動(dòng)點(diǎn)四邊形問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性和開(kāi)放性，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)“動(dòng)中求靜”：通過(guò)對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的分析，觀察所求圖形的形狀變化，結(jié)合四邊形的定義、性質(zhì)和判定列方程解決問(wèn)題.下面舉例說(shuō)明.

原題呈現(xiàn)

例1 （人教版8年級(jí)下冊(cè)68頁(yè)13題）如圖1，在四邊形ABCD中，AD [?] BC，∠B = 90°，AB = 8 cm，AD = 24 cm，BC = 26 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng). 規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，使PQ [?] CD和PQ = CD，分別需要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？為什么？

分析：將運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段的長(zhǎng)度用字母t表示出來(lái)，得AP = t，PD = 24 - t，CQ = 3t，BQ = 26 - 3t，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定解題即可.

解：（1）∵AD [?] BC，PQ [?] CD，∴四邊形PDCQ為平行四邊形.

∴PD = CQ.∴24 - t = 3t，∴t = 6.

（2）若PQ = DC，分兩種情況：

①四邊形PDCQ是平行四邊形，則PD = CQ，由（1）得t = 6.

②四邊形PDCQ是等腰梯形. 如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE ⊥ BC，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF ⊥ BC，垂足為點(diǎn)F，則有△PQF ≌ △DCE，四邊形PFED是矩形，

∴3t = 24 - t + 2 × （26 - 24），∴t = 7．

綜上，當(dāng)t = 6或7時(shí)，PQ = CD.

解題策略

1.分析：明確動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、運(yùn)動(dòng)路徑、運(yùn)動(dòng)速度.

2.作圖：根據(jù)題目要求確定位置畫(huà)出示意圖.（動(dòng)中取靜）

3.表達(dá)：根據(jù)“路程 = 速度 × 時(shí)間”，表示關(guān)鍵線(xiàn)段長(zhǎng)，并確定范圍.

4.列式：根據(jù)圖形特點(diǎn)尋找等量關(guān)系，列方程求解.（靜中找等，等變方程）

5.檢驗(yàn)：驗(yàn)證所求是否符合題意.

能力提升

例2 如圖3，在四邊形ABCD中，AD [?] BC，BC ⊥ CD，AD = 6 cm，BC = 10 cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，以2 cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

（1）t取何值時(shí)，四邊形EFCD為矩形？

（2）M是BC上一點(diǎn)，且BM = 4，t取何值時(shí)，以A，M，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

分析：（1）當(dāng)DE = CF時(shí)，四邊形EFCD為矩形，列出方程即可求解問(wèn)題；

（2）分點(diǎn)F分別在點(diǎn)M左側(cè)和右側(cè)兩種情況，當(dāng)AE = FM時(shí)以A，M，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，列出方程即可求解問(wèn)題.

解：（1）當(dāng)DE = CF時(shí)，四邊形EFCD為矩形，

∴6 - t = 10 - 2t，∴t = 4．

（2）①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)M左側(cè)時(shí)，若AE = FM，則四邊形AEMF是平行四邊形，

∴t = 4 - 2t，∴t = [43]；

②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)M右側(cè)時(shí)，若AE = FM，則四邊形AEFM是平行四邊形，

∴t = 2t - 4，∴t = 4.

綜上，t = [43]或4時(shí)，以A，M，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

總結(jié)反思

特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，無(wú)論是單動(dòng)點(diǎn)還是多動(dòng)點(diǎn)，其解題關(guān)鍵都是利用圖形，探索動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，尋找分界點(diǎn)并畫(huà)出符合題設(shè)條件的圖形進(jìn)行討論.在分析的過(guò)程中要關(guān)注圖形的特性（特殊的位置、特殊的性質(zhì)），尋找確定的等量關(guān)系列方程解決問(wèn)題.

拓展訓(xùn)練

1. 如圖4，在Rt△ABC中，∠B = 90°，[BC=53]，∠C = 30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t > 0）. 過(guò)點(diǎn)D作DF ⊥ BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．

（1）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值.

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的t的值.

思路分析：（1）可得AE = t，AD = 10 - 2t，先證明四邊形AEFD為平行四邊形，若AE = AD，則平行四邊形AEFD為菱形，列方程可求解；

（2）分三種情況討論，列方程可求解．

2. 在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，G，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是對(duì)角線(xiàn)AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C同時(shí)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度出發(fā)相向而行，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)0 < t < 5時(shí)，判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)0 < t < 10時(shí)，若四邊形EGFH為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

思路分析：（1）如圖5，通過(guò)證明三角形全等可得EG = FH，易證EG [?] FH，則可證四邊形EGFH為平行四邊形；

（2）分為兩種情況，一種是點(diǎn)E，F(xiàn)沒(méi)有經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)，另一種是點(diǎn)E，F(xiàn)經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)，利用對(duì)角線(xiàn)EF = GH列方程即可求解．

答案：1. （1）能，t [=103]；

（2）t = [52]或4.

2. （1）四邊形EGFH是平行四邊形，理由略；

（2）t = 2或t = 8.

（作者單位：大連理工大學(xué)附屬學(xué)校）