理解數(shù)學(xué)概念一直是課堂教學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)理解型教學(xué)是一種以理解為取向的課堂教學(xué)形態(tài)，旨在避免數(shù)學(xué)教學(xué)中機(jī)械學(xué)習(xí)的傾向，促進(jìn)以思維參與為核心的理解性學(xué)習(xí)^[1]。與傳遞取向的教學(xué)不同，數(shù)學(xué)理解型教學(xué)更重視知識(shí)所表征的意義或事物意義的獲得，主張通過知識(shí)的建構(gòu)和意義的賦予，發(fā)展和豐富個(gè)體的意義世界^[2]。傳遞取向與理解型教學(xué)有較大區(qū)別：從教學(xué)方法上看，前者是教師講授、示范、練習(xí)和測(cè)試，讓學(xué)生模仿、記憶，后者是教師開展探究式、發(fā)現(xiàn)式、情境式教學(xué)，讓學(xué)生主動(dòng)探索、建構(gòu)知識(shí)，提升素養(yǎng)；從教學(xué)目標(biāo)上看，前者要求學(xué)生掌握知識(shí)、會(huì)應(yīng)試，后者要求學(xué)生理解知識(shí)，提高數(shù)學(xué)思維、邏輯推理和解決問題的能力；從教學(xué)評(píng)價(jià)上看，前者側(cè)重結(jié)果評(píng)價(jià)（如成績(jī)），后者全面多元評(píng)價(jià)，兼顧過程與結(jié)果，關(guān)注學(xué)生情感體驗(yàn)和價(jià)值觀。在理解型教學(xué)模式下，課堂更加民主開放有彈性，評(píng)價(jià)更多元化。這必然對(duì)教學(xué)提出更高的要求，教師需要技術(shù)輔助?，F(xiàn)代技術(shù)極大地改變了課堂活動(dòng)的生態(tài)圖景，成為推動(dòng)課堂教學(xué)變革中最為活躍的一個(gè)因素^[3]。教師運(yùn)用生成式人工智能（Artificial Intelligence Generated Content，簡(jiǎn)稱AIGC）教學(xué)能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，增強(qiáng)體驗(yàn)，促進(jìn)思考，有利于規(guī)模化教育與個(gè)性化培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合。教師需要積極適應(yīng)人工智能技術(shù)的快速發(fā)展，秉持技術(shù)向善理念，使用相關(guān)工具協(xié)作完成各類教學(xué)任務(wù)。

基于此，筆者梳理AIGC賦能高中數(shù)學(xué)理解型教學(xué)的三個(gè)維度，構(gòu)建基于AIGC的高中數(shù)學(xué)理解型課堂教學(xué)路徑，并以“斐波那契數(shù)列”為例，闡述“訊飛星火”認(rèn)知大模型在數(shù)學(xué)理解型教學(xué)中的應(yīng)用方法，并給出使用建議。

一、AIGC賦能高中數(shù)學(xué)理解型教學(xué)的三個(gè)維度

數(shù)學(xué)理解型教學(xué)包含彼此區(qū)別又相互聯(lián)系的三個(gè)層面：理解性教學(xué)、數(shù)學(xué)地理解和為理解而教^[4]。理解性教學(xué)：教師應(yīng)為學(xué)生理解性學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件，這是教學(xué)的基本要求。數(shù)學(xué)地理解：知識(shí)不會(huì)自發(fā)地形成，學(xué)生應(yīng)該高效地參與知識(shí)建構(gòu)，而不是被動(dòng)地接受。為理解而教：理解是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，要評(píng)估目標(biāo)達(dá)成度。AIGC憑借啟發(fā)性內(nèi)容生成、對(duì)話情境理解、序列任務(wù)執(zhí)行和程序語(yǔ)言解析4項(xiàng)核心能力，能夠在分析教材、診斷學(xué)情等方面提供支持，為師生提供高效、準(zhǔn)確、公正的評(píng)估服務(wù)。在AIGC支持下學(xué)生可以更好地理解所學(xué)知識(shí)和技能，從而更好地應(yīng)用它們^[5]。AIGC與高中數(shù)學(xué)理解型教學(xué)具有很好的耦合性，主要體現(xiàn)在教學(xué)、學(xué)習(xí)和評(píng)價(jià)三個(gè)維度。

（一）AIGC助力教師減負(fù)增效：生成教學(xué)資源，提高教學(xué)效率

AIGC平臺(tái)能生成教學(xué)資源，智能支持教學(xué)活動(dòng)，自動(dòng)化處理煩瑣任務(wù)，有效減輕教師工作負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)效率（見表1）。

（二）AIGC促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)：智能對(duì)話互動(dòng)，深化數(shù)學(xué)理解

AIGC支持智能對(duì)話互動(dòng)，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供實(shí)時(shí)的技術(shù)支持。它能夠讀懂學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)資源與指導(dǎo)，幫助學(xué)生解決問題，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升學(xué)習(xí)能力（見表2）。

（三）AIGC革新教學(xué)評(píng)價(jià)方式：實(shí)時(shí)測(cè)評(píng)反饋，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)評(píng)價(jià)

AIGC正在改變教學(xué)評(píng)價(jià)方式，通過實(shí)時(shí)測(cè)評(píng)反饋與數(shù)據(jù)分析，為教師提供全面、客觀、細(xì)致的學(xué)生學(xué)習(xí)狀況評(píng)估報(bào)告，助力教師進(jìn)行教學(xué)決策與干預(yù)（見表3）。

二、基于AIGC的高中數(shù)學(xué)理解型教學(xué)實(shí)踐

筆者選取人民教育出版社《普通高中教科書 數(shù)學(xué) 選擇性必修 第二冊(cè)（A版）》第10—11頁(yè)中“閱讀與思考”的內(nèi)容“斐波那契數(shù)列”，用“訊飛星火”認(rèn)知大模型輔助教學(xué)，探索AIGC助力數(shù)學(xué)理解型教學(xué)的方法與策略。

（一）教學(xué)路徑

教師在教學(xué)中既要關(guān)注學(xué)生理解數(shù)學(xué)的過程，循序漸進(jìn)地設(shè)計(jì)教學(xué)流程，又要以學(xué)生理解數(shù)學(xué)作為教學(xué)目標(biāo)，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的深度與廣度。基于此，筆者以“斐波那契數(shù)列”為例，構(gòu)建基于AIGC的高中數(shù)學(xué)理解型課堂教學(xué)路徑（如圖1）。在AIGC的技術(shù)融合線的連接下，教學(xué)流程線和數(shù)學(xué)理解線融合形成五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：情境導(dǎo)入，激活經(jīng)驗(yàn)性理解；觀察發(fā)現(xiàn)，助力形式化理解；類比探究，深化結(jié)構(gòu)化理解；學(xué)以致用，達(dá)成遷移性理解；小結(jié)提升，拓展文化性理解。

（二）課堂教學(xué)

1.情境導(dǎo)入，激活經(jīng)驗(yàn)性理解

課堂伊始，教師利用“訊飛星火”獲得了關(guān)于“斐波那契數(shù)列”的教學(xué)情境素材，選取視頻《斐波那契螺旋》進(jìn)行課堂導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)并探究數(shù)列的一般路徑，指出生活中還有一些比較特殊的數(shù)列，值得研究。

教師給出如下引例。1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的著作《算盤書》出版了，書中記載了一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的有趣問題：如果一對(duì)大兔子每個(gè)月可以生一對(duì)小兔子（一雄一雌），而一對(duì)小兔子在它出生后的第3個(gè)月里，又能生一對(duì)小兔子。假定一年內(nèi)沒有死亡，由一對(duì)初生的小兔子開始，一年后會(huì)有多少對(duì)兔子？樹狀圖的動(dòng)態(tài)顯示，隨著月份增加，兔子數(shù)量不斷增加。學(xué)生得到一些數(shù)：1，1，2，3，5，8，…。教師要求學(xué)生自己歸納剩下的第6—12月的數(shù)據(jù)。在這個(gè)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生探究這些數(shù)的排列規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：教師導(dǎo)入情境，介紹斐波那契及其發(fā)現(xiàn)的“兔子數(shù)列”，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生成的文化背景，使學(xué)生初識(shí)數(shù)學(xué)文化，體會(huì)其中蘊(yùn)含的趣味性、文化性和思想性。引導(dǎo)學(xué)生探究兔子數(shù)量之間的規(guī)律，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題?；仡櫻芯繑?shù)列的一般路徑，復(fù)習(xí)等差、等比數(shù)列的知識(shí)，激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)性理解，為本節(jié)課的探究活動(dòng)教學(xué)打基礎(chǔ)。

2.觀察發(fā)現(xiàn)，助力形式化理解

教師提出問題：對(duì)于該數(shù)列，應(yīng)該如何求第50項(xiàng)？學(xué)生分組討論，他們想用數(shù)列的通項(xiàng)公式來求第50項(xiàng)，但該數(shù)列的通項(xiàng)公式不易觀察得出。部分學(xué)生的抽象概括能力和提煉總結(jié)意識(shí)較弱，于是教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用AIGC幫助理解。學(xué)生用“訊飛星火”，直接輸入“1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…”并詢問是否認(rèn)識(shí)該數(shù)列，數(shù)列有什么樣的規(guī)律。它馬上識(shí)別出這是“斐波那契數(shù)列”，給出數(shù)列定義和遞推計(jì)算公式，準(zhǔn)確高效地歸納提煉出核心問題（如圖2）。

接著，教師問學(xué)生“‘斐波那契數(shù)列’的遞推公式是否就是 （）=（-1）+（-2）”。學(xué)生在辨析中認(rèn)識(shí)到“訊飛星火”給出的答案不夠嚴(yán)謹(jǐn)。在教師啟發(fā)下學(xué)生提煉出“斐波那契數(shù)列”的遞推公式為

設(shè)計(jì)意圖：從具體的某一項(xiàng)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用對(duì)遞推的經(jīng)驗(yàn)性理解來歸納提出數(shù)列的遞推公式。AIGC用自然語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，幫助學(xué)生理解并強(qiáng)化斐波那契數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，使學(xué)生有初步的形式化理解。

3.類比探究，深化結(jié)構(gòu)化理解

問題：“斐波那契數(shù)列”是逐項(xiàng)遞推而來的，少了前一項(xiàng)就不知道后一項(xiàng)。求第項(xiàng)數(shù)列，要從頭算起，很麻煩。有時(shí)不想知道前面的數(shù)，只想知道某一項(xiàng)的數(shù)，怎樣辦？

在學(xué)生完成類比推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的探究任務(wù)后，教師引導(dǎo)學(xué)生詢問“訊飛星火”，得到通項(xiàng)公式，即  

教師追問：你們能理解這個(gè)式子有什么樣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)嗎？

學(xué)生思考后，展開計(jì)算探究，發(fā)現(xiàn)將后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)的商約等于1.6。于是，猜想隨著的增大，比值逐漸近似于某個(gè)值。但這個(gè)只是有限項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果，這個(gè)猜想是否正確呢？倘若課堂上讓學(xué)生筆算，必然耗費(fèi)相當(dāng)多的時(shí)間，影響一節(jié)課的完整性。對(duì)于這種簡(jiǎn)單重復(fù)的計(jì)算工作，AIGC非常勝任?！拔蚁胩骄俊巢瞧鯏?shù)列’的后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)的商的規(guī)律，你可以列出前十項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果嗎”，學(xué)生詢問“訊飛星火”得到具體的數(shù)據(jù)證實(shí)了猜想，并且得知這個(gè)比值近似于黃金分割比例。學(xué)生得到一個(gè)性質(zhì)：當(dāng)趨向于正無窮時(shí)， 。

設(shè)計(jì)意圖：為了突破難點(diǎn)，教師指導(dǎo)學(xué)生從理解通項(xiàng)公式的本質(zhì)出發(fā)，聯(lián)想、類比得到等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的過程，引導(dǎo)學(xué)生嘗試找到項(xiàng)之間的關(guān)系。學(xué)生會(huì)將后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)不是固定的常數(shù)，但是將后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)，隨著的增大，會(huì)發(fā)現(xiàn)比值逐漸近似于1.618。教師盡量讓學(xué)生經(jīng)歷這一發(fā)現(xiàn)過程。

接著教師又指出“斐波那契數(shù)列”有很多有趣的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算分析它的結(jié)構(gòu)特征。

教師：圖3中陰影部分這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？最外圍的大長(zhǎng)方形面積是多少？

學(xué)生分組討論，動(dòng)手計(jì)算：

（1）1²+1²+2²+3²=3×（2+3）= 3×5=15；

（2）1²+1²+2²+3²+5²+8²=…。

教師追問：由此你可以猜想得到什么結(jié)論？學(xué)生觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)剛好是斐波那契數(shù)，得出結(jié)論：所有長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)都是“斐波那契數(shù)列”中相鄰兩項(xiàng)，因此²+²+…+²=× （∈N）。

設(shè)計(jì)意圖：用圖形表示等式，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)與形的完美結(jié)合。學(xué)生觀察式子結(jié)構(gòu)，了解這個(gè)性質(zhì)中對(duì)取任意正整數(shù)均可找到對(duì)應(yīng)的圖形表示。在描述的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到圖形中所構(gòu)成的所有長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)都是斐波那契數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)，也為后面講解斐波那契螺旋線埋下伏筆，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，感受“斐波那契數(shù)列”的數(shù)學(xué)美。

4.學(xué)以致用，達(dá)成遷移性理解

典例分析：已知“斐波那契數(shù)列”1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…遞推公式為

求解：

（1）+++…+ 是“斐波那契數(shù)列”中的第項(xiàng)。

（2）1++++…+ 是“斐波那契數(shù)列”中的第項(xiàng)。

（3）是“斐波那契數(shù)列”中的第項(xiàng)。

為了提高學(xué)生提問的積極性，使其體會(huì)AIGC答疑的優(yōu)越性，教師引導(dǎo)學(xué)生在“訊飛星火”上輸入一個(gè)關(guān)于“斐波那契數(shù)列”的問題，接著利用“角色+學(xué)科+目標(biāo)+要求”的指令句式對(duì)“訊飛星火”提問：“你是一名教師（角色），請(qǐng)你從高中數(shù)學(xué)的角度（學(xué)科），回答如何求‘斐波那契數(shù)列’奇數(shù)項(xiàng)的和（目標(biāo)），并說明你的推導(dǎo)過程（要求）”。學(xué)生借助“訊飛星火”得到結(jié)果（如圖4）。

教師追問：由例題你能猜想有哪些結(jié)論呢？學(xué)生在AIGC幫助下，結(jié)合例題總結(jié)出“斐波那契數(shù)列”的一些性質(zhì)。為了檢測(cè)學(xué)習(xí)效果，學(xué)生向“訊飛星火”提問，要求提供一道與“斐波那契數(shù)列”相關(guān)的高考試題。它很快提供題目，不僅有題目，還有題目的背景以及解法總結(jié)：“通過這道題目，我們看到‘斐波那契數(shù)列’可以與其他數(shù)列結(jié)合起來，形成復(fù)雜的遞推關(guān)系，并且需要運(yùn)用歸納法來證明數(shù)列的性質(zhì)。這類題目不僅考查了學(xué)生對(duì)‘斐波那契數(shù)列’的理解，而且考評(píng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力。”

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置例題是為了鞏固學(xué)生對(duì)“斐波那契數(shù)列”性質(zhì)的應(yīng)用，讓學(xué)生借助AIGC總結(jié)得出更多的性質(zhì)，接受個(gè)性化的習(xí)題訓(xùn)練，達(dá)到遷移理解、自主學(xué)習(xí)的目的。

5.小結(jié)提升，拓展文化性理解

問題：如果在每個(gè)正方形內(nèi)畫四分之一的圓弧，將這些弧線連起來，觀察它的形狀，在生活中能找到這樣的圖案嗎？

在學(xué)生拼出螺旋線后，教師指出：圖形中的正方形都是以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的，因此這條優(yōu)美的螺旋線稱為斐波那契螺旋。只要我們?cè)趫D中逐漸增加邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)的正方形，則斐波那契螺旋就會(huì)不斷向外延伸。實(shí)際上，生活中有非常多這樣的案例，教師為學(xué)生展示海螺、發(fā)旋等圖片。

教師總結(jié)指出，這節(jié)課大家分析兔子繁殖問題認(rèn)識(shí)了斐波那契數(shù)列，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)了該數(shù)列的一些性質(zhì)和黃金分割數(shù)，其中黃金分割在生活中有廣泛應(yīng)用。教師讓學(xué)生課后利用AIGC查閱資料，分組匯報(bào)對(duì)于“斐波那契數(shù)列”的文化認(rèn)識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖：教師讓學(xué)生作圖經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)美的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)之美。帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)，全面梳理學(xué)習(xí)過程與核心知識(shí)，將知識(shí)拓展到生活中，將課堂教學(xué)延伸到課后，提出探究性問題，讓學(xué)生對(duì)“斐波那契數(shù)列”文化性有深刻的認(rèn)識(shí)與理解。

三、反思及建議

（一）教學(xué)反思

AIGC在數(shù)學(xué)理解型教學(xué)中的應(yīng)用，展現(xiàn)了巨大的潛力和價(jià)值，特別是在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性和熱情方面。AIGC能夠根據(jù)師生需求生成個(gè)性化的資源，展開對(duì)話互動(dòng)。學(xué)生不再是被動(dòng)接受知識(shí)的容器，而是積極探索、主動(dòng)學(xué)習(xí)的參與者。學(xué)生能夠根據(jù)自己的基礎(chǔ)和興趣，選擇合適的數(shù)學(xué)素材進(jìn)行學(xué)習(xí)，這極大地提高了他們的學(xué)習(xí)興趣。每個(gè)學(xué)生都可以按自己的節(jié)奏學(xué)習(xí)。個(gè)性化學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，這恰好是數(shù)學(xué)理解型教學(xué)所倡導(dǎo)的。AIGC的及時(shí)反饋機(jī)制，為學(xué)生提供了及時(shí)的學(xué)習(xí)支持。這種及時(shí)反饋不僅突破了傳統(tǒng)教學(xué)中教師答疑的時(shí)間和空間限制，而且提高了解決問題的效率。學(xué)生在遇到困難時(shí)可立即獲得幫助，這對(duì)于學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)至關(guān)重要。

（二）使用建議

AIGC與一般的信息技術(shù)不太相同，對(duì)使用者的信息技術(shù)技能要求很低，這樣的低門檻將提高使用者的積極性。需要注意的是，清晰表達(dá)問題、掌握詢問技巧是運(yùn)用AIGC生成準(zhǔn)確素材的前提，這反映出數(shù)學(xué)交流能力的重要性。AIGC在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)可能出現(xiàn)錯(cuò)誤或不準(zhǔn)確、不適合的情況。例如，在詢問“訊飛星火”如何開展數(shù)學(xué)理解時(shí)，它提供了多種教學(xué)方法，其中有“矩陣表示法”，這是不符合高中生實(shí)際水平的。如果初次提問得到的答復(fù)不符合要求，建議多次提問或換一個(gè)更加準(zhǔn)確的說法進(jìn)行提問。師生一定要批判性地使用AIGC。同時(shí)還要注意，如果學(xué)生過分依賴AIGC來解決數(shù)學(xué)問題，可能會(huì)忽視發(fā)展自身的計(jì)算和邏輯思維等能力，導(dǎo)致基本數(shù)學(xué)技能被削弱。筆者認(rèn)為，教師的角色不可替代，我們需要找到一種平衡，讓AIGC成為教師的助手，而不是替代者。

注：本文系廣州市南沙區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃2023年度課題“高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)案例的開發(fā)與實(shí)踐”（編號(hào)：NSJYK Y2023089）的研究成果。

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（作者系廣東省廣州市南沙魚窩頭中學(xué)教師）

責(zé)任編輯：祝元志