［摘 要］圓錐曲線問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，利用極坐標(biāo)與參數(shù)方程解答此類問(wèn)題，能有效避免繁雜計(jì)算，減小計(jì)算量，優(yōu)化解題過(guò)程。文章結(jié)合幾道例題具體闡述直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程、拋物線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)在圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用。

［關(guān)鍵詞］極坐標(biāo)；參數(shù)方程；圓錐曲線問(wèn)題；高考

［中圖分類號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2024）26-0001-04

自教育部實(shí)施“強(qiáng)基計(jì)劃”以來(lái)，高考數(shù)學(xué)試題發(fā)生了顯著變化，變得更靈活、更開(kāi)放，對(duì)學(xué)生的能力要求也更高，這一變化旨在更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)在高考中的選拔功能。在新高考備考中，教師不僅要讓學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本的解題方法，還要讓學(xué)生把握知識(shí)的本質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生的思維訓(xùn)練，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，由于其試題設(shè)法復(fù)雜、參數(shù)多、計(jì)算量大，學(xué)生難以在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確解答，因此也是高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，且常在壓軸題中出現(xiàn)。圓錐曲線試題蘊(yùn)含的幾何背景，以及極坐標(biāo)與參數(shù)方程中的參數(shù)所具有的幾何意義，為解題提供了豐富的工具和視角。在解答圓錐曲線問(wèn)題時(shí)運(yùn)用極坐標(biāo)與參數(shù)方程，往往能簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，優(yōu)化解題策略。對(duì)此，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)與參數(shù)方程的理解與運(yùn)用，訓(xùn)練學(xué)生一題多解的能力，使學(xué)生養(yǎng)成多角度、多維度、多層次思考問(wèn)題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性和發(fā)散性，增強(qiáng)學(xué)生解決難題的信心。

一、利用直線的參數(shù)方程解題

［例1］在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知點(diǎn)[F1（-17]，0），[F2（17，0），]點(diǎn)[M]滿足[MF1-MF2=2]，記[M]的軌跡為[C]。

（1）求[C]的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)[T]在直線[x=12]上，過(guò)[T]的兩條直線分別交[C]于[A，B]兩點(diǎn)和[P，Q]兩點(diǎn)，且[TA·TB=TP·TQ]，求直線[AB]的斜率與直線[PQ]的斜率之和。

解：（1）[C]的方程為[x2-y216=1（x≥1）] （過(guò)程略）。

（2）設(shè)點(diǎn)[T]的坐標(biāo)為[12，y0]，由題意知，直線[AB]和直線[PQ]斜率都存在，設(shè)直線[AB]的斜率為[k1]，直線[PQ]的斜率為[k2]，則由直線與雙曲線的位置關(guān)系可知[k1]，[k2∈（-∞，-4）?（4，+∞）]，將直線[AB]的方程設(shè)為[x=12+t，y=y0+k1t（t為參數(shù)）]，將其與[C]的方程聯(lián)立，得：[（k21-16）t2+（2k1y0-16）t+y20+12=0]，則[t1t2=y20+12k21-16]，

由[TA=1+k21·t1]，[TB=1+k21·t2]，

可知[TA·TB=（1+k21）t1t2=（1+k21）·y20+12k21-16=（1+k21）·y20+12k21-16]，同理[TP·TQ=（1+k22）·y20+12k22-16]，

由[TA·TB=TP·TQ]得[（1+k21）·y20+12k21-16=（1+k22）·y20+12k22-16]，得[k21=k22]，又因[k1≠k2]，故[k1=-k2]，即[k1+k2=0]，故直線[AB]的斜率與直線[PQ]的斜率之和為0。

總結(jié)：由題意知，點(diǎn)[T]的縱坐標(biāo)、直線[AB]的斜率、直線[PQ]的斜率都是未知的，按常規(guī)設(shè)法，本題有三個(gè)未知量，在計(jì)算過(guò)程中消去變量是最常見(jiàn)的手段，但因未知量多，計(jì)算相對(duì)繁雜，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等能力要求非常高。題目有已知條件[TA·TB=TP·TQ]，而[TA·TB]和[TP·TQ]與直線的參數(shù)方程有關(guān)，因此可以考慮利用直線的參數(shù)方程求解。當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)[TA·TB]或[1TA+1TB]時(shí)，可以借助直線的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義求解，從而簡(jiǎn)化計(jì)算、快速得解。

［例2］已知拋物線[E：x2=2py（p>0）]的焦點(diǎn)為[F]，直線[x=4]分別與[x]軸交于點(diǎn)[M]，與拋物線[E]交于點(diǎn)[Q]，且[NQ=54MQ]。

（1）求拋物線[E]的方程；

（2）設(shè)橫坐標(biāo)依次為[x1，x2，x3]的三個(gè)點(diǎn)[A，B，C]都在拋物線[E]上，且[x1>0≥x2>x3]，若[△ABC]是以[AC]為斜邊的等腰直角三角形，求[AB·AC]的最小值。

解：（1）拋物線[E]的方程為[x2=4y]（過(guò)程略）。

（2）設(shè)點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（x2，y2）]，則[x22=4y2]，設(shè)直線[AB]的斜率為[k]，則[k>0]且直線[BC]的斜率為[-1k]，可將直線[AB]的方程設(shè)為[x=x2+t，y=y2+kt（t為參數(shù)）]，與[x2=4y]聯(lián)立可得[t2-（4k-2x2）t=0]，則[t=0]或[t=4k-2x2>0]，則由直線的參數(shù)方程可知[AB=1+k2·t=1+k2·（4k-2x2）]，

用“[-1k]”替換“[k]”，因?yàn)閇x2>x3]，所以[4·-1k-2x2<0]，且[BC=1+-1k2·4·-1k-2x2=1+k2k·4k+2x2]，由[AB=BC得1+k2·（4k-2x2）=1+k2k·4k+2x2]，可得[x2=2k3-2k2+k]，由[x2≤0]，[k>0]可得[0<k≤1]，

則[AB=1+k2·（4k-2x2）=1+k2·4（k2+1）k2+k]，

則[AB·AC=ABACcosπ4=AB2=（1+k2）·16（k2+1）2（k2+k）2=16（k2+1）3（k2+k）2]，

設(shè)函數(shù)[f（k）=16（k2+1）3（k2+k）2 ][（0<k≤1）]，則

[f（k）=][163（k2+1）2·（2k）·（k2+k）2-（k2+1）3·2（k2+k）（2k+1）（k2+k）4]

[=32（k2+1）2·（k3-1）+2k（k-1）（k2+k）3≤0]，

所以，[0<k≤1]時(shí)函數(shù)[f（k）]單調(diào)遞減，故[f（k）]的最小值為[f（1）=32]，故[AB·AB]的最小值為32，此時(shí)[k=1]，[A]、[B]、[C]三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[（-4，4）]，[（0，0）]，[（4，4）]。

總結(jié)：由[AB⊥BC]且[AB=BC]，可以設(shè)點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（x2，y2）]，其中[x22=4y2]，設(shè)直線[AB]的斜率為[k]，利用點(diǎn)斜式可得直線[AB]的方程，再與拋物線的方程聯(lián)立，可以得到點(diǎn)[A]的坐標(biāo)，再將“[k]”換成“[-1k]”，可得點(diǎn)[C]的坐標(biāo)，但這個(gè)過(guò)程計(jì)算量非常大，一般學(xué)生很難算得準(zhǔn)。結(jié)合題目條件[AB⊥BC]且[AB=BC]，可以考慮利用直線的參數(shù)方程，將所求的量轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式，求導(dǎo)可得最值。只要厘清關(guān)系，處理好絕對(duì)值，計(jì)算并不復(fù)雜。這種方法比較新穎，需要學(xué)生仔細(xì)揣摩、認(rèn)真體會(huì)、反復(fù)鉆研，從而融會(huì)貫通。

二、利用圓的參數(shù)方程解題

［例3］已知[A（-1，0）]，[B（3，0）]，[P]是圓[O：x2+y2=49]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則[sin∠APB]的最大值為 。

解：由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)[P]位于上半圓，利用圓的參數(shù)方程，設(shè)[P（7cosθ，7sinθ）]（[0<θ<π]），由題可知[∠APB]為銳角，當(dāng)[sin∠APB]最大時(shí)，[tan∠APB]也最大，故先研究[tan∠APB]的最大值。

[kPB=7sinθ7cosθ-3]，

[kPA=7sinθ7cosθ+1]，

[故tan∠APB=kPB-kPA1+kPB·kPA=7sinθ7cosθ-3-7sinθ7cosθ+11+7sinθ7cosθ-3·7sinθ7cosθ+1=28sinθ（7cosθ-3）（7cosθ+1）+49sin2θ=28sinθ46-14cosθ=14sinθ23-7cosθ，]

設(shè)[f（θ）=14sinθ23-7cosθ ][（0<θ<π）]，

[則 f（θ）=14cosθ·（23-7cosθ）-14sinθ·7sinθ（23-7cosθ）2=14（23cosθ-7）（23-7cosθ）2，]

設(shè)銳角[θ0]滿足[cosθ0=723]，[sinθ0=43023]，

則[θ∈（0，θ0）]時(shí)， [f（θ）>0 ]， [f（θ）]單調(diào)遞增，

則[θ∈（θ0，π）]時(shí)， [f（θ）<0 ]， [f（θ）]單調(diào)遞減，

故[f（θ）max=f（θ0）=14sinθ023-7cosθ0=14×4302323-7×723=73060]，即[tan∠APB]的最大值為[73060]，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得[sin∠APB]的最大值為[713]。

總結(jié)：要求[sin∠APB]的最大值，一般要先將[sin∠APB]表示出來(lái)。本題的難點(diǎn)是如何將[sin∠APB]表示為只有一個(gè)未知量的式子。結(jié)合題目條件，發(fā)現(xiàn)[sin∠APB]不易表示，但[tan∠APB]可以表示。通過(guò)圓的參數(shù)方程，可將[tan∠APB]用一個(gè)未知量[θ]表示出來(lái)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量求最值問(wèn)題，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)即可解決。如果不求導(dǎo)，[tan∠APB]的最大值也可用輔助角公式求解：設(shè)[m=14sinθ23-7cosθ]，則[14sinθ+7mcosθ=23m]，由輔助角公式可得[14sinθ+7mcosθ≤74+m2]，即[23m≤74+m2]，可知[m]的最大值為[7230=73060]，即[tan∠APB]的最大值為[73060]，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得[sin∠APB]的最大值為[713]。

三、利用橢圓的參數(shù)方程解題

［例4］平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的離心率為[32]，左、右焦點(diǎn)分別是[F1]，[F2]，以[F1]為圓心、3為半徑的圓與以[F2]為圓心、1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓[C]上。

（1）求[C]的方程；

（2）若點(diǎn)[P0]，[P1]，[P2]在橢圓[C]上，原點(diǎn)[O]為[△P0P1P2]的重心，證明：[△P0P1P2]的面積為定值。

解：（1）[C]的方程為[x24+y2=1]（過(guò)程略）。

（2）橢圓的參數(shù)方程可設(shè)為[x=2cosθ，y=sinθ]（[θ]為參數(shù)），故可設(shè)[P0，P1，P2]的坐標(biāo)分別為[（2cosα，sinα）]，[（2cosβ，sinβ）]，[（2cosγ，sinγ）]，

由[OP1+OP2+OP3=0]可得：

[2cosα+2cos β+2cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，]

即[cosα+cos β+cosγ=0，sinα+sin β+sinγ=0，]

即[cosα+cos β=-cosγ，sinα+sin β=-sinγ，]

兩式平方，相加再消去[γ]得[cos（β-α）=-12]，則[sin（β-α）=±32]，

不妨設(shè)[OP0]，[OP1]不共線，設(shè)[OP0]和[OP1]的夾角為[φ]，

由點(diǎn)[O]為[△P0P1P2]的重心知[△P0P1P2]的面積為[△OP0P1]的面積的3倍，則

[S△OP0P1=12·OP0OP1·sinφ=12·OP0OP11-cos2φ=12·OP0OP1·1-OP0·OP1OP0OP12]

[=12OP0OP12-（OP0·OP1）2=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2=12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=12x1y2-x2y1=122cosα·sinβ-2cosβ·sinα=sin（β-α）=32，]

故[S△P0P1P2=3S△OP0P1=3×32=332]。

總結(jié)：由條件“原點(diǎn)[O]為[△P0P1P2]的重心”可得三角形三頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0，縱坐標(biāo)之和也為0。利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為[（2cosα，sinα）]，[（2cosβ，sinβ）]，[（2cosγ，sinγ）]，可得到[cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，]這與以前在三角函數(shù)中學(xué)習(xí)的內(nèi)容有聯(lián)系，可按照這個(gè)思路進(jìn)行探索。如果所求的量與橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)密切相關(guān)，則可以嘗試用橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求解。

四、利用拋物線的參數(shù)方程解題

［例5］已知過(guò)點(diǎn)[A（-1，0）]的直線與拋物線[y2=4x]交于[M，N]，點(diǎn)[Q]是拋物線上異于[M，N]的另外一點(diǎn)，且直線[MQ]過(guò)點(diǎn)[B（1，-1）]，求證：直線[NQ]過(guò)定點(diǎn)。

解：利用拋物線的參數(shù)方程，設(shè)[M（4a2，4a）]，[N（4b2，4b）]，[Q（4c2，4c）]，則[kMN=4b-4a4b2-4a2=1b+a]，

直線[MN]的方程為[y-4a=1b+a（x-4a2）]，

即直線[MN]的方程為[x-（a+b）y+4ab=0]，

同理，直線[MQ]的方程為[x-（a+c）y+4ac=0]，

直線[NQ]的方程為[x-（b+c）y+4bc=0]，

由直線[MN]過(guò)點(diǎn)[（-1，0）]可得[-1+4ab=0]，即[4ab=1]，

因直線[MQ]過(guò)點(diǎn)[（1，-1）]可得[1+（a+c）+4ac=0]，

將[a=14b]代入得[1+14b+c+4·14b·c=0]，即[1+4（b+c）+4bc=0]，

與直線[NQ]的方程[x-（b+c）y+4bc=0]對(duì)比，可知直線[NQ]恒過(guò)點(diǎn)[（1，-4）]。

總結(jié)：拋物線[y2=2px]的參數(shù)方程為[x=2pt2，y=2pt，]注意本題中直線[MN]過(guò)點(diǎn)[A（-1，0）]，直線[MQ]過(guò)點(diǎn)[B（1，-1）]，求證直線[NQ]過(guò)定點(diǎn)，三條直線的表示形式在結(jié)構(gòu)上是一樣的。我們可以嘗試用對(duì)比的思路來(lái)解決問(wèn)題，故通過(guò)拋物線的參數(shù)方程設(shè)出三點(diǎn)坐標(biāo)，三點(diǎn)坐標(biāo)都是整式，通過(guò)點(diǎn)斜式分別將三條直線的方程表示出來(lái)，再根據(jù)題意求解。這樣處理后，本題的計(jì)算量并不大。

五、利用極坐標(biāo)解題

［例6］已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的離心率[e=22]，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)[P（2 ，1）]。

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）若點(diǎn)[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)[M]，[N]是橢圓[C]上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且[OM⊥ON]，證明直線[MN]恒與圓[E]：[x2+y2=2]相切，并求線段[MN]的取值范圍。

解：（1）橢圓[C]的方程為[x26+y23=1]（過(guò)程略）。

（2）設(shè)[OM=ρ1]，[ON=ρ2]，設(shè)[OM]與[x]所夾的角為[θ]，用極坐標(biāo)的知識(shí)可得[M（ρ1cosθ，ρ1sinθ）]，[Nρ2cosθ+π2，ρ2sinθ+π2]，由誘導(dǎo)公式得[N（-ρ2sinθ，ρ2cosθ）]，

將[M，N]兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得：

[ρ21cos2θ6+ρ21sin2θ3=1，ρ22sin2θ6+ρ22cos2θ3=1，]

變形可得[cos2θ6+sin2θ3=1ρ21，sin2θ6+cos2θ3=1ρ22，] ①

兩式相加得[1ρ21+1ρ22=16+13=12]，即[ρ21+ρ22ρ21ρ22=12]，[ρ21ρ22ρ21+ρ22=2]，[ρ1ρ2ρ21+ρ22=2]，

由題意可知[MN=ρ21+ρ22]，由等面積法可知原點(diǎn)到直線[MN]的距離[d=ρ1ρ2ρ21+ρ22=2]，即直線[MN]與圓[E]相切。

由①式知：

[ρ21=186sin2θ+3cos2θ]，

[ρ22=183sin2θ+6cos2θ]

[MN2=ρ21+ρ22=186sin2θ+3cos2θ+183sin2θ+6cos2θ=1816sin2θ+3cos2θ+13sin2θ+6cos2θ=18×9（6sin2θ+3cos2θ）（3sin2θ+6cos2θ）=18（2sin2θ+cos2θ）（sin2θ+2cos2θ）=18（sin2θ+1）（cos2θ+1）=18sin2θcos2θ+sin2θ+cos2θ+1=1814sin22θ+2]

當(dāng)[sin22θ=0]時(shí)，[MN2]取得最大值9，當(dāng)[sin22θ=1]時(shí)，[MN2]取得最小值8，故[8≤MN2≤9]，即[22≤MN≤3]。

總結(jié)：因?yàn)閇OM⊥ON]，所以原點(diǎn)到直線[MN]的距離可用[OM，ON]表示，注意到[OM，ON]分別是[M，N]到原點(diǎn)的距離，又因?yàn)閇OM]與[x]軸所成角與[ON]與[x]軸所成角相差[90°]，與極坐標(biāo)中的極徑和極角有點(diǎn)類似，故可以嘗試用極坐標(biāo)的思路求解。當(dāng)題設(shè)的弦長(zhǎng)是到原點(diǎn)的距離，角也是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，可以考慮用極坐標(biāo)的思路進(jìn)行解題。

綜上所述，在解答圓錐曲線問(wèn)題時(shí)適當(dāng)利用直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程、拋物線的參數(shù)方程以及極坐標(biāo)，可簡(jiǎn)化計(jì)算，優(yōu)化解題過(guò)程。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握參數(shù)方程和極坐標(biāo)的內(nèi)涵與外延，從不同的角度研究具體題設(shè)中可能運(yùn)用的方法，從而鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和解題水平。

（責(zé)任編輯 黃春香）