摘 要：投資組合問題是當(dāng)前金融學(xué)研究的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要面對(duì)的問題是在滿足給定收益下將固定數(shù)目的資金分配到多種資產(chǎn)上使得風(fēng)險(xiǎn)最小化。與VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度相比，CVaR具有更好的數(shù)理統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，CVaR滿足次可加性、正齊次性、單調(diào)性及傳遞不變性，因而CVaR是一種一致性的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量方法。因此，可以利用CVaR與VaR度量風(fēng)險(xiǎn)，優(yōu)化投資組合的問題。針對(duì)遺傳算法全局搜索能力強(qiáng)，但僅限于求最大值，且求解單變量的缺陷，進(jìn)一步改進(jìn)了原有的GA算法，使得優(yōu)化后的遺傳算法可以支持高維數(shù)據(jù)的估計(jì)，以及下降法優(yōu)化損失函數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新方法GA-CVaR能有效優(yōu)化組合模型，可以使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)降到最低。

關(guān)鍵詞：遺傳算法；CVaR；機(jī)器學(xué)習(xí)；投資組合

中圖分類號(hào)：F239 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2024）13-0071-04

一、研究背景

對(duì)于交易者來說，在決策的第一時(shí)間及時(shí)了解不同交易標(biāo)的基本面、技術(shù)面等相關(guān)屬性可以降低交易者自身風(fēng)險(xiǎn)。但實(shí)際上，交易者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)是不清楚的。交易者缺少對(duì)于投資組合的合理配置，例如，在選擇不同股票的時(shí)候并沒有進(jìn)行合理的資產(chǎn)配置。對(duì)于交易者來說，在決策的第一時(shí)間及時(shí)了解不同產(chǎn)品風(fēng)險(xiǎn)、收益等相關(guān)屬性，可以讓交易本身產(chǎn)生更大的穩(wěn)健型效果。而對(duì)于不同產(chǎn)品的定量風(fēng)險(xiǎn)性分析并加以量化組合，可以達(dá)到對(duì)于投資組合風(fēng)險(xiǎn)性的控制。

關(guān)于控制風(fēng)險(xiǎn)的量化方法，過去度量金融風(fēng)險(xiǎn)主要運(yùn)用的是方差，但方差只能代表這一段時(shí)期的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)，而波動(dòng)并不能代表是風(fēng)險(xiǎn)，于是這個(gè)方法慢慢地就被淘汰了。當(dāng)前量化風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)的方法主要有度量風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）等，但兩者通過解析直接求解異常困難。

隨著各種啟發(fā)式算法的興起，為求解帶來了新的思路。一些學(xué)者開始采用各種多目標(biāo)進(jìn)化算法對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行直接求解，如宋慧慧等人利用向量評(píng)估遺傳算法對(duì)基于CVaR有交易費(fèi)率的多目標(biāo)函數(shù)求解[1]。楊天山等利用多目標(biāo)粒子群算法對(duì)基于CVaR的多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解[2]。沈潔等[3]利用約束方法求解，但對(duì)于投資者而言，他們往往想要得到的是在一定收益下的最小風(fēng)險(xiǎn)，而不是在多組數(shù)據(jù)中選擇合適的投資組合。而侯勝杰等基于熵模型結(jié)合CVaR進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)度量并且得到了在夏普比率、平均絕對(duì)偏差比等性能指標(biāo)更好的效果[4]。

現(xiàn)有的文獻(xiàn)研究中，主要是以遺傳算法的單維度以及梯度向上的方法進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)于很多算法的移植具有很大的約束性，需要一種非線性下降并且可以進(jìn)行多維度運(yùn)算的仿生遺傳算法，本文將在前人的基礎(chǔ)上對(duì)遺傳算3cba518039708d81341a3325c3cb0cf503aa1f9507ea83582f885f42e3fa5e31法進(jìn)行改進(jìn)。經(jīng)過優(yōu)化的遺傳算法可以一次性計(jì)算多個(gè)維度，并且可以進(jìn)行下降方向的計(jì)算，進(jìn)而進(jìn)行CVaR的優(yōu)化計(jì)算。

二、優(yōu)化的遺傳算法

（一）遺傳算法簡(jiǎn)介

遺傳算法最早由John holland在1970年提出，遺傳算法是一種仿生類算法，類似的算法有粒子群算法、魚群算法、布谷鳥算法等。遺傳算法的最大特點(diǎn)在于模仿了達(dá)爾文生物自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理。類似于生物進(jìn)化過程中的自然選擇和生殖繁衍。

在算法中具有幾大特色算法模塊，分別為自然選擇模塊，用來淘汰適應(yīng)度較低的個(gè)體；生殖模塊，用來進(jìn)行染色體交叉并復(fù)制覆蓋原個(gè)體；變異模塊，用來進(jìn)行個(gè)體上染色體片段上編碼的變異。具有這三種模塊，可以很好地去模擬整個(gè)進(jìn)化過程。遺傳算法經(jīng)過多年的發(fā)展，在各個(gè)領(lǐng)域都有較為成熟的應(yīng)用。例如，機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、自適應(yīng)控制和人工生命等領(lǐng)域。

（二）優(yōu)化后的遺傳算法

傳統(tǒng)的遺傳算法采取“輪盤賭”的方式進(jìn)行自然選擇，由較高適應(yīng)度的個(gè)體進(jìn)行傳播繁衍后代的任務(wù)。想象有一個(gè)輪盤，現(xiàn)在我們將它分成n個(gè)部分，這里的m 代表我們種群中所有個(gè)體染色體的個(gè)數(shù)。

表1 不同個(gè)體適應(yīng)度得分

圖1 自然選擇輪盤示意圖

表1為相對(duì)個(gè)體的適應(yīng)度，而圖1則是我們的輪盤，圖中固定指針將會(huì)通過輪盤轉(zhuǎn)動(dòng)得到兩個(gè)親本進(jìn)行染色體的交叉復(fù)制，并且選取較高適應(yīng)度的新個(gè)體去替換適應(yīng)度較低的原個(gè)體。

在優(yōu)化后的遺傳算法中，主要優(yōu)化了適應(yīng)度篩選過程。由于選擇了梯度下降方向，所以決定繁衍的輪盤變成了死亡輪盤，適應(yīng)度得分較高個(gè)體反而需要被消滅。圖中固定指針將會(huì)通過輪盤轉(zhuǎn)動(dòng)得到兩個(gè)準(zhǔn)備殺死的個(gè)體，而由于適應(yīng)度得分高的個(gè)體本身被轉(zhuǎn)到的概率高，因此被消滅的概率極大，同時(shí)也盡可能維護(hù)了種群的多樣性。

（三）遺傳算法的優(yōu)勢(shì)

遺傳算法正是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程的計(jì)算模型，是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的方法。

我們將目標(biāo)函數(shù)當(dāng)作這個(gè)生存的“環(huán)境”，將待求解W作為這個(gè)物種，使得目標(biāo)函數(shù)值越小的就越容易活下來，反之越容易被淘汰，進(jìn)而隨著一代代的進(jìn)化，優(yōu)良的品種會(huì)越來越多，直到最后充滿整個(gè)物種數(shù)量，最終得到一個(gè)收斂的狀態(tài)。也就是此時(shí)找到那個(gè)最優(yōu)秀的個(gè)體，它攜帶的基因組合所表達(dá)的內(nèi)容就是我們所求解的W。

通過遺傳算法我們可以輕松在求最優(yōu)的問題時(shí)，避免局部最優(yōu)的問題。通過迭代，可以求得二維以及三維函數(shù)的最優(yōu)解。

三、CVaR投資組合優(yōu)化模型

（一）基本投資組合理論

1952年3月，馬克維茨在其博士論文《資產(chǎn)選擇：投資的有效分散化》中說明了在多風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)下如何進(jìn)行投資組合方式的最優(yōu)選擇。他運(yùn)用隨機(jī)收益率的期望與方差的定量指標(biāo)衡量資產(chǎn)收益以及風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)現(xiàn)標(biāo)的物間有一定的相關(guān)性，利用投資組合思想可以減少投資的風(fēng)險(xiǎn)。于是依據(jù)這種思想建立了均值—方差數(shù)學(xué)模型。此模型是第一次從定量角度衡量風(fēng)險(xiǎn)，由于其具有很強(qiáng)可處理性和較高的風(fēng)險(xiǎn)可預(yù)測(cè)性，在一段時(shí)間內(nèi)在金融風(fēng)險(xiǎn)方面得到較大范圍的應(yīng)用。

（二）投資組合目標(biāo)函數(shù)建立步驟

資產(chǎn)的流動(dòng)性和波動(dòng)性是選擇持有期的原則，資產(chǎn)流動(dòng)性的含義是資產(chǎn)在不損失原有價(jià)值的前提下快速變現(xiàn)的能力。通常來說對(duì)于流動(dòng)性越高的資產(chǎn)，投資者能依據(jù)金融市場(chǎng)波動(dòng)情況及時(shí)調(diào)整資產(chǎn)頭寸的能力越強(qiáng)，要選擇跨度較小的持有期。

而資產(chǎn)的波動(dòng)性的含義指金融市場(chǎng)的不確定性因素引起資產(chǎn)價(jià)值發(fā)生變動(dòng)的可能性大小，一般情況下資產(chǎn)的波動(dòng)性隨著資產(chǎn)的持有期變長(zhǎng)而增大，對(duì)應(yīng)的VaR值也增大。投資期的選取需要綜合評(píng)定。

1.我們把第n個(gè)股票的第t天收益率表示為P

2.通過差分得到每只股票每日收益率

3.我們把組合中股票的比重表示為

4.很容易可以得到組合收益矩陣

5.根據(jù)（3）我們可以得到投資組合收益序列

6.根據(jù)（4）定義在險(xiǎn)價(jià)值，alpha代表投資者風(fēng)險(xiǎn)厭水平

7.根據(jù)（4）（5）我們定義CVaR

8.根據(jù)（2）（3）（4）（6）我們得到

9.根據(jù)（2）（7）我們最終得到CVaR目標(biāo)函數(shù)

10.根據(jù)（2）進(jìn)行約束條件的處理

11.根據(jù)（5）（8）（9）我們最終得到VaR和CVaR的待優(yōu)化函數(shù)

四、GA-CVaR求解最優(yōu)投資組合

（一）樣本數(shù)目以及樣本股票選擇

學(xué)者Fama在投資組合研究過程中，發(fā)現(xiàn)投資組合風(fēng)險(xiǎn)與資產(chǎn)種類間存在一定關(guān)系，當(dāng)資產(chǎn)種類增加時(shí)，組合風(fēng)險(xiǎn)并不會(huì)一直減少。經(jīng)過實(shí)證研究表明，當(dāng)投資組合資產(chǎn)種類從1增加至10時(shí)，投資組合風(fēng)險(xiǎn)降低作用非常顯著；當(dāng)繼續(xù)增加種類時(shí)，降低的作用就不太明顯，甚至?xí)?dǎo)致增加風(fēng)險(xiǎn)降低的邊際效果下降?；趯?shí)證理論，本文選擇10種股票對(duì)模型進(jìn)行實(shí)證研究。

本文從雅虎財(cái)經(jīng)隨機(jī)選擇10只上市較久、基礎(chǔ)面較為成熟的股票作為實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象，選取了2017年1月1日至2021年5月1日共五個(gè)交易年1 051個(gè)交易日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，其中前700個(gè)作為訓(xùn)練集，后351個(gè)作為測(cè)試集，具體參數(shù)如下表所示。

本文的編程環(huán)境是Python3，編譯器為Jupyter Notebook，PC機(jī)操作系統(tǒng)參數(shù)如下：64位Mac OS操作系統(tǒng)、Intel Core i5 CPU@1.1 GHz、內(nèi)存8GB。

（二）改進(jìn)后的GA參數(shù)設(shè)定

由于時(shí)間有限，主要進(jìn)行全局優(yōu)化能力參數(shù)優(yōu)化，迭代次數(shù)和種群數(shù)量設(shè)置為1 000次與500個(gè)，適應(yīng)性參數(shù)設(shè)定為10，搜索上限與下限設(shè)定為0及5，基因長(zhǎng)度設(shè)置為8，主要觀察死亡率、雜交率、變異率的調(diào)整對(duì)于最終優(yōu)化性能的影響。

為了方便可視化展示，我們將以下述二元函數(shù)為例進(jìn)行GA參數(shù)調(diào)優(yōu)，我們的目標(biāo)是盡可能獲得曲面和Z=0相切的點(diǎn)的坐標(biāo)，函數(shù)為Sin（X）2+COS（X）4

根據(jù)以上初步結(jié)論，設(shè)定關(guān)于死亡率、雜交率、變異率的參數(shù)配置表，進(jìn)行逐個(gè)實(shí)驗(yàn)（見表2）：

將死亡率Death Rate設(shè)定為0軸，交叉率pc設(shè)定為1軸，變異率pm設(shè)定為2軸，根據(jù)0軸與1軸繪制熱力圖，其中的適應(yīng)度為了便于識(shí)別均取絕對(duì)值的負(fù)數(shù)，經(jīng)過調(diào)整，可以得到以下結(jié)論。

在不同的參數(shù)配置下，適應(yīng)度最終表現(xiàn)具有不同的效果，三者與最終適應(yīng)度表現(xiàn)變化呈現(xiàn)出非線性變化。從一定程度687707413f000bf64a8a3af9dadcd13b上說較低的變異系數(shù)或較高的變異系數(shù)都會(huì)制約全局搜索能力導(dǎo)致無法達(dá)到全局最優(yōu)解，而交叉率與死亡率又會(huì)在不同的變異系數(shù)下產(chǎn)生不同的結(jié)果，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)論選取死亡率0.4、交叉率0.5、變異系數(shù)0.000 05的參數(shù)。

在此參數(shù)下的模型收斂效果以及全局搜索能力都是較為穩(wěn)定的。在整個(gè)進(jìn)化的過程中，隨著進(jìn)化的迭代，最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度不斷增加，當(dāng)達(dá)到目標(biāo)值時(shí)，即圖2中求得的坐標(biāo)Z值與水平面之間的誤差不斷減小并趨向于0。

（三）GA-CVaR流程設(shè)計(jì)

利用優(yōu)化后GA的下降效果解決CVaR求解最優(yōu)的優(yōu)化問題，僅需將GA中目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為第三章中公式（10）以及（11），其中閾值alpha取1%，具體操作流程如下頁圖2。

驗(yàn)證模型是否對(duì)于整體投資組合優(yōu)化效果有效，僅需觀察訓(xùn)練集以及預(yù)測(cè)集中CVaR以及VaR的大小差異。將訓(xùn)練好的權(quán)重向量帶入預(yù)測(cè)集中計(jì)算收益，根據(jù)預(yù)測(cè)周期內(nèi)的收益數(shù)據(jù)計(jì)算CVaR以及VaR，若預(yù)測(cè)集中的數(shù)值均小于訓(xùn)練集，那么可以認(rèn)為該配置方案是有效的。

（四）GA-CVaR實(shí)驗(yàn)結(jié)論及分析

由于優(yōu)化過的遺傳計(jì)算幾乎在每一步都具有算法上的隨機(jī)性，例如初始種群的隨機(jī)性，迭代過程中死亡、雜交、變異的隨機(jī)性，導(dǎo)致同一個(gè)數(shù)據(jù)可能會(huì)出現(xiàn)各種結(jié)果，列出四種在調(diào)優(yōu)參數(shù)后的算法對(duì)于4.1訓(xùn)練樣本的擬合效果，在不同的隨機(jī)狀態(tài)下，四種最終迭代的適應(yīng)度略有不一。

在四次試驗(yàn)下，模型的優(yōu)化過程達(dá)到梯度下降的效果，橫坐標(biāo)的適應(yīng)度即代表每一次迭代后的CVaR，可以證實(shí)，在不斷的持倉比例優(yōu)化的過程中，從震蕩的整體方向看，在險(xiǎn)價(jià)值不斷下降。由于改進(jìn)后的GA依然具有較大的全局搜索能力，也就降低了最優(yōu)個(gè)體的表現(xiàn)能力，在一定概率下會(huì)容易錯(cuò)過最優(yōu)的持倉比例。但由于整體的適應(yīng)度表現(xiàn)都在可接受范圍，因此由于隨機(jī)所帶來的一定誤差在可以接受范圍之內(nèi)。

選取其中一個(gè)訓(xùn)練好的模型用于預(yù)測(cè)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)周期內(nèi)的CVaR與VaR，將兩個(gè)指標(biāo)再與訓(xùn)練集的指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)集中的CVaR以及VaR均小于訓(xùn)練集中的CVaR和VaR。為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確度，又對(duì)alpha取3%以及5%的情況下進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。

在兩種閾值情況下，迭代效果均達(dá)到梯度下降的效果，并且還處于繼續(xù)向下優(yōu)化的趨勢(shì)，將最終優(yōu)化得到的組合比率帶入預(yù)測(cè)集，分析得到如下結(jié)果（見表3）。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)論對(duì)比

可以發(fā)現(xiàn)，除了在1%的閾值情況，在3%以及5%的閾值下，均能達(dá)到實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，即根據(jù)過往的收益率，可以在預(yù)設(shè)風(fēng)險(xiǎn)期望的標(biāo)準(zhǔn)下，可以達(dá)到未來投資的風(fēng)控標(biāo)準(zhǔn)。以5%為例，經(jīng)過700交易日訓(xùn)練集樣本的訓(xùn)練，可以達(dá)到以下投資效果。在未來351交易日給投資組合帶來的總虧損中，單日會(huì)虧損超過1.2%的概率為5%，一旦虧損超過1.2%，平均損失為1.6%。

五、結(jié)論與展望

（一）主要結(jié)論

本文采用CVaR模型對(duì)有證券比例上限等約束條件的投資組合建模，采用優(yōu)化的遺傳算法求解該離散型問題。標(biāo)準(zhǔn)梯度下降容易陷入局部極值，本文對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，提出優(yōu)化的遺傳算法解決該類問題，通過實(shí)驗(yàn)分析表明，改進(jìn)遺傳算法對(duì)求解該問題有優(yōu)化精度高、跳出局部最優(yōu)的能力強(qiáng)。通過實(shí)驗(yàn)證明了改進(jìn)的遺傳算法可以有效輔助CVaR以及VaR求解并降低投資組合風(fēng)險(xiǎn)。

（二）研究展望

遺傳算法作為一種高效的群智能仿生算法，已被國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者研究和應(yīng)用于許多領(lǐng)域。比如，工程、控制等領(lǐng)域，但算法性能的改進(jìn)和應(yīng)用還尚待進(jìn)步的完善和發(fā)展。本文應(yīng)用優(yōu)化的遺傳算法求解基于CVaR模型建模問題，對(duì)于遺傳算法的穩(wěn)定性具有較大考驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)過程中也存在隨機(jī)的初始值可能會(huì)造成最后收斂效果的少量差異，后期會(huì)進(jìn)一步加強(qiáng)這方面的研究，攻克模型穩(wěn)定性。

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[責(zé)任編輯 白 雪]