家的集體智慧利用好，變成教學(xué)的智慧，如此才會有教學(xué)的豐實與扎實。

另外，歸納中必然有抽象、概括的助力，歸納的過程就是歸納推理、抽象概括等數(shù)學(xué)核心思想共情的過程。久而久之的歷練，學(xué)生就會慢慢積淀下這些思想的種子，再遇到類似情境就可能讓遷移真實發(fā)生，并逐漸培養(yǎng)起數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

若把歸納放在“有理數(shù)”整章的高度去認識，不難發(fā)現(xiàn)，“有理數(shù)”一章自始至終彰顯了歸納這一主線（歸納一詞顯性出現(xiàn)至少9次，隱性的地方更多，至少20次，僅在本節(jié)教材中就顯性出現(xiàn)了5次）。教材從相反數(shù)、絕對值、數(shù)軸等概念到有理數(shù)的加法法則（含運算律）、減法法則、乘法法則（含運算律）、除法法則、乘方法則，一貫而下，然后通過“乘方”一節(jié)的例題以及后面的“拓廣探索”，以歸納、探尋規(guī)律的方式具體化、顯性化?？梢?，教材編寫者的良苦用心，教師應(yīng)審慎地解讀教材，充分挖掘教材專家的集體智慧。

很多時候，教師責備學(xué)生不去思考、不會思考，其實是教師把學(xué)生思考的機會錯失了或取代了，甚至是丟棄了。課堂教學(xué)中，教師只有善于挖掘教材、用好教材，并在施教過程中捕捉契機，讓學(xué)生在新知的探索與形成過程中，嘗試歸納與概括，經(jīng)歷抽象，使學(xué)生感知思維的脈動，借機向?qū)W生展示思維之道，才能更好地解決學(xué)生“怎么想”“怎么想到”的問題，進而提升學(xué)生數(shù)學(xué)理解的層次，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

四、講好道理：三個及以上數(shù)相乘法則從何而來

講道理離不開推理，更離不開經(jīng)驗，杜威的教育觀點“教育即經(jīng)驗的改造”很好地說明了這一點。由兩個數(shù)相乘到多個數(shù)相乘，為什么能不加說明地把兩個數(shù)相乘的法則搬用？其間的道理何在？把兩個數(shù)相乘的法則直接用到三個及以上的數(shù)相乘，依靠的是運算的慣性，還是直接搬用了小學(xué)學(xué)過的非負數(shù)的多個數(shù)相乘？諸多疑問由此而生。其實教師不加說明地沿用兩個數(shù)相乘的法則到多個數(shù)是不講道理的行為，不能認為沒出狀況就可以這樣教（沒出狀況的原因是這個終極結(jié)果是對的），如此之教，會讓學(xué)生下意識地跟隨教師養(yǎng)成不講依據(jù)的習慣。教師應(yīng)先解決兩個有理數(shù)乘法的交換問題，然后再解決乘法的結(jié)合問題。由此，從左到右就可以把前兩個數(shù)相乘的結(jié)果依次和下一個數(shù)結(jié)合，完成多個數(shù)的乘法運算，也就是要把乘法運算律前置至此（有理數(shù)的加法運算律就是安排在多個數(shù)相加學(xué)習之前），才能更好地展示數(shù)學(xué)的講道理。故此，不管是為了講好道理的生活邏輯，還是為了講好推理的數(shù)學(xué)邏輯，都需要把教材進行調(diào)適（《課標（2022年版）》對應(yīng)的七年級上冊教材已經(jīng)調(diào)了過來，把運算律與多個數(shù)相乘的法則進行了換位，與有理數(shù)加法運算形成一致性）。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)著眼于兩數(shù)相乘法則的獲得及應(yīng)用，多個數(shù)相乘不應(yīng)該在本節(jié)出現(xiàn)，如此而為會沖淡教學(xué)重點。

五、學(xué)會傾聽：教師在課堂上的應(yīng)有姿態(tài)

教師要學(xué)會傾聽，既要聽懂學(xué)生外化的語言，也要洞察學(xué)生內(nèi)心的思緒，這樣才能做出正確判斷，更好地落實“串聯(lián)”，以學(xué)定教才有可能。

課堂是師生思維碰撞的交互場，是教學(xué)相長的生活共同體，一位教師面對的是眾多學(xué)生，學(xué)生的群體智慧遠遠超越教師。在開放的課堂上學(xué)生的思維活躍，有創(chuàng)意的奇思妙想不時出現(xiàn)，這些突如其來的生成如何面對，對教師來說是一種挑戰(zhàn)，當然，若把握好也是出彩的機會。特別是出現(xiàn)了意想不到且把握不準的問題時，教師不可輕易否決或肯定學(xué)生的認識，此時不妨做一名忠實的傾聽者，可通過追問讓學(xué)生的想法顯現(xiàn)。教師在傾聽中去識別、去判斷、去串聯(lián)，審思學(xué)生的想法，或把問題拋給學(xué)生，組織學(xué)生討論交流。在這個過程中，群策群力澄明模糊認識，能讓教師贏得主動，從而做出合理的判斷，把隨機生成組織成一次探究活動。在本次“有理數(shù)的除法”課堂上，就出現(xiàn)了這種“意外”。一個學(xué)生提出了一種看似怪誕的做法，對于分數(shù)除以分數(shù)的運算，她使用了分子除以分子得分子，分母除以分母得分母的做法。這種做法看似荒誕，實則光點閃爍，創(chuàng)意躍然紙上，可惜創(chuàng)造的心門讓教師的一句“不可以”給斷然關(guān)閉了。故此，教師應(yīng)敬畏課堂、敬畏學(xué)生，不可輕言“不可以”，要調(diào)節(jié)好自己課堂上的姿態(tài)，真真切切地為學(xué)生的可發(fā)展性服務(wù)，做好課堂教學(xué)忠實的組織者、引導(dǎo)者、發(fā)現(xiàn)者，呵護好學(xué)生的奇思妙想。

對問題認識的深度決定了教師教學(xué)立意的高度。教師只有理解好教材、理解好學(xué)生、理解好數(shù)學(xué)、理解好教學(xué)，才能更好地提升教學(xué)立意的高度。課堂是一門遺憾的藝術(shù)，我們永遠行走在課堂優(yōu)化的路上，沒有最好，只有更好。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

［2］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責任編輯：羅小熒）