摘 要：文章研究了Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)的滑模同步問題，以李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和同步控制相關(guān)理論為基礎(chǔ)，得出了同步控制的研究結(jié)論，并給出實現(xiàn)Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)同步的兩種方案。最后用MATLAB做出數(shù)值仿真，畫出了吸引子相圖和系統(tǒng)的誤差曲線，對所得結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值驗證，確定了同步方案的可行性與有效性.

關(guān)鍵詞：混沌系統(tǒng)；滑模；同步

中圖分類號： TV213.4" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A" 文章編號：1007 - 9734 （2024） 03 - 0104 - 04

0 引 言

混沌系統(tǒng)包含復(fù)雜的動力學(xué)行為，從而引起了控制界眾多學(xué)者的高度關(guān)注［1-5］，關(guān)于混沌理論及其應(yīng)用的研究已成為非線性科學(xué)研究中最重要的前沿課題之一?；煦缤綄儆诨煦缈刂频姆懂?，目前，有關(guān)混沌系統(tǒng)同步控制的研究已取得了豐富的研究成果［6-10］?；瑒幽B(tài)控制方法的引入，使得復(fù)雜的非線性混沌同步控制問題變得迎刃而解。例如：文獻(xiàn)［11］利用比例積分滑模研究了分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)［12-14］研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步；文獻(xiàn)［15］研究了Victor-Carmen分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)比例積分滑模同步；文獻(xiàn)［16］基于新型滑模同步方法研究了Victor-Carmen分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題；文獻(xiàn)［17］研究了不確定R[o]ssler分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步；文獻(xiàn)［18］基于三個控制方案研究了金融分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)滑模同步。另一方面Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)因其十分豐富的密匙參數(shù)與系統(tǒng)信息受到高度關(guān)注，文獻(xiàn)［19］研究了Jafari-Sprott整數(shù)階混沌系統(tǒng)的信息熵、李亞普諾夫指數(shù)譜、吸引子與分岔等動力學(xué)行為；本文根據(jù)穩(wěn)定性理論和同步控制方法研究Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)的滑模同步，得出了實現(xiàn)Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)同步的兩種方案。

1 數(shù)學(xué)模型與主要結(jié)果

1994年，美國學(xué)者Sprott J C通過計算機窮舉法發(fā)現(xiàn)了19個混沌系統(tǒng)［19］，這19個系統(tǒng)被稱為Sprott系統(tǒng)，編號為Sprott A到Sprott S。這些系統(tǒng)可以寫出或是包含一個二次非線性項的六項式，或是包含兩個二次非線性項的五項式，這19個系統(tǒng)不能通過變量替換而相互轉(zhuǎn)換。Sprott系統(tǒng)方程簡單，便于電路實現(xiàn)，在混沌擴(kuò)頻通信和混沌保密通信中有著很好的應(yīng)用前景。Jafari S 和Sprott J C在2013年提出了Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)［20］，對整數(shù)階Jafari-Sprott系統(tǒng)方程做出動力學(xué)分析，方程如下：

[x=yy=-x+yzz=-x-axy-bxz] （1）

選取系統(tǒng)參數(shù)[a=15，b=1] ，系統(tǒng)（1）呈現(xiàn)出混沌態(tài)，其吸引子相圖如圖1所示。初始值設(shè)置為[（x（0），y（0），z（0））=（0，0.5，0.5）]。

以系統(tǒng)（1）作為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)如下：

[x1=y1y1=-x1+y1z1+u1z1=-x1-ax1y1-bx1z1+u2] （2）

定義誤差變量[e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，]系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（1）中對應(yīng)方程相減得誤差系統(tǒng)：

[e1=e2e2=-e1+y1z1-yz+u1e3=-e1-ax1y1-xy-bx1z1-xz+u2] （3）

李雅普諾夫指數(shù)[λ1=0.7394，λ2=-0.9070，λ3=-0.2922]，李雅普諾夫指數(shù)圖譜如圖2所示，分岔圖如圖3所示。

引理1[21]若函數(shù)[f（t）]在[[0，+∞）]上一致連續(xù)，并且[0+∞f（t）dt]存在，則有[limt→∞f（t）=0]。

定理1 設(shè)計滑模函數(shù)[s（t）=ke1+e2+e3]，其中[kgt;2]為常數(shù)，

[u1=-ke2-y1z1+yzu2=2e1+ax1y1-xy+bx1z1-xz-ηssgns]

則主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）是滑?；煦缤降?。

證明：當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)落在滑模面上時，[s=0]。根據(jù)系統(tǒng)（3）第一個方程有

[e1=e2] （4）

將[u1=-ke2-y1z1+yz]代入系統(tǒng)（3）第二個方程有

[e2=-e1-ke2] （5）

由式（4）和式（5）得[e2=-e1-ke2=-e2-ke2]，求解[e2]作為未知函數(shù)的微分方程，對應(yīng)的特征方程為[λ2+kλ+1=0]，特征值為[λ=-k±k2-42]；由[kgt;2]，[λ]具有負(fù)實部，可知[e2→0]；結(jié)合式（5）得到[e1→0]；再由[s=0]，即[ke1+e2+e3=0]，可得到[e3→0]。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不在滑模面上時，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)[V（t）=12s（t）2]，求導(dǎo)得

[V（t）=ss=ske1+e2+e3]

[=s[ke2-e1+y1z1-yz+u1-e1-ax1y1-xy-bx1z1-xz+u2]=-ηs2lt;0。]

兩端積有分[0lt;0tηs（τ）2dτlt;-0tVdτlt;V0-Vtlt;V0-V∞lt;0]。根據(jù)引理1，有[s→0]。主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）滑模混沌同步。

定理2 設(shè)計滑模函數(shù)[s（t）=e1+e2+e3]，其中[ηgt;0]為常數(shù)，設(shè)計控制器

[u1=-2e2-y1z1+yz-ηssgnsu2=e1+ax1y1-xy+bx1z1-xz-e3]

則主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）滑?；煦缤健?/p>

證明：當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)落在滑模面上時，有[s=0]。將[u2=e1+ax1y1-xy+bx1z1-xz-e3]代入系統(tǒng)（3）第三個方程得[e3=-e3]，從而有[e3→0]。由[s=0]，即[e1+e2+e3=0]，可知[e1→-e2]，代入系統(tǒng)（3）第一個方程[e1=e2]，得到[e2=-e2]，從而[e2→0]。再由[s=0]可得[e1→0]。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不在滑模面上時，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)[V（t）=12s（t）2]，求導(dǎo)得

[V=ss=se1+e2+e3]

[=s[ke2-e1+y1z1-yz+u1-e1-ax1y1-xy-bx1z1-xz+u2]=s-e1-e2-e3-ηssgns=-s2-ηs2≤-（1+η）s2lt;0。]

兩端積分[0lt;0t1+ηs（τ）2dτlt;-0tVdτlt;V0-Vtlt;V0-V∞lt;0]。

根據(jù)引理1，有[s→0]，主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）滑?；煦缤?。

2 數(shù)值仿真

選取系統(tǒng)參數(shù)[a=15，b=1]，[k=3，η=2]。系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2）狀態(tài)變量初始值分布取為[（0，0.5，0.5）]和[（1，-1，-1）]。利用MATLAB軟件，采用預(yù)估校正算法進(jìn)行數(shù)值仿真。

系統(tǒng)的誤差曲線如圖4和圖5所示，從圖中可以看出，初始時刻誤差相差較大，隨時間推移誤差逐漸縮小并在一段時間后最終趨于原點，主從系統(tǒng)實現(xiàn)同步。將兩種方案進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，實現(xiàn)同步的時間相差不大，定理2提出的同步方案相對要快一些，如果改變初始值或是控制器中參數(shù)值，同步時間的長短可能會互換。兩種方案的主要區(qū)別在于符號函數(shù)分別在各自的第二和第三個方程中，用同步時間長短難于區(qū)分哪個方案更具有優(yōu)勢。定理給出的方案都是充分而非必要條件，因此，在數(shù)值仿真過程中，即使控制器不滿足方案條件，也有可能實現(xiàn)系統(tǒng)同步。

3 結(jié) 論

文章研究了Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，根據(jù)混沌同步控制相關(guān)理論給出了同步控制的兩種同步方案。與我們過去的滑模同步方案進(jìn)行比較，優(yōu)化了過去因為控制器中包含符號函數(shù)而造成誤差變量振幅比較大的問題，優(yōu)化后的誤差系統(tǒng)可以很好地穩(wěn)定在零點。最后用MATLAB仿真算例對結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值驗證。

參考文獻(xiàn)：

［1］JIANG M H，MEI J，et al.Finite-time synchronization control of a class of memristor-based recurrent neural networks[J].Neural Networks： The Official Journal of the International Neural Network Society，2015，63：133-140.

［2］SONG S，ZHANG B Y，SONG X N.et al.Fractional-order adaptive neuro-fuzzy sliding mode H∞ control for fuzzy singularly perturbed systems[J].Journal of the Franklin Institute，2019，356（10）：5027-5048.

［3］SONG S，ZHANG B Y，SONG X N，et al.Neuro-fuzzy-based adaptive dynamic surface control for fractional-order nonlinear strict-feedback systems with input constraint[J].IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics：Systems， 2019，29（9）：3347-3359.

［4］HAN X M，WU H Q.Adaptive exponential synchronization of memristive neural networks with mixed time-varying delays[J].Neurocomputing，2016，20（3）：40-50.

［5］TCHINDA S， MPAME G，TAKOUGANG A，et al.Dynamic analysis of a snap oscillator based on a unique diode nonlinearity effect， offset boosting control and sliding mode control design for global chaos synchronization[J].Journal of Control， Automation and Electrical Systems，2019，30（6）：1-15.

［6］LI W H，BAI G H， HASHEM I M. A new robust finite-time synchronization and anti-synchronization method for uncertain chaotic systems by using adaptive estimator and terminal sliding mode approaches[J].Journal of Control， Automation and Electrical Systems volume，2020，31（5）：1375-1385.

［7］AL-SAWALHA M M.Synchronization of different order fractional-order chaotic systems using modify adaptive sliding mode control[J].Advances in Difference Equations，2020，20（1）：417-425.

［8］CHEN C，LI L X，et al.Finite-time synchronization of memristor-based neural networks with mixed delay[J].Neurocomputing，2017，235（16）：83-89.

［9］ABDURAHMAN A ，JIANG H J，TENG Z D.Finite-time synchronization for memristor-based neural networks with time-varying delays[J].Neural Networks，2015，69（3-4）：20-28.

［10］WANG W P，PENG H P，LI L X，et al.Finite-time function projective synchronization in complex multi-links networks with time-varying delay[J].Neural Processing Letters，2015，41（1）：71-88.

［11］王東曉.分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步[J].天津師范大學(xué)學(xué)報（自然版），2019，39（5）：35-38.

［12］毛北行，王東曉.不確定分?jǐn)?shù)階高維混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步[J].電子學(xué)報，2021，49（4）：775-780.

［13］毛北行.分?jǐn)?shù)階多混沌系統(tǒng)滑模同步兩種方法的比較[J].電子學(xué)報，2020，48（11）：2215-2219.

［14］毛北行，王東曉.不確定分?jǐn)?shù)階Rucklidge系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步[J].南開大學(xué)學(xué)報（自然版），2020，53（6）：59-64.

［15］毛北行.分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)自適應(yīng)比例積分滑模同步[J].東北師大學(xué)報（自然版），2021，53（1）：43-47.

［16］毛北行.分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的新型滑模同步方法[J].控制工程，2021，28（5）：856-859.

［17］毛北行，王東曉.分?jǐn)?shù)階不確定R[o]ssler 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步[J].浙江大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2021，48（2）：210-214.

［18］毛北行，王東曉.金融不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)滑模同步的3種控制方案[J].吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2022，60（5）：1183-1188.

［19］SPROTT J C.Some simple chaotic flows[J].Physical Review E，1994，52（2）：647-653.

［20］JAFARI S，SPROTT J C.Simple chaotic flows with a line equilibrium[J].Chaos， Solitons amp; Fractals，2013，57：79-84.

［21］梅生偉，申鐵龍，劉志康.現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

責(zé)任編校：劉 燕，田 旭

Two Schemes for Sliding Mode Synchronization of Jafari -Sprott Chaotic System

WANG Dongxiao

（School of Mathematics， Zhengzhou University of Aeronautics， Zhengzhou 450046， China）

Abstract： The sliding mode synchronization problem of Jafari-Sprott chaotic system was studied， and based on Lyapunov stability theory and synchronization control related theories， we had provided research conclusions on synchronization control. Two schemes for implementing synchronization of Jafari-Sprott chaotic system had been proposed. The phase diagram of the attractor and the error curve of the system were drawn using MATLAB simulation technology， and the results obtained were verified numerically to determine the feasibility and effectiveness of the synchronization scheme.

Key words： chaotic system; sliding mode ;synchronization

收稿日期：2023-05-19

基金項目：國家自然科學(xué)青年基金（11801528，41906003）

作者簡介：王東曉，男，河北威縣人，副教授，研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與混沌同步。