［摘 要］高中階段的空間幾何問題中，空間直角坐標系常被用來解答空間位置關系、角度、距離和體積的問題。文章通過分析具體實例，探究了空間直角坐標系在解題中的簡便性和實用性，旨在為學生提供一種有效的解題思路和方法，以提升他們的解題能力。

［關鍵詞］空間直角坐標系；空間幾何；四類問題

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-6058（2024）26-0032-03

空間幾何作為高中數(shù)學的重要組成部分，在高考中具有極其重要的地位。其中，空間位置關系、角度、距離和體積等常見的問題，往往讓學生感到棘手。運用空間直角坐標系能夠化繁為簡，巧妙解決這些問題。本文將結合具體實例，詳細闡述如何利用空間直角坐標系解答這四類問題。

一、位置問題

位置關系是空間幾何中最為常見、最為基礎的問題，常見的考點有線線關系、線面關系、面面的平行、垂直關系等。在解答這類問題時，首要步驟是根據(jù)題目給出的條件，建立合適的空間直角坐標系；隨后根據(jù)空間直角坐標系，確定題目中涉及的各個點的坐標，進而得到直線的方向向量或平面的法向量；最后根據(jù)向量間的關系判斷出題目的關系。需要提醒學生注意，如果無法根據(jù)題目信息快速建立空間直角坐標系，則需要思考并采用其他方法進行解題。

［例1］如圖1，在正四棱柱[ABCD-A1B1C1DD1]中，[AB=2]，[AA1=4]，點[A2]，[B2]，[C2]，[D2]分別在棱[AA1]，[BB1]，[CC1]，[DD1]上，[AA2=1]，[BB2=DD2=2]，[CC2=3]。證明：[B2C2]∥[A2D2]。

解析：以[C]為坐標原點，[CD]，[CB]，[CC1]所在直線為[x]軸，[y]軸，[z]軸建立如圖2所示的空間直角坐標系。

得[C（0，0，0）]，[C2（0，0，3）]，[B2（0，2，2）]，[D2（2，0，2）]，[A2（2，2，1）]，

所以[B2C2=（0，-2，1）]，[A2D2=（0，-2，1）]，

所以[B2C2 ]∥[ A2D2]，即向量[B2C2]與[A2D2]共線，

又[B2C2]，[A2D2]不在同一直線上，所以[B2C2]∥[A2D2]。

點評：本題為線線平行證明問題，在解題中通過建立直角坐標系，可得[B2]，[C2]，[A2]，[D2]各點坐標，繼而得到[B2C2]，[A2D2]，進而通過兩向量之間的關系，便可證明[B2C2]∥[A2D2]。

二、角度問題

在高考試題中，空間幾何的角度問題是必考點，同時也是難點。雖然借助定義法可以解答，但是過程較為煩瑣，而借助空間直角坐標系可以降低解題難度。在高考中常見的命題類型有求解異面直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面之間的夾角等。解題的主要步驟與上述位置問題相似，首先建立空間直角坐標系；其次確定各點的坐標和向量，如果要求兩條直線的夾角，就需要計算出這兩條直線的方向向量；最后計算向量的點積和模長，便可得夾角余弦值的絕對值。其中需要注意的是，要結合圖象判斷角度的大小。

［例2］如圖3，三棱錐[A-BCD]中，[DA=DB=DC]，[BD⊥CD]，[∠ADB=∠ADC=60°]，[E]為[BC]中點。

（1）證明：[BC⊥DA]；

（2）點[F]滿足[EF=DA]，求二面角[D-AB-F]的正弦值。

解析：（1）略。

（2）設[DA=DB=DC=2]，

因為[BD⊥CD]，

所以[BC=22]，[DE=AE=2]，

所以[DE2+AE2=4=AD2]，

所以[DE⊥AE]，

又因為[BC⊥AE]，[DE?BC=E]，

[DE，BC?]平面[BCD]，

所以[AE⊥]平面[BCD]，

以點[E]為原點，[ED]，[EB]，[EA]所在直線分別為[x]軸，[y]軸，[z]軸建立如圖4所示的坐標系，

則有[E（0，0，0）]，[D（2，0，0）]，[A（0，0，2）]，[B（0，][2，0）]，

設平面[DAB]與平面[ABF]的一個法向量分別為[n1=（x1，y1，z1）]，[n2=（x2，y2，z2）]，二面角[D-AB-F]的平面角為[θ]。

而[AB=（0，2，-2）]，[DA=（-2，02）]，[EF=（-2，0，2）]

所以[EF=DA]，

所以[F（-2，0，2）]，

即有[AF=（-2，0，0）]，

所以[DA·n1=0，BA·n1=0，]即[-2x1+2z1=0，2y1-2z1=0，]

取[x1=1]，則[y1=0]，[z1=1]，所以[n1=（1，1，1）]，

同理：[2y2-2z2=0，-2x2=0，]

取[y2=1]，則[x2=0]，[z2=1]，所以[n2=（0，1，1）]，

所以[cosθ=n1·n2n1·n2=23×2=63]，

則[sinθ=1-cos2θ=1-632=33]，

所以二面角[D-AB-F]的正弦值為[33]。

點評：本題為求二面角的正弦值問題，在實際解題中需要先確定涉及的兩個面，而后計算出兩面的法向量，再結合法向量求得二面角的余弦值，最后將其轉化為二面角的正弦值。除此之外，在求線面角、已知線面角或面面角求參數(shù)等諸多問題中，都可以通過建立空間直角坐標系借助向量法進行解題。

三、距離問題

高考中的距離問題主要涉及點到直線、兩平行平面的距離及直線到平面的距離等幾種命題類型。解題中，需要通過建立空間直角坐標系確定各點的坐標及向量，在此基礎上利用向量運算求解。

［例3］如圖5，四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]為平行四邊形，側面[PAD]是邊長為[2]的正三角形，平面[PAD⊥]平面[ABCD]，且[AB⊥PD]。

（1）求證：平行四邊形[ABCD]為矩形；

（2）若[E]為側棱[PD]的中點，且平面[ACE]與平面[ABP]所成角的余弦值為[64]，求點[B]到平面[ACE]的距離。

解析：（1）略。

（2）以[A]為坐標原點，[AB]為[x]軸，[AD]為[y]軸，建立如圖6所示的空間直角坐標系，

設[AB=t>0]，[A（0，0，0）]，B（t，0，0），C（t，2，0），P（0，1，[3]），[E0，32，32]，

所以[AC=（t，2，0） ]，[ AE=0，32，32 ]，[ AB=（t，0，0）]，[AP=（0，1，3）]，

設平面[ACE]的一個法向量為[n1=（x1，y1，z1）]，

則[AC·n=0，AE·n=0，]即[tx1+2y1=0，32y1+32z1=0，]

令[x1=2]，則[y1=-t]，[z1=3t]，所以[n1=（2， -t，3t）]，

設平面[ABP]的一個法向量為[n2=（x2，y2，z2）]，

則[AB·n2=0，AP·n2=0，]即[tx2=0，y2+3z2=0，]

令[z2=1]， 則[x2=0]， [y2=-3]， 所以[n2=（0，-3，1）]，

由[cos<n1，n2>=n1·n2n1·n2=23t2×4+4t2=64]，可得[t=1]，所以平面[ACE]的法向量為[n1=（2，-1，3）]，[AB=（1，0，0）]，則點[B]到平面[ACE]的距離為[AB·n1n1=28=22]。

點評：本題為求解點到平面的距離問題，解答這類問題的難點在于計算出平面的法向量，得到平面法向量后再根據(jù)相關距離公式進行解題。此外，平面間的距離可以轉化為兩向量間的距離，直線到平面的距離則可以轉化為直線上任意一點到平面的距離。

四、體積問題

空間幾何問題中，體積問題是一個常見考點。對于這類問題，常用的解題方法有公式法、等體積變換法、分割法、補形法和向量法。當題目所給圖象便于建立空間直角坐標系時，可以借此進行解題，以降低解題難度。

［例4］如圖7，在三棱錐[A-BCD]中，平面[ABD⊥]平面[BCD]，[AB=AD]，[O]為[BD]的中點。若[△OCD]是邊長為[1]的等邊三角形，點[E]在棱[AD]上，[DE=2EA]，且二面角[E-BC-D]的大小為[45°]，求三棱錐[A-BCD]的體積。

解析：如圖8，以[O]為原點，過點[O]且垂直[OD]的直線為[x]軸，過[OD，OA]所在直線分別為[y]軸，[z]軸，建立空間直角坐標系，

則[C32，12，0]，[D（0，1，0）]，[B（0，-1，0）]。

設[OA=m]，則[A（0，0，m）]，[E0，13，23m]，

所以[EB=0，-43，-23m]，[BC=32，32，0]，

設[n=（x，y，z）]為平面[EBC]的一個法向量，

則[BC·n=0，EB·n=0，]可得[32x+32y=0，-43y-23m=0，]令[y=1]，則[x=-3]，[z=-2m]，所以[n=-3，1，-2m]，

又因為平面[BCD]的一個法向量為[OA=（0，0，m）]，

所以[cos<n·OA>=-2m·4+4m2=22]，

可得[m=1]（負值已舍去）。

因為點[C]到平面[ABD]的距離為[32]，

故[VA-BCD=VC-ABD=13×S△ABD×32=13×12×2×1×32=36]。

點評：運用空間直角坐標系解答本題的難點在于建立合適的空間直角坐標系。同時，需要借助待定系數(shù)法求解平面的法向量，進而根據(jù)二面角求解參數(shù)值，確定點到平面的距離，最后利用等體積轉換及體積公式進行求解。

綜上所述，本文總結了通過建立空間直角坐標系解答四類空間幾何問題的基本方法。在實際解題中，學生要積極總結相應的解題規(guī)律及相關基礎定理，確保能夠快速厘清解題思路，有效解答問題。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 臧永建.巧構空間坐標系，妙解立體幾何題[J].高中數(shù)理化，2022（23）：45-46.

[2] 張茹.感知空間圖形，探究立體幾何：三類熱點翻折問題的突破[J].求學，2019（37）：50-52.

[3] 杜娟.基于培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學設計：以“立體幾何中的翻折問題”為例[J].上海中學數(shù)學， 2018（10）：25-26，48.

[4] 杜紅全.追蹤考題 曬曬考點：“立體幾何”高考考點題型歸類解析[J].中學教研（數(shù)學），2017（2）：40-44.

（責任編輯 梁桂廣）