2022年版課標(biāo)將“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容整合為“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題，“數(shù)與運(yùn)算”主題包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及其四則運(yùn)算，“數(shù)量關(guān)系”主題包括利用數(shù)與運(yùn)算解決問題、估算、常見數(shù)量關(guān)系、字母表示數(shù)、探索規(guī)律等內(nèi)容。2022年版課標(biāo)對(duì)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主題的整合，不只是形式上的變化，更是從學(xué)科本質(zhì)和學(xué)生學(xué)習(xí)視角對(duì)相關(guān)內(nèi)容的統(tǒng)整。下面對(duì)新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)第五版教材（即北師大版教材，以下簡(jiǎn)稱第五版教材）“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的主要變化、各主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)和編寫特色進(jìn)行闡述。

一、第五版教材“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主題內(nèi)容概述

根據(jù)2022年版課標(biāo)要求的變化和相關(guān)研究，以及學(xué)生年齡特征和學(xué)習(xí)需求，第五版教材調(diào)整了“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域一些內(nèi)容的編排順序和結(jié)構(gòu)，采用線性排布和螺旋上升相結(jié)合的編排方式，由淺入深、逐步推進(jìn)，以適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和探索未知世界的好奇心，從而促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展。

第五版教材“數(shù)與運(yùn)算”主題的內(nèi)容注重體現(xiàn)數(shù)的概念之間、數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算之間、不同運(yùn)算之間的整體性與一致性，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理意識(shí)?！皵?shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的過(guò)程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，重點(diǎn)培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)、模型意識(shí)、符號(hào)意識(shí)，同時(shí)發(fā)展幾何直觀、推理意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。第五版教材“數(shù)與代數(shù)”各主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)如表1所示。

二、第五版教材“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容的主要變化及特色

2022年版課標(biāo)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性、學(xué)科本質(zhì)的一致性、學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性。第五版教材在編寫過(guò)程中著力突出2022年版課標(biāo)的理念和教材特色的繼承與發(fā)展，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的實(shí)踐路徑。

（一）“數(shù)與運(yùn)算”主題的主要變化及特色。

1.主要變化。

（1）重視幼小銜接，精心設(shè)計(jì)活動(dòng)化、游戲化、生活化的學(xué)習(xí)內(nèi)容，科學(xué)編排第一學(xué)段的課程內(nèi)容。在一年級(jí)上學(xué)期開學(xué)之初，第五版教材設(shè)計(jì)了5節(jié)游戲活動(dòng)課，讓兒童在游戲中結(jié)識(shí)新朋友，熟悉新環(huán)境，學(xué)會(huì)與人交流，體驗(yàn)小學(xué)生活，順利完成從幼兒園到小學(xué)的過(guò)渡。第五版教材以兒童的真實(shí)世界為背景，提供了豐富的情境素材，特別是在第一學(xué)段的學(xué)習(xí)中，結(jié)合學(xué)生愛探索、愛分享、好奇心強(qiáng)的特點(diǎn)，巧妙地將科技、人文、數(shù)學(xué)文化、具身游戲、有趣的故事等相關(guān)內(nèi)容融入教材的情境問題中，如“挖紅薯”“數(shù)雞蛋”“背土豆”“小兔安家”“文物中的乘法口訣”“福建土樓”“保護(hù)野生動(dòng)物”等，既激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，又陶冶情操，培養(yǎng)學(xué)生熱愛祖國(guó)、熱愛科學(xué)的情感。同時(shí)，通過(guò)生動(dòng)的案例、直觀的支持，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，引發(fā)數(shù)學(xué)思考。

（2）關(guān)注學(xué)生的年齡特點(diǎn)，部分計(jì)算內(nèi)容后移。相比第四版教材，第五版教材將“20以內(nèi)數(shù)的進(jìn)位加法”由一年級(jí)上冊(cè)（簡(jiǎn)稱一上，以下類似情況均按此處理）后移至一下，將“100以內(nèi)數(shù)的進(jìn)位加法、退位減法”由一下后移至二上，將“100以內(nèi)數(shù)的連加、連減、加減混合運(yùn)算”由二上后移至二下，將“兩位數(shù)乘一位數(shù)”由三上后移至三下并與三位數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)行統(tǒng)整遷移學(xué)習(xí)，將“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”由三下后移至四下，將“三位數(shù)除以兩位數(shù)”由四上后移至四下，將“小數(shù)的再認(rèn)識(shí)和加減法”“小數(shù)乘法”由四下后移至五上，將“小數(shù)除法”“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”由五上后移至五下，將“分?jǐn)?shù)除法”由五下后移至六上。這樣處理，一方面是根據(jù)2022年版課標(biāo)各學(xué)段目標(biāo)的調(diào)整，另一方面是考慮學(xué)生的年齡特征，有利于降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，避免難點(diǎn)過(guò)于集中。同時(shí)，學(xué)生可以接觸除了計(jì)算以外的更多內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)及學(xué)習(xí)活動(dòng)有多方面的體會(huì)，為素養(yǎng)的發(fā)展提供空間與機(jī)會(huì)。

（3）加強(qiáng)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性與一致性的整體設(shè)計(jì)，對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一致性、算法的探索和算理的理解等進(jìn)行進(jìn)一步修訂與完善。第五版教材將數(shù)與運(yùn)算作為一個(gè)整體進(jìn)行組織，體現(xiàn)兩者之間的密切關(guān)聯(lián)。例如，在理解數(shù)的意義時(shí)，第五版教材注重結(jié)合生活情境，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)都是從數(shù)量到數(shù)的抽象（如圖1），是按計(jì)數(shù)單位從小到大累加的過(guò)程，其中蘊(yùn)含了加法運(yùn)算的算理。在探索算法和算理的過(guò)程中，結(jié)合對(duì)數(shù)的概念的理解，體會(huì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算都要基于相同的計(jì)數(shù)單位相加，引導(dǎo)學(xué)生從整體上理解數(shù)與運(yùn)算，體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)，滿足學(xué)生學(xué)習(xí)與素養(yǎng)發(fā)展的需要。

2.特色。

（1）整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中體現(xiàn)的思想方法，突出主題內(nèi)容與發(fā)展數(shù)感、運(yùn)算能力、模型意識(shí)、推理意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之間的關(guān)聯(lián)。例如，第一學(xué)段，學(xué)生通過(guò)“相同數(shù)位上數(shù)的加減運(yùn)算”感悟運(yùn)算的通法，對(duì)20以內(nèi)進(jìn)位加法進(jìn)行結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，進(jìn)一步將傳統(tǒng)教材設(shè)計(jì)的9加幾、8加幾的重復(fù)性、形式化的數(shù)學(xué)運(yùn)算技能學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)變?yōu)榛谡鎸?shí)情境，借助小棒和計(jì)數(shù)器等實(shí)物操作活動(dòng)，讓真實(shí)的數(shù)數(shù)過(guò)程成為學(xué)生的具身學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)算理的理解和算法的掌握，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程與數(shù)的運(yùn)算過(guò)程的有機(jī)統(tǒng)一。

（2）注重學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)律及運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)律解決問題能力的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)過(guò)程，理解數(shù)學(xué)核心概念，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。以認(rèn)識(shí)與理解十進(jìn)位值制為例。10是學(xué)生認(rèn)識(shí)的第一個(gè)兩位數(shù)，是理解十進(jìn)位值制的起始。第五版教材分兩次引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解10。第一次，結(jié)合數(shù)數(shù)的活動(dòng)，體會(huì)10是9的后繼數(shù)，比9多1是10，同時(shí)提出問題“10有兩個(gè)數(shù)字，你們注意到了嗎”，喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)的表達(dá)的探究欲，為進(jìn)一步理解10做好鋪墊；第二次，體會(huì)十位上的1表示1個(gè)十，十是一個(gè)計(jì)數(shù)單位，初步了解十進(jìn)位值制。在對(duì)10的理解的基礎(chǔ)上，第五版教材在“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”“萬(wàn)以上數(shù)的認(rèn)識(shí)”三個(gè)單元各設(shè)計(jì)了一節(jié)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課，引導(dǎo)學(xué)生積累按群計(jì)數(shù)、按計(jì)數(shù)單位計(jì)數(shù)、體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中存在著更大的數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步豐富對(duì)十進(jìn)位值制的理解。

（3）加強(qiáng)內(nèi)容的縱橫聯(lián)系，進(jìn)一步突出算理的理解、算法多樣化和運(yùn)算的一致性。在第五版教材中，二下、三上、三下、四上、四下均涉及整數(shù)乘法相關(guān)內(nèi)容，但在算理、數(shù)的位值、算式的難易程度和復(fù)雜程度等方面體現(xiàn)循序漸進(jìn)。在第二學(xué)段探索并掌握多位數(shù)的乘法和除法，感悟從未知到已知的轉(zhuǎn)化，將原來(lái)三下的兩位數(shù)乘法與四上的三位數(shù)乘法合并形成“兩三位數(shù)乘法”，從兩位數(shù)乘兩位數(shù)直接遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)。在第三學(xué)段結(jié)合具體情境理解整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，通過(guò)簡(jiǎn)單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性。

（二）“數(shù)量關(guān)系”主題的主要變化與特色。

1.主要變化。

（1）注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“從頭到尾”思考問題的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力?，F(xiàn)實(shí)生活中有大量涉及數(shù)量關(guān)系的真實(shí)問題，探索、分析和運(yùn)用數(shù)量關(guān)系是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要途徑。第五版教材每?jī)?cè)設(shè)計(jì)了2節(jié)運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、原理解決問題的經(jīng)驗(yàn)積累課（全套教材共24節(jié)），引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)、有步驟地將對(duì)數(shù)學(xué)的理解運(yùn)用于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過(guò)程中，使思考和體驗(yàn)逐步發(fā)展成思想和經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)知識(shí)學(xué)習(xí)與經(jīng)驗(yàn)積累的聯(lián)系，提高認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問題的能力。其中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的此類經(jīng)驗(yàn)積累課共13節(jié)，見表2。

（2）經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界中獲得常見數(shù)量關(guān)系和建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，發(fā)展運(yùn)用常見的數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題的能力。例如，在一上“10以內(nèi)數(shù)的加減法”學(xué)習(xí)中新增了“挖紅薯”一課，使學(xué)生再次體會(huì)“=”的意義和相等關(guān)系；在三下新增“關(guān)系與規(guī)律”單元，在四下新增“等量代換”單元，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用等量的等量相等這一基本事實(shí)進(jìn)行推理，形成初步的推理意識(shí)，幫助學(xué)生積累用符號(hào)表示關(guān)系與規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)；在四上增加“運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題”單元，鼓勵(lì)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用常見的加法模型和乘法模型解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題；整體設(shè)計(jì)用字母表示事物之間的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律的內(nèi)容，在五上和六上分兩次學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)和字母表達(dá)數(shù)量關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算和推理解決問題，幫助學(xué)生感悟把符號(hào)作為對(duì)象是可以進(jìn)行運(yùn)算和推理的，體會(huì)用字母表示的一般性，發(fā)展符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)和初步的應(yīng)用意識(shí)，這也有助于發(fā)展學(xué)生初步的代數(shù)思維；調(diào)整“比的認(rèn)識(shí)”單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)，六上重點(diǎn)學(xué)習(xí)概念，重新構(gòu)建比的意義，六下則重點(diǎn)學(xué)習(xí)概念的應(yīng)用；六下增加結(jié)合具體情境，探索成正比的關(guān)系、規(guī)律或變化趨勢(shì)的內(nèi)容，為中學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)。

2.特色。

（1）整體設(shè)計(jì)“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容，以問題解決為重點(diǎn)，進(jìn)一步凸顯發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。依據(jù)2022年版課標(biāo)要求，第五版教材將運(yùn)用數(shù)和數(shù)的運(yùn)算解決問題、估算、常見數(shù)量關(guān)系、字母表示數(shù)、探索規(guī)律等內(nèi)容整合成“數(shù)量關(guān)系”主題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“理解運(yùn)算意義—初步建立加法模型和乘法模型—運(yùn)用常見的數(shù)量關(guān)系和模型分析和解決問題”的過(guò)程，把數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系作為一個(gè)整體理解。第五版教材在堅(jiān)持計(jì)算與解決問題相結(jié)合的一貫特色的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境驅(qū)動(dòng)下發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題。學(xué)生從第一學(xué)段在現(xiàn)實(shí)情境中初步感悟數(shù)量關(guān)系到第三學(xué)段在問題解決中體會(huì)把蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律、性質(zhì)一般化的重要意義，經(jīng)歷從四則運(yùn)算意義到模型建立的抽象過(guò)程，以及問題解決從個(gè)別化到一般化的過(guò)程，促進(jìn)模型意識(shí)、幾何直觀、推理意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展。

（2）系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題串，更好地體現(xiàn)了閱讀和理解問題、捕捉和補(bǔ)充信息、分析數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)和提出問題的要求，避免孤立地、碎片化地學(xué)習(xí)，促進(jìn)知識(shí)與方法的遷移和學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。例如，四上“單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)”一課，情境中呈現(xiàn)了兩張不同超市的購(gòu)物小票，兩張小票中商品的單價(jià)既有相同的情況，也有不同的情況，引導(dǎo)學(xué)生比較并提出問題。正文通過(guò)層層遞進(jìn)的三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”的乘法模型及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；“試一試”進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生討論生活中存在的“每份的數(shù)量×份數(shù)=總數(shù)”問題，體會(huì)這樣的問題與單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)有著同樣的數(shù)量關(guān)系，深化對(duì)乘法模型的理解，進(jìn)一步突出整體視角下對(duì)數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)模型的理解與掌握、探索與發(fā)現(xiàn)、建立與應(yīng)用、反思與評(píng)估（如圖2）。

總之，第五版教材依據(jù)學(xué)生終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要，充分考慮“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域課程內(nèi)容特點(diǎn)，以課程育人為基本目標(biāo)，聚焦核心素養(yǎng)的發(fā)展，加強(qiáng)學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、社會(huì)生活之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)學(xué)科內(nèi)和學(xué)科間的內(nèi)容整合，以豐富的現(xiàn)實(shí)情境為學(xué)習(xí)資源，從整體的視角對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析，結(jié)合不同學(xué)段學(xué)生的基礎(chǔ)和年齡特征，進(jìn)行有問題情境支撐的、能引發(fā)學(xué)生多角度思考的有針對(duì)性的內(nèi)容呈現(xiàn)，讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的同時(shí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注核心概念的建立與遷移，培養(yǎng)在真實(shí)情境中綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（作者系新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材分冊(cè)主編、特級(jí)教師、清華大學(xué)附屬中學(xué)上地小學(xué)執(zhí)行校長(zhǎng)）