求解幾何最值問題，主要以簡(jiǎn)單幾何模型為依托，運(yùn)用化歸思想，結(jié)合軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)三大變換（或其組合），化繁為簡(jiǎn)，化折為直，化動(dòng)為定，化分散為集中. 通常情況下，在有點(diǎn)共線時(shí)可以取最值.

一、三點(diǎn)共線時(shí)取最值

例1 如圖1，四邊形[ABCD]是矩形，[AB=10]，[AD=42]，點(diǎn)P是邊[AD]上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接[PB]，[PC]. 點(diǎn)M，N分別是[PB]，[PC]的中點(diǎn)，連接[MN]，[AM]，[DN]，點(diǎn)E在邊[AD]上，[ME][?][DN]，求[AM+ME]的最小值.

解析：由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得[AM=12BP]，[DN=12CP]. 通過證明四邊形[MNDE]是平行四邊形，可得[ME=DN]，則[AM+ME=AM+DN=12BP+CP]. 如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于直線[AD]的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接[PQ]，[BQ]，則[BP+CP=BP+PQ]. 當(dāng)點(diǎn)B，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，[BP+PQ]的值最小，最小值為[BQ]. 在[Rt△BCQ]中，根據(jù)勾股定理可得[BQ=BC2+QC2=422+2102=62]，[所以][AM+ME]的最小值[=12BQ=32].

二、多點(diǎn)共線時(shí)取最值

例2 1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置.意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題被稱為“將軍巡營(yíng)”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）：當(dāng)[△ABC]的三個(gè)內(nèi)角均小于[120°]時(shí)，如圖3，將[△APC]繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[60°]得到[△A'P'C]，連接[PP']，由[PC=P'C" ， ∠PCP'=60°]，可知[△PCP']為 ① 三角形，故[PP'=PC].又因?yàn)閇P'A'=PA]，所以[PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B].由 ② 可知，當(dāng)B，P，[P']，A'在同一條直線上時(shí)，[PA+PB+PC]取最小值，如圖4，最小值為[A'B]，此時(shí)的點(diǎn)P為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有[∠APC=∠BPC=∠APB=] ③ .當(dāng)[△ABC]中有一個(gè)內(nèi)角大于或等于[120°]時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn). 如圖5，若[∠BAC≥120°]，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為 ④ 點(diǎn).

（2）如圖6，在[△ABC]中，三個(gè)內(nèi)角均小于[120°]，且[AC=3]，[BC=4]，[∠ACB=30°]，已知點(diǎn)P為[△ABC]的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求[PA+PB+PC]的值.

（3）如圖7，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知[AC=4 km]，[BC=23 km]，[∠ACB=60°]. 現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/[km]、a元/[km]、[2a]元/[km]，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為 元. （結(jié)果用含a的式子表示）

解析：（1）①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③[120°]；④[A].

（2）根據(jù)（1）的方法將[△APC]繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[60°]得到[△A'P'C]，連接[PP']，如圖8，即可知當(dāng)B，P，[P']，A'在同一條直線上時(shí)，[PA+PB+PC]取最小值，最小值為[A'B].

根據(jù)[∠ACB=30°]可證明[∠BCA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°]. 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知[AC=A'C=3]，則[A'B=BC2+A'C2=42+32=5]，所以[PA+PB+PC]的最小值為[5].

（3）總的鋪設(shè)成本[=PA·a+PB·a+PC·2a=a（PA+PB+2PC）]，當(dāng)[PA+PB+2PC]的值最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低.

如圖9，將[△APC]繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[90°]得到[△A'P'C]，連接[PP']，[A'B]，得到等腰直角三角形[PP'C]，易得[PP'][=2PC]，則[PA+PB+2PC=P'A'+PB+PP'].顯然，當(dāng)B，P，[P']，A[']在同一條直線上時(shí)，[P'A'+PB+PP']取最小值，即[PA+PB+2PC]的最小值為[A'B].

過點(diǎn)[A']作[A'H⊥BC]，垂足為[H]，易得[A'H=2 km]，HC = 2[3] km，則BH = [43 ]km，于是[A'B=A'H2+BH2=213]（km）， 即[PA+PB+2PC]的最小值為[213 km]. 故總的鋪設(shè)成本為2[13a]元.

（作者單位：山東省棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)馬蘭屯鎮(zhèn)第二中學(xué)）