二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形。有關(guān)二面角大小的考查是當前新高考的重點也是難點，其綜合性較強、方法靈活，它能有效地培養(yǎng)同學們的空間想象、邏輯推理、運算求解等能力。下面以2024年新高考全國Ⅰ 卷第17 題為例，引入三類通法，詳細敘述具體步驟，希望對同學們解題的探索性、靈活性、獨創(chuàng)性帶來啟示。

注：凡二面角問題中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上射影圖形面積的，都可利用射影面積公式求出二面角的大小，具體數(shù)量關(guān)系復雜的時候可以引入三角函數(shù)來簡化計算過程。

鞏固練習：（2021年新高考全國Ⅰ卷第20題）如圖7，在三棱錐ABCD中，平面ABD ⊥平面BCD，AB=AD，O為BD 的中點。

（1）證明：OA⊥CD;

（2）若△OCD 是邊長為1的等邊三角形，點E 在棱AD 上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD 的體積。

提示：（1）略。

（2）如圖8所示，過點E 作EN ∥AO 交BD 于N ，過點N 作NM ∥CD 交BC 于M ，連接ME，則可得EN ⊥平面BCD 。

由OB=OD =OC可得，△BCD 為直角三角形。從而可得∠EMN 為所求的二面角E-BC-D 的平面角，即∠EMN =45°，可得MN =EN 。再結(jié)合平行關(guān)系和△OCD 是邊長為1的等邊三角形，可求出三棱錐的體積。

總結(jié)：高中數(shù)學重點在培養(yǎng)同學們的思維能力、數(shù)學核心素養(yǎng)，這是高考評價體系中所述的“多停下來想一想，多些思考，少些計算”的鮮明要求，也是新高考試題的明顯導向。而一題多解能激發(fā)同學們自主思考，并逐步提升分析問題、解決問題的能力，進而提升創(chuàng)新思維，最終促進創(chuàng)新能力的發(fā)展。

（責任編輯 趙 倩）