數(shù)學(xué)思維是學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。在新課標下，教師要遵循數(shù)學(xué)思維的進階規(guī)律，以學(xué)生為核心，構(gòu)建小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)體系。一方面，在實際教學(xué)中，教師要把握數(shù)學(xué)知識的邏輯關(guān)系與發(fā)展規(guī)律，基于學(xué)生認知特征，立足核心素養(yǎng)內(nèi)容組織課堂教學(xué)。另一方面，基于對數(shù)學(xué)思維進階的考量，學(xué)生要經(jīng)歷由符號認知到表達對話、到深層思考、再到建模應(yīng)用的過程。簡言之，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)把握數(shù)學(xué)知識的進階性，采用循序漸進的方式，幫助學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)認知，完成數(shù)學(xué)思維的進階。

一、新課標下小學(xué)數(shù)學(xué)思維進階的合理性

（一）符合數(shù)學(xué)知識規(guī)律

數(shù)學(xué)知識所呈現(xiàn)的內(nèi)容是現(xiàn)實生活中被抽象的數(shù)量關(guān)系與空間幾何，而現(xiàn)實生活中各類事件與事物的發(fā)展都是遵循特定的規(guī)律進行的。由此可見，數(shù)學(xué)知識中也必定蘊含著一定的變化規(guī)律與發(fā)展邏輯。遵循數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在變化規(guī)律與發(fā)展邏輯，促進學(xué)生思維進階不僅符合新課標對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出的新要求，也是新時代下提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的必然路徑。

從當下小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排邏輯來看，大部分數(shù)學(xué)教材以小學(xué)階段學(xué)生的年齡特征、心理特征與認知特征為依據(jù)，綜合數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系。國內(nèi)心理學(xué)家朱智賢曾提出：學(xué)生在7～8歲就已經(jīng)逐漸開始萌發(fā)辯證思維，在11歲時已經(jīng)形成了初期的辯證思考能力，但是此時并未形成完整的思維結(jié)構(gòu)，所以小學(xué)數(shù)學(xué)知識由具象到抽象、由現(xiàn)象到本質(zhì)的編排邏輯符合小學(xué)階段學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維。比如，青島版小學(xué)教材中的“對稱”這部分內(nèi)容分別出現(xiàn)在三年級下冊和五年級上冊。三年級下冊的“對稱”內(nèi)容使學(xué)生初步感知圖形的對稱現(xiàn)象，理解對稱的特征；而五年級上冊的“對稱”內(nèi)容則使學(xué)生理解圖形的本質(zhì)。這種從直觀感知到深度思考的編排邏輯，能夠幫助學(xué)生循序漸進地對數(shù)學(xué)圖形產(chǎn)生深刻認知，盡管兩者的教學(xué)目標不同，但是揭示的都是圖形的特征與本質(zhì)，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的幾何觀念，還能使學(xué)生逐步學(xué)會從不同的角度觀察現(xiàn)實生活，實現(xiàn)思維進階。

（二）符合課程改革要求

小學(xué)數(shù)學(xué)思維進階符合新課程標準對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。強化課程教學(xué)改革需要教師將課堂教學(xué)的重心置于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展上，而思維進階符合課程改革對課堂教學(xué)的這一要求，對小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著不可替代的作用。一方面，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022版）》要求小學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注學(xué)生在課上的主動探究情況，關(guān)注學(xué)生的獨立思考能力，更要關(guān)注學(xué)生在課上所表現(xiàn)出來的認知經(jīng)驗建構(gòu)能力。數(shù)學(xué)思維進階正是培養(yǎng)學(xué)生知識建構(gòu)能力與獨立思考能力的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)。另一方面，在新課標下，教師要避免過度干涉學(xué)生的思維過程，為其提供自主探究的空間，在幫助學(xué)生梳理學(xué)習思路的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生在主動思考的基礎(chǔ)上自主生成學(xué)習經(jīng)驗，形成主動思維習慣，這也與小學(xué)數(shù)學(xué)思維進階的教學(xué)方式不謀而合。

二、新課標下小學(xué)數(shù)學(xué)思維進階的三個階段

（一）符號思維階段

數(shù)學(xué)符號是組成數(shù)學(xué)知識的基本元素，也是一種約定俗成的表達方法，能夠更直接地傳遞數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想。符號思維是小學(xué)數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)階段，在這一階段，學(xué)生所能接觸到的數(shù)學(xué)符號主要包括四種：一是數(shù)字，指的是常見的1、2、3、4等，表現(xiàn)的是數(shù)量，是學(xué)習基本的運算技巧、掌握數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。二是運算符號，主要是指表示加減乘除的符號，也是學(xué)習運算法則的基礎(chǔ)。三是圖形符號，主要指點、線、面，以及圖形的性質(zhì)和特征，是學(xué)生形成幾何意識、學(xué)習測量和繪圖的基礎(chǔ)。四是代數(shù)符號，如x、y等方程式中常出現(xiàn)的符號，是學(xué)生學(xué)習方程和函數(shù)、形成抽象思維的基礎(chǔ)。

（二）語言思維階段

數(shù)學(xué)語言是符號之上的一種表達手段，指的是借助數(shù)學(xué)符號、文字和圖片等方式描述數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)規(guī)律。語言思維是學(xué)生在符號思維的基礎(chǔ)上生成的間接性思維，在語言思維階段，學(xué)生必須掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)語言表達方式，為更深刻地理解數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律打下基礎(chǔ)。一方面，數(shù)學(xué)語言能夠以直觀清晰的方式描述抽象的數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)運算；另一方面，數(shù)學(xué)語言具有極強的邏輯性特征。大部分數(shù)學(xué)語言往往延續(xù)著極為嚴格的邏輯關(guān)系來描述數(shù)學(xué)原理或數(shù)學(xué)概念，所以語言思維也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的基礎(chǔ)之一。

（三）模型思維階段

模型思維是小學(xué)數(shù)學(xué)思維的高階階段，是幫助學(xué)生遷移數(shù)學(xué)知識，進入實踐應(yīng)用的一種手段。建立模型思維是學(xué)生解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)模型思維主要包括三類：一是幾何模型，指的是借助幾何來描述問題、解決問題，如長度、面積、體積等。二是代數(shù)模型，主要利用代數(shù)符號描述數(shù)學(xué)關(guān)系。三是函數(shù)模型，主要利用函數(shù)關(guān)系呈現(xiàn)變量間的復(fù)雜數(shù)學(xué)管理，如變化趨勢、峰值等。

總的來說，模型思維與符號思維相對應(yīng)，語言思維則是由符號思維向模型思維過渡的中間階段，三個階段密切相連、缺一不可。

三、新課標下小學(xué)數(shù)學(xué)思維的進階過程

（一）奠基階段的抽象進階：去物留形

新課程標準中提出的“數(shù)學(xué)眼光”這一核心素養(yǎng)，通俗來講就是抽象思維，指的是從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形關(guān)系中抽象出研究中心。這一抽象的過程應(yīng)基于認知經(jīng)驗，通過聯(lián)想和想象凸顯數(shù)學(xué)的隱性內(nèi)涵，借助數(shù)形結(jié)合的方式發(fā)展符號認知。在這一階段，教師可以借助可視化思維工具發(fā)展學(xué)生的符號認知思維。

第一，實物工具。在符號思維發(fā)展初期，教師要利用實物教具幫助學(xué)生建立對各類數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)術(shù)語的認知，逐漸進入數(shù)學(xué)世界，體會數(shù)學(xué)知識的抽象性特征。借助實物工具能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)原理以客觀事物的形式呈現(xiàn)，使學(xué)生的聯(lián)想與想象成為現(xiàn)實存在，解決學(xué)生對抽象性和概念性數(shù)學(xué)知識理解難的問題。

第二，信息化思維工具。信息技術(shù)在教育教學(xué)中的應(yīng)用衍生了大量的教學(xué)工具，如多媒體設(shè)備、微課視頻、智慧教室等。信息化思維工具適用于符號思維發(fā)展中期，以理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題為主，簡單掌握基本的運算原理。此時，借助信息化教學(xué)工具將抽象的數(shù)學(xué)知識以直觀、生動、動態(tài)的方式呈現(xiàn)出來，例如微課。微課能夠?qū)㈦y以理解的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)問題凝練于短視頻中，以極具趣味性的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，從而達到降低學(xué)生思維難度的目標。信息技術(shù)將數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)原理轉(zhuǎn)化為直觀存在的數(shù)學(xué)圖形，幫助學(xué)生明確復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的解題思路，對于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)有著積極作用。例如，在青島版三年級上冊“分數(shù)的初步認識”一課教學(xué)中，教師可以將抽象的分數(shù)知識轉(zhuǎn)化為幾何圖形呈現(xiàn)，如將一個正方形單位看作“1”，將正方形對折之后，折痕兩邊的圖形則是1/2，再次對折則為1/4，以此類推。

第三，導(dǎo)圖式思維工具。思維導(dǎo)圖是一種圖片與文字相結(jié)合的思維工具，在數(shù)學(xué)課堂上利用思維導(dǎo)圖，能夠幫助學(xué)生明確思維過程、解題順序以及數(shù)學(xué)知識體系，從而建立起碎片化的數(shù)學(xué)知識間的邏輯聯(lián)系，形成完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。Sweet導(dǎo)圖更適用于符號思維發(fā)展的最終階段，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力具有重要作用。思維導(dǎo)圖的主要表現(xiàn)形式有樹狀圖、總分圖等，教師要按照一定的思維規(guī)律與數(shù)學(xué)邏輯整理數(shù)學(xué)知識，為數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)表達奠定基礎(chǔ)。

（二）升級階段的表達進階：化難為簡

數(shù)學(xué)語言思維是思維進階的中期階段，也是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。語言思維主要包括對數(shù)學(xué)語言的閱讀能力以及利用數(shù)學(xué)語言表達的能力。在這一階段，教師可以借助教學(xué)情境與教學(xué)任務(wù)，鼓勵學(xué)生借助對話交流掌握數(shù)學(xué)語言和“對話”技巧。

第一，借助生活素材提供自由“對話”情境。生活化情境需要教師將生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，打造教學(xué)情境，充分利用現(xiàn)實生活素材開展教學(xué)，使學(xué)生在熟悉的生活情境中嘗試利用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)術(shù)語進行“對話”，幫助其建立起對數(shù)學(xué)語言的初步認知。這種現(xiàn)實素材與數(shù)學(xué)語言相結(jié)合的情境模式更適合中期學(xué)生的思維模式，能夠刺激學(xué)生的認知沖動，使學(xué)生進入深度思考狀態(tài)，體會數(shù)學(xué)學(xué)習對于現(xiàn)實生活的意義。

例如，在青島版五年級下冊“測量不規(guī)則物體的體積”教學(xué)中，首先，教師進行情境導(dǎo)入：我們在超市購物的時候，能發(fā)現(xiàn)很多密封類食品都是以體積為計量標準，這些密封類的食品大多以長方體的形式出現(xiàn)，但是也有很多不是以長方體形式出現(xiàn)的密封食品，如密封包裝的烤腸、密封包裝的蔬菜、密封包裝的熟食等，這些密封食品很難用長方體或者正方體的體積計算公式來直接得出答案，那么我們可以采用怎樣的方法來計算出這些物品的體積呢？其次，實驗探索：測量西紅柿的體積。全班學(xué)生在教師的指導(dǎo)下共同完成，實驗過程為：準備一個長方體水槽，往水槽中倒水并記下水面高度。將西紅柿放進水槽中，確保水沒過西紅柿，并記錄此時水面的高度，然后計算兩者的差，得出結(jié)論。最后，學(xué)生描述：嘗試用數(shù)學(xué)語言描述不規(guī)則物品的體積計算方式。這樣設(shè)計的意圖是將生活情境與實驗探索相結(jié)合，為學(xué)生提供自主探究空間，學(xué)生借助現(xiàn)有生活經(jīng)驗提煉關(guān)鍵信息、描述數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題，極大降低了思維難度。

第二，立足數(shù)學(xué)本身刺激“閱讀”欲望。教師需要從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部邏輯與規(guī)律出發(fā)，搭建數(shù)學(xué)教學(xué)情境，學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中提煉相關(guān)數(shù)學(xué)知識與史料，再用數(shù)學(xué)語言描述出來，完成數(shù)學(xué)語言的輸入和輸出，實現(xiàn)思維進階。一般來說，教師可以將數(shù)學(xué)知識中所包含的各類情境要素轉(zhuǎn)化為故事、人物或問題，為學(xué)生提供表達思路與研究對象。

第三，借鑒多學(xué)科思維建立“表達”場域。教師需要將多學(xué)科知識與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，將數(shù)學(xué)思維與其他學(xué)科思維融入課堂教學(xué)中，為學(xué)生打造主動“表達”的場域。例如，將語文古詩詞與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合、將地理自然現(xiàn)象與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合、將美術(shù)繪畫與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合、將音樂與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合等。諸如此類的跨學(xué)科情境能夠為學(xué)生提供主動表達的機會，實現(xiàn)思維進階。

第四，借助信息技術(shù)刺激“表達”沖動。教師需要借助信息技術(shù)打造數(shù)字化的教學(xué)情境，利用信息技術(shù)生動化、趣味化和多元化的優(yōu)勢，幫助學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識的魅力，主動利用數(shù)學(xué)語言進行表達。例如，教師可以利用微課視頻、動漫視頻、繪圖軟件等打造教學(xué)情境，使數(shù)學(xué)問題以數(shù)字化、形象化的形式呈現(xiàn)出來，激發(fā)學(xué)生主動運用數(shù)學(xué)語言描述問題、分析問題、解決問題的欲望。

第五，建立問題情境，提供“對話”可能。問題情境需要教師基于教學(xué)主題與教學(xué)目標設(shè)置課堂問題，使學(xué)生在問題的導(dǎo)向下主動思考，并展開小組討論，自然而然地用數(shù)學(xué)語言表達自己的觀點。問題情境可以通過課堂提問、項目任務(wù)、小組合作等形式呈現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識以問題和探究活動的形式出現(xiàn)在課堂上，為學(xué)生提供了討論和交流的對象，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言思維。

（三）終期階段的模型化進階：點面結(jié)合

小學(xué)數(shù)學(xué)思維境界的中心階段即模型化思維，需要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)模型的初步感知，是在學(xué)生現(xiàn)有認知經(jīng)驗的基礎(chǔ)上形成的，最終又呈現(xiàn)于實踐過程中。

第一，聚焦單個知識點，輻射知識整體，建立系統(tǒng)性的認知結(jié)構(gòu)。一方面，教師要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的邏輯關(guān)系，以此為依據(jù)建立知識體系，以思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)。另一方面，教師要注意思維發(fā)展的過渡性。在數(shù)學(xué)表達過程中，引導(dǎo)學(xué)生嘗試發(fā)散思維，建立對數(shù)學(xué)共性知識的認知，為形成高階思維打下基礎(chǔ)。

第二，聚焦現(xiàn)實生活，聯(lián)系生活實際。在這一階段，教師要從數(shù)學(xué)與生活間的聯(lián)系出發(fā)，搭建思維橋梁。這一過程是數(shù)學(xué)知識遷移、應(yīng)用與實踐的過程，也是思維進階的終期階段。此時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實問題，在發(fā)現(xiàn)問題內(nèi)核的基礎(chǔ)上完成建模、解決問題。這一過程要確保學(xué)生兼顧觀察與操作，鼓勵學(xué)生從多個角度思考現(xiàn)實問題，建立解題模型。

第三，聚焦核心問題，實現(xiàn)推理和驗證。新課標更關(guān)注學(xué)生邏輯推理、辯證思考和判斷能力的提升，這是小學(xué)數(shù)學(xué)思維進階的最終階段，要求學(xué)生基于符號思維、數(shù)學(xué)語言和現(xiàn)有認知經(jīng)驗，主動發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)知識、提煉數(shù)學(xué)知識的隱性元素、主動建立數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。在這一階段，學(xué)生必須具備足夠敏銳的數(shù)學(xué)觀察能力，提煉核心知識。

四、結(jié)語

思維進階是新課標下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必然方向，對教師的教學(xué)設(shè)計能力提出了新的要求。教師要遵循學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律與數(shù)學(xué)邏輯，以學(xué)生現(xiàn)有認知經(jīng)驗為起點，綜合設(shè)計教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)活動，在幫助學(xué)生搭建完整數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上實現(xiàn)更深層次的思維認知。這就需要教師借助可視化的教學(xué)工具及教學(xué)情境，為學(xué)生提供自主思考的空間，利用實物教具、信息技術(shù)、思維導(dǎo)圖、數(shù)形結(jié)合等手段，幫助學(xué)生建立對數(shù)學(xué)知識的直觀認知，輔助學(xué)生實現(xiàn)思維進階。

（宋行軍）